28.2.2应用举例（第1课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

28.2 .2 应用举例（第 1 课时） 自主预习 1. 如图，在进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的 是 ，视线在水平线下方的是 . 1题图 2题图 2.为测楼房 BC的高，在距楼房 30 m的 A处，测得楼顶 B的仰角为α，则楼房 BC 的高为( ) A.30tanα m B. tan 30 m C.30sinα m D. sin 30 m 互动训练 知识点 1 利用解直角三角形解决简单问题 1.如图，已知 AC=100 m，∠B=30°，则 BC两地之间的距离为( ) A . 100 3m B.50 2 m C.50 3m D. 3 3100 m 1题图 2题图 3题图 2.如图，电线杆 CD的高度为 h，两根拉线 AC与 BC相互垂直，∠CAB=a，则拉 线 BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)( ) A. sin h a B. cos h a C. tan h a D.h·cosa 3. 如图，小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之 间的水平距离 BE为 5 m，AB为 1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树 高是 m. 4.如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中 AC=10 千米，∠CAB=25°， ∠CBA=37°.因城市规划的需要，将在 A、B两地之间修建一条笔直的公路. (1) 求改直后的公路 AB的长； (2) 问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91， sin37°≈0.60，tan37°≈0.75) 4题图 5.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从 A地到 B地需经 C地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB行驶即可到达 B地.已知 AC=120km， ∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从 A地到 B地需行驶多少千米. 5题图 6.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 OB的长为 3m，静止 时，踏板到地面距离 BD的长为 0.6m(踏板厚度忽略不计).为安全起见，乐园管理 处规定:儿童的“安全高度”为 hm，成人的“安全高度”为 2m.(计算结果精确到 0.1m) (1)当摆绳 OA与 0B成 45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则 h=____； (2)某成人在玩秋千时，摆绳 0C与 OB的最大夹角为 55°，问此人是否安全？ (参考数据: 2 ≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43) 6题图 知识点 2 利用视角解直角三角形 7.如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA的高度，在距离树的底端 25米的 B处， 测得树顶 A的仰角∠ABO为 a，则树 OA的高度为( ) A. 25 tan a 米 B.25sina米 C.25tana米 D.25cosa米 7题图 8题图 8. 当地时间 2019年 4月 15日下午，法国巴黎圣母院发生火灾，大火烧毁了巴 黎圣母院后塔的塔顶．烧毁前，为测量此塔顶 B的高度，在地面选取了与塔底 D 共线的两点 A、C，A、C在 D的同侧，在 A处测量塔顶 B的仰角为 27°，在 C 处测量塔顶 B的仰角为 45°，A到 C的距离是 89.5米．设 BD的长为 x米，则下 列关系式正确的是（ ） A．tan27°＝ B．cos27°＝ C．sin27°＝ D．tan27°＝ 9.山东聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天 轮相结合的城市地标.如图，点 O是摩天轮的圆心，长为 110m的 AB是其垂直地 面的直径，小莹在地面 C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点 A的仰角为 33°， 测得圆心 O的仰角为 21°，则小莹所在点 C到直径 AB所在直线的距离约为 (tan33°≈0.65，tan21°≈0.38)( ) A.169m B.204m C.240m D.407m 10.孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500米处，看塔顶的仰角为 20°(不考虑 身高因素)，则此塔高约为 米.(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.342 0， sin70°≈0.939 7，tan20°≈0.364 0，tan70°≈2.747 5) 10题图 11题图 11.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B两点的俯角分别为 45°和 30°.若飞机离地面的高度 CH为 1200米， 且点 H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB为_____米(结果保留根号) 12.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD的高度，他们先在点 A处测得树顶 C 的仰角为 30°，然后沿 AD方向前行 10 m，到达 B点，在 B处测得树顶 C的仰角 为 60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树 CD的高 度.(结果精确到 0.1 m)(参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732) 2 12题图 13.如图，大楼 AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的 顶端D处测得障碍物边缘点 C的俯角为 30°，测得大楼顶端 A的仰角为 45°(点 B， C，E在同一水平直线上)，已知 AB=80m，DE=10m，求障碍物 B，C两点间的距 离.(结果精确到 0.1m，参考数据 2 ≈1.414， 3 ≈1.732) 13题图 14.已知电视发射塔 BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段 AB），若 AB＝60m，并且 AB与地面成 45°角，欲升高发射塔的高度到 CB′，同时原地锚线 仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成 60°角，求电视发射塔升高了多少米（即 BB′的高度）？ 14题图 课时达标 1.如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A′B′的位置，已知 AO的长为 4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆 A端升高的高度为（ ） A． 米 B．4sinα米 C． 米 D．4cosα米 1题图 2题图 2.如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分 别是 BC、CD，测得 BC＝6米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在 D处测得电线杆 顶端 A的仰角为 30°，则电线杆 AB的高度为（ ） A．2+2 3 B．4+2 3 C．2+3 2 D．4+3 2 3.如图，在 5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 l，△ABC的顶点都 在这些小正方形的顶点上，则 cos∠BAC的值为（ ） A． B． C． D． 3题图 4题图 4.在平面直角坐标系中，从原点 O引一条射线，设这条射线与 x轴的正半轴的夹 角为 a，若 cosa＝ ，则这条射线是（ ） A．OA B．OB C．OC D．OD 5.数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知 CD＝2m．经测量， 得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据 以上数据计算 GH的长．（参考数据 sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ，cos37°≈ ， sin37°≈ ，tan37°≈ ） 5题图 6.如图，一扇窗户垂直打开，即 OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一 端固定在窗户的点 A处，另一端在 OP上滑动，将窗户 OM按图示方向向内旋转 35°到达 ON位置，此时，点 A、C的对应位置分别是点 B、D.测量出∠ODB为 25°，点 D到点 O的距离为 30 cm. (1)求 B点到 OP的距离； (2)求滑动支架的长. (结果精确到 1 cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82， cos55°≈0. 57，tan55°≈1.43) 6题图 7.如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离 2.7米的 A处自 B点看塑 像头顶 D的仰角为 45°，看塑像底部 C的仰角为 30°，求塑像 CD的高度.(最后 结果精确到 0.1米，参考数据： 3 =1.7) 7题图 8.如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，延长 BC到点 E，使 CE＝ BC，连接 DE． （1）求证：四边形 ACED是平行四边形； （2）若 BO＝ ，sin∠CAD＝ ，请求出平行四边形 ACED的周长和面积． 8题图 拓展探究 1.如图，▱ ABCO的顶点 B、C在第二象限，点 A（﹣3，0），反比例函数 y＝ （k ＜0）图象经过点 C和 AB边的中点 D，若∠B＝α，则 k的值为（ ） A．﹣4tanα B．﹣2sinα C．﹣4cosα D．﹣2tanα 1题图 2题图 2.已知：如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点 O为斜边 AB 的中点，以 O为圆心，5为半径的圆与 BC相交于 E、F两点，联结 OE、OC． （1）求 EF的长； （2）求∠COE的正弦值． 3.如图，某海域有两个海拔均为 200米的海岛 A和海岛 B，一勘测飞机在距离海 平面垂直高度为 1 100米的空中飞行，飞行到点 C处时测得正前方一海岛顶端 A 的俯角是 45°，然后沿平行于 AB的方向水平飞行 1.99×104米到达点 D处，在 D 处测得正前方另一海岛顶端 B的俯角是 60°，求两海岛间的距离 AB. 3 题图 28.2 .2 应用举例（第 1 课时）答案 自主预习 1. 仰角，俯角. 2. A. 互动训练 1. A. 2. B. 解析：根据同角的余角相等，得∠CAD=∠BCD， 由 cos∠BCD= CD BC ，知 BC= CD cos∠BCD = h cos a .故选 B. 3. 5 3 3 + 3 2 . 4.解：（1）作 CH⊥AB于点 H. 在 Rt△ACH中， CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈4.2， AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈9.1. 在 Rt△BCH中，BH=CH÷tan37°≈5.6. ∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7(千米). （2）BC=CH÷sin37°≈7.0，∴AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3(千米). 答：公路改直后比原来缩短了 2.3千米. 5.解：过点 C作 CD⊥AB交 AB的延长线于点 D，在 Rt△ACD中， ∵AC=120km，∠A=30°，∴CD=ACsin30°=60km， AD=ACcos30°=60 3 km， ∵∠ABC=135°，∴∠CBD=45°，∴BD=CD=60km，AB=AD－BD=(60 3－60)km. 故隧道开通后汽车从 A地到 B地需行驶(60 3－60)千米. 6. 解：(1)1.5 如图，在 Rt△OAE中，OA=OB=3m，∠AOE=A5°， OE=OA×cos45°=3× 2 2 = 3 2 2 (m)，∴BE=0B－OE=3－ 3 2 2 = 6 3 2 2  (m)， ∴DE=BE＋BD= 6 3 2 2  ＋0.6≈1.5(m)，即 h=1.5. (2)如图，过点 C作 CF⊥OB于点 F，在 Rt△COF中，OC=OB=3m，∠COF=55°， ∴OF=OC×cos55°≈3×0.57=1.71(m)，BF=OB－OF=3－1.71=1.29(m)， DF=BF＋BD=1.29＋0.6≈1.9(m)，∵1.9m＜2m，∴此人安全. 6题图 7.C. 解析：在 Rt△ABO中，∵BO=25米，∠ABO=a，AO=BOtana=25tana米. 故选 C. 8. A. 解析：∵在 A处测量塔顶 B的仰角为 27°，在 C处测量塔顶 B的仰角为 45°， A到 C的距离是 89.5米．设 BD的长为 x米， 可得：tan27°＝ ，故选：A． 9. B. 解析：如图，过点 C作 CD⊥AB，交 AB的延长线于点 D， 在 Rt△ACD中，AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°， 在 Rt△DCO中，OD=CD·tan∠DCO=CD·tan21°，∵AB=110m，∴AO=55m， ∴AO=AD－OD=CD·tan33°－CD·tan21°=55， ∴CD= tan33 5 1 5 －tan2  ≈ 0.65 55 0.38 ≈204(m). 故小莹所在点 C到直径从所在直线的距离约为 204m.故选 B. 9题图 10. 182. 解析：在 Rt△ABC中，BC=AB×tan20°=500×0.3640=182（米） 11.(1200 3－1200) . 解析：在 Rt△ACH中，CH=l200米，∠CAH=∠ACD=45°， ∴AH=CH=1200米. 在 Rt△BCH中，CH=1200米，∠CBH=∠BCD=30°， ∴BH= CH tan 30 =1200 3 3 = 1200 3 (米)， ∴AB=BH－AH=(1200 3－1200)米. 12.解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°， ∴∠A=∠ACB. ∴BC=AB=10米. 在 Rt△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10× 3 2 =5 3 ≈5×1.732≈8.7(米). 答：这棵树 CD的高度为 8.7米. 13.解：如图，过点 D作 DF⊥AB于点 F，则四边形 FBED是矩形. ∴FD=BE，BF=DE=10m，FD∥BE.∵∠FDC=30°，FD∥BE， ∴∠DCE=∠FDC=30°. 在 Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=10m，∠DCE=30°， ∴CE= DE tan 30 = 10 3 3 =10 3 (m). 在 Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠ADF=∠FAD=45°，∴FD=AF. ∵AB=80m，BF=10m，∴FD=AF=AB－BF=80－10=70(m). ∴BC=BE－CE=FD－CE=70－10 3 ≈5207(m). 因此，障碍物两点间的距离约为 52.7m. 13题图 14. 解：在 Rt△ABC中，sin45°＝ ，∴BC＝AB•sin45°得到 BC＝30 米． 在 Rt△A′B′C中，sin60°＝ ，∴B′C＝A′B′•sin60°＝30 米． ∴B′B＝30（ ﹣ ）米． 课时达标 1. B. 解析：过点 A′作 A′C⊥AB于点 C，由题意可知：A′O＝AO＝4， ∴sinα＝ ，∴A′C＝4sinα，故选：B． 1题图 2题图 2. B. 解析：延长 AD交 BC的延长线于 E，作 DF⊥BE于 F， ∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，又 CD＝4， ∴DF＝2，CF＝ ， 由题意得∠E＝30°，∴EF＝ ， ∴BE＝BC+CF+EF＝6+4 ， ∴AB＝BE×tanE＝（6+4 ）× ＝（2 +4）米， 故选：B． 3. C. 解析：过点 C作 CD⊥AB于点 D， ∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：AC＝5， ∴cos∠BAC＝ ＝ ，故选：C． 3题图 5题图 4. A. 解析：∵点 A的坐标为（3，4），∴OA＝5，∴cosa＝ ， 则这条射线是 OA．故选：A． 5. 解：延长 CD交 AH于点 E，如图所示：根据题意得：CE⊥AH， 设 DE＝xm，则 CE＝（x+2）m， 在 Rt△AEC和 Rt△BED中，tan37°＝ ，tan67°＝ ， ∴AE＝ ，BE＝ ， ∵AE﹣BE＝AB，∴ ﹣ ＝10， 即 ﹣ ＝10，解得：x＝8，∴DE＝8m， ∴GH＝CE＝CD+DE＝2jm+8m＝10m． 答：GH的长为 10m． 6.(1)在 Rt△BOE中，OE= 55 BE tan  ，在 Rt△BDE中，DE= 25 BE tan  ， 则 55 BE tan  + 25 BE tan  =30，解得 BE≈10.6. 故 B点到 OP的距离大约为 11 cm； (2)在 Rt△BDE中，BD= 25 BE sin  ≈25.3 cm. 答：滑动支架的长为 25 cm. 7.过 B点作 BE⊥DC于 E点， ∵BA⊥AF，DF⊥AF，∴四边形 ABEF为矩形，BE=2.7. 在 Rt△BEC中，∠CBE=30°，tan∠CBE=CE BE , ∴CE=BE·tan30°= 9 3 10 . 在 Rt△BDE中，∠DBE=45°，BE=2.7, ∴DE=2.7， DC=2.7- 9 3 10 ≈1.2. 答：塑像 CD的高度约为 1.2米. 8.（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CE＝BC，∴AD＝CE，∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形 ACED是平行四边形； （2）解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°， ∵sin∠CAD＝ ，∴CD＝ AC＝4，∴AD＝ ＝3， ∴平行四边形 ACED的周长＝2×（3+5）＝16， 平行四边形 ACED的面积＝3×4＝12． 拓展探究 1. A. 解析：如图，过点 C作 CE⊥OA于 E，过点 D作 DF⊥x轴于 F， 在平行四边形 OABC中，OC＝AB， ∵D为边 AB的中点，∴OC＝AB＝2AD，CE＝2DF，∴OE＝2AF， 设 AF＝a，∵点 C、D都在反比例函数上，∴点 C（﹣2a，﹣ ）， ∵A（3，0），∴D（﹣a﹣3， ），∴ ＝2× ，解得 a＝1， ∴OE＝2，CE＝﹣ ， ∵∠COA＝∠α，∴tan∠COA＝tan∠α＝ ，即 tanα＝﹣ ， k＝﹣4tanα．故选：A． 1题图 2. 解：（1）作 OM⊥EF于 M，如图，则 EM＝FM， ∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝ AC＝ ×8＝4， 在 Rt△OEM中，EM＝ ＝3，∴EF＝2EM＝6； （2）CM＝ BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5， ∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE， 在 Rt△OCM中，OC＝ ＝4 ， ∴sin∠OCM＝ ＝ ＝ ， ∴∠COE的正弦值为 ． 2题图 3.过点 A作 AE⊥CD于点 E，过点 B作 BF⊥CD，交 CD的延长线于点 F， 则四边形 ABFE为矩形，∴AB=EF，AE=BF. 由题意可知 AE=BF=1 100-200=900（米），CD=19 900米. 在 Rt△AEC中，∠C=45°,AE=900米， ∴CE= AE tanC = 900 45tan  =900（米）. 在 Rt△BFD中，∠BDF=60°，BF=90°，BF=900米， ∴DF= BF tan BDF = 900 60tan  =300 3（米）. ∴AB=EF=CD+DF-CE=19 900+300 3 -900=（19 000+300 3）米. 答：两海岛之间的距离 AB是(19 000+300 3 )米.