第28章锐角三角函数单元测试题-人教版九年级数学下册课堂训练

第 28 章 锐角三角函数单元测试题 考试时间：100 分钟；总分：120 分 一、单选题(每题 3 分，共 30 分，将正确答案的代号填在题后的括号内) 1． sin45°的值等于（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D．1 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 AC=2， 3cos 4A  ，那么 AB 的长是（ ） A． 5 2 B． 8 3 C．10 3 D． 2 73 3．已知一坡面的坡比为 1∶ 3 ， 则坡角α为( ) A．15° B．20° C．30° D．45° 4．已知α为锐角，且 sin（α﹣10°）＝ 3 2 ，则α等于（ ） A．70° B．60° C．50° D．30° 5．在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则 BC 的长为（ ） A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50° 6．某人沿斜坡前进，当他前进 50 米时上升高度为 25 米，则斜坡的坡度是i  （ ） A．1: 3 B．1：3 C．1: 2 D．1：2 7．在△ABC 中，已知 AC=3，BC=4，AB=5，那么下列结论正确的是( ) A．sinA= 3 4 B．cosA= 3 5 C．tanA= 3 4 D．cosB= 3 5 8．由三角函数定义，对于任意锐角 A，有 sinA=cos(90°-A)及 sin2A+cos2A=1 成立. 如 图，在△ABC 中，∠A、∠B 是锐角，BC=a，AC=b，AB=c，CD⊥AB 于 D，DE//AC 交 BC 于 E，设 CD=h，BE=a′，DE=b′，BD=c′，则下列条件中能判断△ABC 是直角 三角形的个数是（ ） (1)a2+b2=c2 (2)a a′+bb′=c c′ (3)sin2A+sin2B=1 (4) 2 1 a + 2 1 b = 2 1 h A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8 题图 9 题图 10 题图 9．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在 教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离 DE=7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i=1︰0.75，坡长 CD=2 米，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC=1 米，则旗杆 AB 的高度约为（ ） （参考数据：sin 58 0.85  ，cos58 0.53  ， tan58 1.6  ） A．12.6 米 B．13.1 米 C．14.7 米 D．16.3 米 10．如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 海里的小岛 A 出 发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时 轮船 B 与小岛 A 的距离是（ ） A．303 海里 B．60 海里 C．120 海里 D．(30 30 3) 海里 二、填空题(每题 3 分，共 24 分，将正确答案填在题中的横线上) 11．在△ABC 中，∠C=90°，若 BC=5，AB=13，则 sinA= ． 12．三角形在正方形网格中的位置如图所示，则 sin∠C 的值是 . 12 题图 13 题图 14 题图 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于点 D，若 BC=3，AC=4，设∠BCD=α， 则 sinα=____________． 14．如图，某海防哨所（O）发现在它的北偏西 30°，距离为 500m 的 A 处有一艘船， 该船向正东方向航行，经过几分钟后到达哨所东北方向的 B 处，此时该船距哨所的距 离（OB）为 米． 15．已知一副三角板如图所示放置，其中∠A=30°，∠E=45°，若 AC=3，BD=2，则 =_________． 15 题图 16 题图 16．如图，是将一正方体货物沿坡面 AB 装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货 厢的高度 BC 为 2.6 米，斜坡 AB 的坡比为 1︰2.4，现把图中的货物继续向前平移， 当货物顶点 D 与 C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度 BD 不能超 过 米． 17．如图，在一笔直的海岸线l 上有相距 4km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正 东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏东 30° 的方向上，则船 C 到海岸线l 的距离是________km． 17 题图 18 题图 18．如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: 3（坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平 宽度 AC 之比），坝高 BC=3m，则坡面 AB 的长度是 ． 三、解答题(本题共有 8 个小题，共 66 分) 19．(本题 6 分)计算：2cos45°-6tan230°- 3 sin60°-7cos60°． 20．(本题 8 分)已知不等臂跷跷板 AB 长为 3 米，跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面上的 点 H 的距高 OH=0.6 米. 当跷跷板 AB 的一个端点 A 碰到地面时，AB 与地面上的直线 AH 的夹角∠OAH 的度数为 30°. （1）当 AB 的另一个端点 B 碰到地面时(如右图），跷跷板 AB 与直线 BH 的夹角∠ABH 的正弦值是多少? （2）当 AB 的另一个端点 B 碰到地面时(如右图),点 A 到直线 BH 的距离是多少米? 21．(本题 8 分)如图，在△ABC 中， A 30   ， 3tan 4B  ，AC 6 3 ，求 AB 的长． 21 题图 22．(本题 8 分)如图，在△ADC 中，∠A＝30°，∠ACD＝90°，点 B 在 AC 上∠DBC ＝45°，点 E 在 BC 的延长线上，且 AB＝2，CE＝3，过 E 作 EF⊥AE 于 E，交 BD 延 长线于 F．求 EF 的长． 22 题图 23．(本题 8 分)如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长 BE 为 2m，斜 面 AB 的坡角为∠ABC，且 tan∠BAC= 3 4 . （1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点 B 离开地面 AC 的距离； （2）当点 E 离开地面 AC 的距离是 3.1m，求 AB 的长. 23 题图 24．(本题 8 分)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新 建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上 C 点测得屋顶 A 的仰角为 35°，此 时地面上 C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到 达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60°，房屋的顶层横梁 EF=12m，EF∥CB，AB 交 EF 于点 G（点 C、D、B 在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8， tan35°≈0.7， 3 ≈1.7） （1）求屋顶到横梁的距离 AG； （2）求房屋的高 AB（结果精确到 1m）． 24 题图 25．(本题 10 分)如图，有一个半径为 3cm 球形的零件不能直接放在地面上，于是我 们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来．两个三角形与球的接触点分别是 P、Q， 已知α=70°，β=40°，一侧接触点离地面距离 PM 是 4cm．（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， tan70°≈2.75；sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） （1）求圆心 O 距离地面的高度； （2）直接写出∠QOP 与α、β的关系； （3）另一间接触点离地面距离 QN 又是多少？ 25 题图 26．(本题 10 分)某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某 品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其部分示意图，其中 AB、CD 都与地 面 l 平行，车轮半径为 32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15cm. （1）求坐垫 E 到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒适．小 明的腿长约为 80cm，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E′，求 EE′的长． （结果精确到 0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 第 28 章 锐角三角函数单元测试题参考答案 1．B. 解析：sin45°= 2 2 ．故选 B． 2．B. 解析：解：∵cosA= 3 4 AC AB  ，∴AB=AC· 4 3 ＝ 8 3 ，故选：B． 3．C. 解析：∵斜坡的坡比为1: 3 ，坡角为 ， ∴tan 1 3 33    ，∴ 30   .故选 C. 4．A. 解析：解：∵sin（α﹣10°）＝ 3 2 ，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故选 A． 5．C. 解析：解：如图，在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠A＝40°， ∴BC＝AC•tanA＝3tan40°，故选：C． 6．A. 解析：解：根据题意，某人走的水平距离为： 2 250 25 =25 3 ， ∴坡度 25 1= 25 3 3 i  ；故选：A. 7．B. 解析：先根据勾股定理的逆定理判断△ABC 的形状，再根据三角函数的定义依 次分析各项即可.∵ ∴△ABC 是直角三角形 ∴ ， ， ， 故选 B. 8．D. 解析：∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC 是直角三角形，故①正确， ∵DE∥AC，∴△DEB∽△ACB，∴ ，∴ ， 不妨设 （k≠0），则 a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck， ∵aa'＋bb'＝cc'，∴a2k＋b2k＝c2k，∴a2＋b2＝c2 ， ∴△ABC 是直角三角形，故②正确， ∵sin2A＋sin2B＝1，sin2A＋cos2A＝1，∴sin2B＝cos2A，∴sinB＝cosA， ∵sinA＝cos（90°−A），∴90°−∠B＝∠A，∴∠A＋∠B＝90°， ∴△ABC 是直角三角形，故③正确， ∵ 2 1 a + 2 1 b = 2 1 h ，∴ 2 2 h a + 2 2 h b =1，∴sin2B＋sin2A＝1，∴△ABC 是直角三角形， 故④正确． 故选：D． 9．B. 解析：延长 AB 交地面于点 H，作 CM⊥DE， 则四边形 BHMC 是矩形，∴HM=BC=1，BH=CM， ∵i=1︰0.75，i=CM︰DM，∴DM=0.75CM， ∵DM2+CM2=CD2，CD=2，∴CM=1.6，DM=1.2， ∴HE=HM+DM+DE=1+1.2+7=9.2， 在 Rt△AHE 中，∠AEH=58°，∴tan58°= AH EH ，即 9.2 AH =1.6， ∴AH=14.72，∴AB=AH-BH=14.72-1.6=13.12≈13.1（米）， 故选 B. 9 题图 10 题图 10．D. 解析：过 C 作 CD⊥AB 于 D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在 Rt△ACD 中，cos∠ACD= CD AC ，sin ADACD AC   , ∴CD=AC•cos∠ACD=60× 3 2 =30 3 ， 1sin 60 302AD AC ACD      ， 在 Rt△DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30 3 ， ∴AB=AD+BD=30+30 3 海里．故选：D． 11． 5 13 . 解析： 由勾股定理可得， BC 5sin A= =AB 13 . 12． 5 5 . 解析：作 AD⊥BC 的延长线于点 D，设网格宽度为一个单位长度， 在 Rt△ADC 中，AD＝2，AC＝ 2 22 4 2 5  ，sin∠C＝ 2 5 52 5 AD AC   ， 故答案为： 5 5 . 12 题图 14 题图 13． 3 5 . 解析：由勾股定理知，AB2=BC2+AC2=9+16=25，∴AB=5. 由同角的余角相等知∠α=∠A，∴sinα=sinA= 3 5 BC AB  .故答案为： 3 5 . 14．250 6 . 解析：如图，由题意可知，∠AOC＝30°，∠BOC＝45°，OA＝500，AB⊥OC， 在 Rt△AOC 中，OC＝OA•cos30°＝500× 3 2 ＝250 3 ， 在 Rt△BOC 中，OB＝ 2 OC＝250 3 × 2 ＝250 6 ， 故答案为：250 6 ． 15．120°. 解析：AB 与 DE 交点记为点 F， ∵在 Rt△ABC 中，∠A=30°，AC=3，∴ 3BC=AC tan A=3 = 33  ∠ ， ∵BD=2，∴ BC 3cos CBD= 2BD ∠ ，∴∠CBD=30°，∴∠ABD=30°， ∵∠EDB=90°，∴∠AFD=∠EDB +∠ABD=90°+30°=120°， ∴∠α=120°， 故答案为：120°. 15 题图 16 题图 17 题图 16．2. 4，解析：如图，点 D 与点 C 重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A， ∵tanA= 1 2.4 ，∴tan∠BCB′= 1 2.4 BB B C   ， ∴设 B′B=x 米，则 B′C=2.4x 米， 在 Rt△B′CB 中，∵∠B′=90°，∴B′B2+B′C2=BC2， 即：x2+（2.4x）2=2.62，解得 x=1（负值舍去），∴BD=B′C=2.4 米． 故 BD 的长为 2. 4 米． 17． 2 3 . 解析：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km， 在 Rt△CBD 中，∴CD=BC•sin60° 34 2 32    (km ) ∴船 C 到海岸线l 的距离是2 3km ．故答案为： 2 3 ． 18．6 米. 解析：在 Rt△ABC 中，BC=3 米，tanA=1︰ 3 ； ∴AC=BC÷tanA=3 3 米，∴AB= 2 23 3 3( ) 6  米． 19．解：原式= 22 3 32 6 ( ) 32 3 2      -7× 1 2 1 32 6 3 2     - 7 2 32 2 2    - 7 2 = 2 20．解：(1)∵ 1sin sin30 2OAH    ，OH=0.6， ∴OA=1.2 ∵AB=3m，AO=1.2m， ∴OB=3-1.2=1.8m 在 Rt∆BOH 中， 0.6 1sin 1.8 3 OHABH OB     (2)过 A 作 AC⊥BH，垂足为点 C.AC 长即为所求. ∴AC=ABsin ABH =3× 1 3 =1m. 21．解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D． ∵在 Rt△CDA 中，∠A=30°，∴CD=AC•sin30°=3 3 ，AD=AC×cos30°=9， ∵在 Rt△CDB 中， 3tan 4B  ，∴BD= tan CD B = 33 3 4  =4 3 ． ∴AB=AD+DB=9+4 3 . 22．解：设 BC＝x，∵∠DBC＝45°，∠ACD＝90°，EF⊥AE， ∴EF＝BE，BC＝DC，∴AC＝2＋x， ∵tanA＝ DC AC ，∠A＝30°，∴ 3tan30 = =3 2 x x   ， ∴2＋x＝ 3 x，∴x＝ 3 ＋1，即：BC＝ 3 ＋1， ∵BE＝BC＋CE＝ 3 ＋1＋3，EF＝BE，∴EF＝ 3 ＋4． 23．解：（1）过点 B 作 BD⊥AC，交 AC 于点 D，∠BDA=90°， 3tan BAC 4   ，即 BD 3 AD 4  ， 设 BD=3x，则 AD=4x，由勾股定理得， 2 2 2(3x) (4x) 3  ，解得， 3x 5  ， 则点 B 离开地面 AC 的距离 BD=1.8m， 答：点 B 离开地面的距离为 1.8m； （2）过 E 作 EF⊥AC 交 AC、AB 于点 F、G，则 GEB GAF  ， 3tan BEG 4   ，即 BG 3 2 4  ，解得，BG=1.5， 由勾股定理得， 2 2EG BE BG 2.5   ， GF EF EG 0.6    ， AF 0.8  ， 由勾股定理得， 2 2AG AF GF 1   ，  AB AG BG 2.5 m    ， 答：AB 的长为2.5m． 24．解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，AB 所在直线是对称轴， EF∥CB， ∴ AG EF ， 1 62EG EF  ， 35AEG ACB    ． 在 Rt AGE 中， 90AGE  ， 35AEG  °， ∵ tan AEG AG EG   ， 6EG  ， tan35 0.7  ． ∴AG=6tan35°≈4.2（米） 答：屋顶到横梁的距离 AG 约是 4.2 米． （2）过点 E 作 EH⊥CB 于点 H，设 EH=x， 在 Rt△EDH 中， 90EHD  ， 60EDH  ° ， ∵ tan EHEDH DH   ，∴ tan 60 xDH  ° ， 在 Rt△ECH 中， 90EHC   ， 35ECH  °， ∵ tan EHECH CH   ，∴ tan35 xCH  ° ． ∵ 8CH DH CD   ，∴ 8tan35 tan 60 x x ° ° ， ∵ tan35 0.7  ， 3 1.7 ，解得 9.52x  ． ∴ 4.2 9.52 13.72 14AB AG BG      （米） 答：房屋的高 AB 约是 14 米． 24 题图 25．（1）过 O 作 OA⊥PM，与 MP 的延长线交于点 A，连接 OP，如图 1， 则 OP=3cm，∠OAP=90°， ∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OPC=90°， ∴∠PCM+∠MPC=90°，∠APO+∠MPC=90°， ∴∠APO=∠PCM=70°， ∴PA=OP•cos70°≈3×0.34=1.02（cm）， ∴圆心 O 距离地面的高度：AM=1.02+4=5.02（cm）； （2）∵BQ 与 CP 都是⊙O 的切线，∴∠OPC=∠OQB=90°， ∵∠PCM= ，∠QBN=  ，∴∠PCB=180  ，∠QBC=180   ， ∴∠POQ=540°﹣90°﹣90°﹣(180  )﹣(180   )=  ， ∴∠POQ=   70 40 110       ； （3）过 O 作 OD⊥NQ，与 NQ 的延长线交于点 D，如图 3， 按（1）的方法得，∠OQD=∠NBQ=40°， ∴DQ=OQ•cos40°≈3×0.77=2.31（cm）， 由（1）知，圆心 O 距离地面的高度 5.02cm， ∴QN=5.02﹣2.31=2.71（cm）． 26．解：（1）如图 1，过点 E 作 EM CD 于点 M， 由题意知 64BCM   ， 60 15 75EC BC BE cm     ， ∴  sin 75sin 46 67.5EM EC BCM cm     ， 则单车车座 E 到地面的高度为 67.5+32 ≈ 99.5(cm)； （2）如图 2 所示，过点 'E 作 'E H CD 于点 H， 由题意知 ' 80 0.8 64E H    ， 则 ' 64' 71.1sin sin 64 E HE C ECH     ， ∴  ' ' 75 71.1 3.9EE CE CE cm     .