第27章 相似复习课（第1课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

第 27 章 相似复习课（第 1 课时） 互动训练 知识点一：相似多边形 1．下列图形中，一定相似的是（ ） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形 2. 如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保 证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（ ） A． B． C． D． 3．已知 A4 纸的宽度为 21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， 则 A4 的高度约为（ ） A．29.7cm B．26.7cm C．24.8cm D．无法确定 3 题图 6 题图 4．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为 25°、55°，则另 一个三角形的最大内角的度数为 ． 5．若两个相似多边形的对应边分别为 4cm 和 8cm，则它们的相似比为 ． 6．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△DEF，则∠BAC 的度数 为 ． 7．已知四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似，并且点 A 与点 A1、点 B 与点 B1、 点 C 与点 C1、点 D 与点 D1 对应． （1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D 的度数； （2）已知 AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形 ABCD 的周长． 知识点二：成比例线段 8.已知点 P 在线段 AB 上，且 AP︰PB＝2︰3，那么 AB︰PB 为（ ） A．3︰2 B．3︰5 C．5︰2 D．5︰3 9.给出下列各组线段，其中成比例线段的是（ ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D．1cm， cm，2 cm，2 cm 10.在比例尺为 1：1000000 的地图上量得 A，B 两地的距离是 20cm，那么 A、B 两地的实际距离是（ ） A．2000000cm B．2000m C．200km D．2000km 11.如图，矩形 ABCD 被分成 5 个正方形和 2 个小矩形后形成一个中心对称图形， 如果矩形 BEFG∽矩形 ABCD，那么 的值为（ ） A． B． C． D． 12.已知 a：b：c＝2：3：4，且 a+3b﹣2c＝15． （1）求 a、b、c 的值； （2）求 4a﹣3b+c 的值． 13.已知 P 为线段 AB 上一点，且 AB 被点 P 分为 AP：PB＝2：3． （1）求 AB：BP； （2）如果 AB＝100cm，试求 PB 的长． 14.如图，一个矩形广场的长为 100m，宽为 80m，广场外围两条纵向小路的宽均 为 1.5m，如果设两条横向小路的宽都为 xm，那么当 x 为多少时，小路内、外 边缘所围成的两个矩形相似． 14 题图 知识点三：相似三角形的判定 15.下列命题中，正确的个数是( ) ①所有的正三角形都相似； ②所有的直角三角形都相似； ③所有的等腰三角形都相似； ④所有的等腰直角三角形都相似. A.1 B.2 C.3 D.4 16.如图所示，在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D 点,则图中相似三角形有 ( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 16 题图 17 题图 17.如图，已知△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，则下列比例式成立的是( ) A. BC DE AB AE AC AD  B. BC DE AC AE AB AD  C. BC DE AB AC AE AD  D. BC DE EC AE AB AD  18．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC 的条件是( ) A．∠B＝∠DAC B．∠BAC＝∠ADC C．AC2＝DC·BC D．AD2＝BD·BC 18 题图 19 题图 20 题图 19．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使△CBF∽△CDE，则 BF 的长是( ) A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8 20．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与 △ABC 相似的是( ) 21. 一个三角形的三边长分别为 8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最 短边为 3 cm，则其余两边长为______________. 22．如图所示，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F，则图中的相似三角形共有______ 对． 22 题图 23 题图 23．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，G 是 BC 延长线上的一点，AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F，此图中的相似三角形共有______对． 24.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图所示的样子，假设图中的所 有点、线都在同一平面内. 请问图中： (1)共有多少个三角形？把它们都写出来； (2)有相似(不包括全等)三角形吗?若有，请把它们一一写出来. 24 题图 25.如图，已知△ABC，△DCE，△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边 BC、CE、 EG 在同一直线上，且 AB= 3 ，BC=1，连结 BF，分别交 AC、DC、DE 于点 P、 Q、R. (1)求 BF 的长；(2)求 BR 的长；(3)求 BQ 的长；(4)求 PQ 的长. 25 题图 26．如图所示，如果 D、E、F 分别在 OA、OB、OC 上，且 DF∥AC，EF∥BC． 求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；(2)△ODE∽△OAB；(3)△ABC∽△DEF． 26 题图 27.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，P 为 BD 上一动点，AB=60 cm，CD=40 cm，BD=140 cm，当 P 点在 BD 上由 B 点向 D 点运动时，PB 的长满足什么条件，可以使图 中的两个三角形相似?请说明理由. 27 题图 28.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AB2＝BD•BC （1）求证：△ABC∽△DBA； （2）试证明 CA＝CD. 28 题图 29.已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CF∥AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F．求证：BP2＝PE·PF． 29 题图 30．已知如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AH⊥BC 于 H，以 AB 和 AC 为边 在 Rt△ABC 外作等边△ABD 和△ACE，试判断△BDH 与△AEH 是否相似，并说 明理由． 30 题图 课时达标 1．下列说法正确的是（ ） A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．等边三角形都是相似图形 D．各边对应成比例的多边形是相似多 边形 2．一个多边形的边长分别为 2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长 边为 24，则这个多边形的最短边长为（ ） A．6 B．8 C．12 D．10 3．如图，一张矩形纸片 ABCD 的长 AB＝xcm，宽 BC＝ycm，把这张纸片沿一组 对边 AB 和 DC 的中点连线 EF 对折，对折后所得矩形 AEFD 与原矩形 ADCB 相 似，则 x：y 的值为（ ） A．2 B． C． D． − 3 题图 6 题图 4.已知 a、b、c 均不为 0，且 a+b+c≠0，若 ＝ ＝ ＝k，则 k＝（ ） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 5.在△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是 ( ) A.∠A=∠C′ B.∠A=∠A′ C. CB BA BC AB   D. CA BA AC AB   6.如图所示,铁道口的栏杆短臂长 1 m,长臂长 16 m,当短臂端点下降 0.5 m,长臂端 点升高( ) A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m 7.在△ABC 中，∠C=90°，D 是边 AB 上一点(不与点 A,B 重合)，过点 D 作直线与 另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 8．以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方 形的相似比为 ． 8 题图 9 题图 10 题图 9．如图，E，F 分别为矩形 ABCD 的边 AD，BC 的中点，且矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似，AB＝1，则 BC 的长为 ． 10．如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 ． 11.已知 x：y：z＝1：2：3，且 x﹣2y+3z＝4，则 x﹣y+z＝ ． 12.如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm，AB=4 cm， 则 AC 的长为_______________. 12 题图 13 题图 13．一块长 3m，宽 1.5m 的矩形黑板 ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框 宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D相似吗？为什么？ 14.如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG=2，GD=1，DF=5， 求 BC︰CE 的值． 14 题图 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点 B，点 D 是⊙O 上的一点，且 AD∥OC．求证：AD·BC＝OB·BD． 15 题图 16. 如图，F 是△ABC 的 AC 边上一点，D 为 CB 延长线一点，且 AF=BD,连接 DF, 交 AB 于 E. 求证： DE AC EF BC  . 16 题图 17.如图所示，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中 点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q. （1）请写出图中各对相似三角形(相似比为 1 除外)； （2）求 BP∶PQ∶QR. 17 题图 18．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观 点： 观点一：将外面大三角形按图 1 的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应 的边间距都为 1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为 6 和 10 的矩形按图 2 的方式向内缩小，得到新的矩形， 它们对应的边间距都为 1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图 3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC 按图 3 的方 式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为 m，DE＝15，求△DEF 的 面积． 高频考点 1.（2020•辽宁营口）如图，在△ABC 中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为 （ ） A． B． C． D． 1 题图 2 题图 3 题图 2. (2020•山东潍坊)如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AD 上的一点，且 ， 连接 BE 并延长交 CD 的延长线于点 F，若 DE＝3，DF＝4，则平行四边形 ABCD 的周长为( ) A．21 B．28 C．34 D．42 3.（2020•黑龙江哈尔滨）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 E 在 AC 边上，过点 E 作 EF∥BC，交 AD 于点 F，过点 E 作 EG∥AB，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ） A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 4.（2020•河南省）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，边 BC 在 x 轴上，顶点 A， B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（ ） A．（ ，2） B．（2，2） C．（ ，2） D．（4，2） 4 题图 5 题图 6 题图 5. (2020•江苏盐城)如图，BC∥DE，且 BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则 的值为 ． 6. （2020•江苏苏州）如图，在△ABC 中，已知 2AB  ， AD BC ，垂足为 D ， 2BD CD ．若 E 是 AD 的中点，则 EC  _________． 7.（2020•广东广州）如图，正方形 中， 绕点 逆时针旋转到 ， ， 分别交对角线 于点 ，若 ，则 的值为_______． 7 题图 8 题图 8. （2020•江苏苏州）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DF⊥AE，垂足 为 F． （1）求证：△ABE∽△DFA； （2）若 AB=6，BC=4，求 DF 的长． 9. (2020•江苏泰州)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P 为 BC 边 上的动点(与 B,C 不重合)，PD∥AB，交 AC 于点 D，连接 AP，设 CP＝x，△ADP 的面积为 S． (1)用含 x 的代数式表示 AD 的长； (2)求 S 与 x 的函数表达式，并求当 S 随 x 增大而减小时 x 的取值范围． 9 题图 10.（2020•贵州遵义）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，∠CAB 的 平分线 AD 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 的延长线于点 E． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，连接 BD．若 OF=1，BF=2，求 BD 的长度． 10 题图 11. （2020•湖南湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为 三角形的重心． （1）特例感知：如图（一），已知边长为 2 的等边△ABC 的重心为点 O，求 △OBC 与△ABC 的面积． （2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点 O，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由． （3）性质应用：如图（三），在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，连接 BE 交对角线 AC 于点 M． ①若正方形 ABCD 的边长为 4，求 EM 的长度； ②若 S△CME＝1，求正方形 ABCD 的面积． 第 27 章 相似复习课（第 1 课时）答案 互动训练 1. A. 解析：A.两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所 以一定相似，故本选项正确；B.两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以 不一定相似，故本选项错误；C.两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相 等，所以不一定相似，故本选项错误；D.两个等腰三角形的边不一定成比例，角 不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A． 2. A. 解析：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一 定相等，不符合相似的条件，故 A 符合题意；锐角三角形、菱形的原图与外框 相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故 B、D 不符合题意；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符 合相似的条件，故 C 不符合题意．故选：A． 3. A. 解析：设 A4 纸的高度为 xcm，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相 似， ∴ ，解得，x1＝﹣21 （舍去），x2＝21 ≈29.7， 则设 A4 纸的高度为 29.7cm，故选：A． 4. 100° . 解析：∵一个三角形的两个角分别为 25°、55°， ∴第三个角，即最大角为 180°﹣（25°+55°）＝100°， ∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为 100°，故答案为：100°． 5. 1︰2．解析：∵相似多边形的对应边的比等于相似比， ∴它们的相似比＝4︰8＝1︰2，故答案为 1︰2． 6. 135°．解析：∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝135°．故答案是：135°． 7. 解：（1）∵四边形 ABCD∽四边形 A1B1C1D1 相似，∴∠C＝∠C1＝90° ， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°． （2）∵四边形 ABCD∽四边形 A1B1C1D1 相似， ∴ ，∴ ，∴BC＝12，AD＝6， ∴四边形 ABCD 的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42． 8. D. 解析： AP︰PB＝2：3，AB︰PB＝（AP+PB）︰PB＝（2+3）︰3＝5︰3； 故选：D． 9. D. 解析：A、1×4≠2×3，故选项错误；B、2×5≠3×4，故选项错误； C、0.3×0.9≠0.6×0.5，故选项错误； D、 ＝ ，故选项正确．故选：D． 10. C. 解析：根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得 A、B 两地的实际距离为 20×1000000＝20000000（cm）＝200km． 故 A、B 两地的实际距离是 200km．故选：C． 11. C. 解析：设小正方形的边长为 a，大正方形的边长为 b， 则 AG＝b，BG＝b+a，BE＝2b﹣a，CE＝2b， ∴AB＝2b+a，BC＝2b+2b﹣a＝4b﹣a， ∵矩形 BEFG∽矩形 ABCD， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴b＝ a， ∴BG＝b+a＝ a，AD＝4b﹣a＝5a， ∵矩形 BEFG∽矩形 ABCD， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ．故选：C． 12. 解：（1）设 a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+3b﹣2c＝15，∴2k+9k﹣8k＝15，∴k＝5， ∴a＝10，b＝15，c＝20； （2）∵a＝10，b＝15，c＝20，∴4a﹣3b+c＝4×10﹣3×15+20＝15． 13. 解：（1）设 AP＝2x，则 PB＝2x，AB＝5x，所以 ＝ ＝ ； （2）当 AB＝100 时， ＝ ， 所以 PB＝60（cm）． 14. 解：当 ＝ 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．解得 x ＝1.2. 答：当 x 为 1.2m 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 15. B. 解析：两个直角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，等 腰三角形的对应角不一定相等，所以②③不正确,①符合 AA,④符合 SAS. 答案： B 16. C. 解析：根据有两角对应相等的三角形相似进行判定，有 3 对. 答案：C 17. A. 解析：找准对应边是关键，答案：A 18．D． 19．D． 20．A． 21. 4 cm，6 cm. 解析：可求得两个三角形对应边的相似比为 2,所以另外两边为 4,6. 答案：4 cm，6 cm 22．6 对． 23．6 对． 24. 解：(1)7 个, △ABD,△ABE,△ABC,△ADC,△ADE,△AEC,△AFG； (2)有,△ADE∽△CDA,△BAE∽△ADE,△ABE∽△DCA. 25. 解：(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG，BC=1，AB= 3 , ∴BC=CE=EG=1，EF=FG=AB= 3 . ∴BG=3. ∴ 3 3 3 1,3 3  FG EG BG FG ，∴ FG EG BG FG  . ∵∠G=∠G,∴△BFG∽△FEG. ∴ FG EG BF EF  .∴ 3 13  BF .∴BF=3. (2)∵△ABC,△DCE,△FEG 是三个全等的等腰三角形, ∴∠ACB=∠DEB=∠FGB=∠DCE=∠FEG. ∴AC∥DE∥FG,DC∥EF. 又∵BG=BF,∴BR=BE=2. (3)∵DC∥EF,BC=CE，∴BQ= 2 1 BF=1.5. (4)∵AC∥DE， ∴BP=BC=1. ∴PQ=BQ-BP=0.5. 26．提示：(1)OD∶OA＝OF∶OC，OE∶OB＝OF∶OC； (2)OD∶OA＝OE∶OB，∠DOE＝∠AOB，得△ODE∽△OAB； (3)证 DF∶AC＝EF∶BC＝DE∶AB． 27. 解：当△ABP∽△ PDC 时, CD PB PBBD AB  ,得 PB=120 或 PB=20; 当△ABP∽△CDP 时, BPBD PB CD AB  ,BP=85. 答:当 BP 分别为 120 cm,20 cm,85 cm 时,图中三角形相似. 28. 证明：（1）∵AB2＝BD•BC，∴ ＝ ， ∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA． （2）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°， ∵△ABC∽△DBA, ∴∠BAD＝∠C＝36°. ∴∠CAD＝72°， ∴∠CDA═180°﹣∠C﹣∠CAD＝72°， ∴∠CAD＝∠ADC，∴CA＝CD． 29. 证明：连接 PC，∵AB=AC，BD=CD， ∴AD 是 BC 的中垂线，∠ABC=∠ACB, ∴PB=PC, ∠PBC=∠PCB, ∴∠ABP=∠ACP, ∵CF∥AB，∴∠F=∠ABP=∠ACP, 又∵∠EPC=∠CPF, ∴△PCE∽△PFC， ∴PC︰PE=PF︰PC，∴PC2=PE·PF， ∴PB2=PE·PF. 29 题图 30．解：相似．由△BHA∽△AHC 得 ,AC BA AH BH  再有 BA＝BD，AC＝AE． 则： ,AE BD AH BH  再有∠HBD＝∠HAE，得△BDH∽△AEH． 课时达标 1. C. 解析：A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题 意； B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意； C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意； D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意， 故选：C． 2. B. 解析：设这个多边形的最短边长为 x， ∵两个多边形相似，∴ ，解得，x＝8，故选：B． 3. B. 解析：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC＝ycm， 由折叠的性质得：AE AB x， ∵矩形 AEFD 与原矩形 ADCB 相似， ∴ ，即 ，∴x2＝2y2，∴x y，∴ ．故选：B． 4. D. 解：由若 ＝ ＝ ＝k，得 2b+c＝ak，2c+a＝bk，2a+b＝ck， 三式相加，得 3（a+b+c）＝k（a+b+c） 由于 a、b、c 均不为 0，且 a+b+c≠0，所以 k＝ ＝3．故选：D． 5. D. 解析：画出草图帮助分析，得 D 不满足 SAS 判定法.答案：D 6. C. 解析：作出如下示意图，由△AOB∽△EOD 可求得答案.答案：C 6 题图 7 题图 7. C. 解析：如图所示，有三条直线可满足要求.答案：C 8. 2 ︰2. 解析如图，设正方形 ABCD 的边长为 2a， ∵E、F、G、H 分别为正方形 ABCD 各边的中点，∴AE＝AH＝a， ∵∠A＝90°，∴EH a， ∴新正方形与原正方形的相似比＝EH：AB a：2a ：2． 故答案为： 2 ︰2. 9. 2 .解析：∵矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似， ∴ ，即 ，解得，AD ，∴BC＝AD ，故答案为： ． 10. 67°. 解析:如图，∵四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，∴∠A′＝∠A＝138°， ∴α＝∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣138°﹣80°﹣75°＝67°， 故答案为 67°． 10 题图 11. 4 3 解：∵x：y：z＝1：2：3，∴设 x＝t，y＝2t，z＝3t， ∵x﹣2y+3z＝4，∴t﹣4t+9t＝4，解得 t＝ ， ∴x﹣y+z＝t﹣2t+3t＝2t＝2× ＝ ．故答案为 ． 12. 32 cm. 解析：由△ABC∽△ACD,得 AC2=AD·AB. 答案： 32 cm 13. 解：不相似；内边缘的矩形 ABCD 长 AD＝300 cm，宽 AB＝150 cm， 外边缘的矩形长 A'D'＝315 cm，宽 A'B'＝165 cm， ∵ ' '  ， ' '    ， ' ' ≠ ' ' ， 所以内外边缘所成的两个矩形不相似． 14. 解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3， ∵AB∥CD∥EF，BC︰CE=AD︰DF=3︰5 15．证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠D＝90°． ∵BC 是⊙O 的切线，∴OB⊥BC． ∴∠OBC＝90°．∴∠D＝∠OBC． ∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽△OBC．  CB BD OB AD ∴AD·BC＝OB·BD． 16. 证明：过点 F 作 FG∥BC,交 AB 于 G. 则△DBE∽△FGE， △AGF∽△ABC， ∵ DE DB EF GF  , 又∵AF=BD, ∴ .DE AF EF GF  ∵△AGF∽△ABC， ∴ AF AC GF BC  , 即 DE AC EF BC  . 16 题图 17. 解：（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ （2）∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形 ∴BC=AD=CE，AC∥DE，∴PB=PR， PC 1=RE 2 又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ. 又∵点 R 是 DE 中点，∴DR=RE. PQ PC PC 1= = =QR DR RE 2 ，∴QR=2PQ. 又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ. ∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2 18. 解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长 DA，交 FC 的延长线于点 O， ∵△ABC 和△DEF 对应的边的距离都为 1，∴AB∥DE，AC∥DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为 6 和 10， 则新矩形邻边为 4 和 8， ∵ ，  ，∴ ≠  ， ∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确； （2）如图（3），延长 DA、EB 交于点 O， ∵A 到 DE、DF 的距离都为 1，∴DA 是∠FDE 的角平分线， 同理，EB 是∠DEF 的角平分线，∴点 O 是△ABC 的内心， ∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC 是直角三角形， 设△ABC 的内切圆的半径为 r， 则 6﹣r+8﹣r＝10，解得 r＝2， 过点 O 作 OH⊥DE 于点 H，交 AB 于 G， ∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2， ∴ ，同理 ， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF 的面积为： ×9×12＝54． 高频考点 1. A. 解：∵DE∥AB，∴ ＝ ＝ ，∴ 的值为 ，故选：A． 2. C. 解 析 ： ∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴AB∥CF ， AB ＝ CD ， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3 ＝9， ∴平行四边形 ABCD 的周长为：(8+9)×2＝34．故选 C． 3. C. 解析：∵EF∥BC，∴ ， ∵EG∥AB，∴ ，∴ ，故选：C． 4. B. 解析：如图，设正方形 D′C′O′E′是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方 形， ∵顶点 A，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）， ∴AC＝6，OC＝2，OB＝7，∴BC＝9， ∵四边形 OCDE 是正方形，∴DE＝OC＝OE＝2，∴O′E′＝O′C′＝2， ∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴BO′＝3， ∴OC′＝7﹣2﹣3＝2， ∴当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（2，2），故选：B． 4 题图 5. 2. 解析：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8， ∴ ，故答案为：2． 6. 1. 解析： 2BD DC ， 2BD DC   E 为 AD 的中点， 2AD DE  ，∴ 2AD DE  ， 2BD AD DC DE    ， AD BC , 90ADB EDC    ， ADB EDC  2AB BD EC DC    ， 2AB  ， 1EC  . 故答案为：1． 7. 16. 解析：在正方形 ABCD 中， ， ∵ 绕点 逆时针旋转到 ，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ．故答案为：16． 8. （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ 90B   ， AD BC∥ ．∴ AEB DAF   ， ∵ DF AE ，∴ 90DFA  ．∴ B DFA   ， ∴ ABE DFA ∽ ． （2）解：∵ ABE DFA ∽ ，∴ AB AE DF AD  ． ∵ 4BC  ， E 是 BC 的中点，∴ 1 1 4 22 2BE BC    ． ∴在 Rt ABE 中， 2 2 2 26 2 2 10AE AB BE     ． 又∵ 4AD BC  ，∴ 6 2 10 4DF  ，∴ 6 10 5DF  ． 9. 解：(1)∵PD∥AB，∴ CB CP = CA CD ，∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，∴ 4 x = 3 CD ， ∴CD＝ x4 3 ，∴AD＝AC－CD＝3－ x4 3 ，即 AD＝－ x4 3 +3； (2)根据题意得，S＝ 2 1 AD·CP= )34 3(2 1  xx = 2 3)2(8 3 2  x ，∴当 x≥2 时，S 随 x 的增大而减小，∵0＜x＜4，∴当 S 随 x 增大而减小时 x 的取值范围为 2≤x ＜4． 10. 解：（1）连接 OD，如图： ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO， ∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE=∠OAD， ∴∠ADO=∠DAE，∴OD∥AE， ∵DE∥BC，∴∠E=90°，∴∠ODE=180°-∠E=90°， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OF=1，BF=2，∴OB=3，∴AF=4，BA=6． ∵DF⊥AB，∴∠DFB=90°，∴∠ADB=∠DFB， 又∵∠DBF=∠ABD，∴△DBF∽△ABD， ∴ BD BF BA BD  ，∴BD2=BF•BA=2×6=12． ∴BD=2 3 ． 10 题图 11 题图 11. 解：（1）连接 DE，如图， ∵点 O 是△ABC 的重心，∴AD，BE 是 BC，AC 边上的中线， ∴D，E 为 BC，AC 边上的中点，∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE∥AB，DE＝ AB，∴△ODE∽△OAB， ∴ ＝ ，∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°， ∴AD＝ ，OD＝ ， ∴ ， ＝ ； （2）由（1）可知， ，是定值； 点 O 到 BC 的距离和点 A 到 BC 的距离之比为 1：3， 则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点 O 到 BC 的距离和点 A 到 BC 的距离之 比， 故 ＝ ，是定值； （3）①∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4， ∴△CME～△AMB，∴ ， ∵E 为 CD 的中点，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，即 ； ②∴S△CME＝1，且 ，∴S△BMC＝2， ∵ ，∴ ， ∴S△AMB＝4，∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6， 又 S△ADC＝S△ABC，∴S△ADC＝6， ∴正方形 ABCD 的面积为：6+6＝12．