第 28 章 锐角三角函数复习课
互动训练
知识点一：三角函数
1．计算 2 cos45°的结果等于( )
A． 2 B．1 C． 2
2
D． 3
3
2．如图，Rt△ABC 中， 90C ， 4b ， 5c ，则 sinA 的值是（ ）
A． 3
4 B． 4
5 C． 3
5 D． 5
6
2 题图 4 题图 6 题图
3．在 Rt△ABC 中， 190 ,cos 2C A ，则∠B 的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，△ABC 的顶点都是边长为 1 的小正方形组成的网格的格点，则
sin∠BAC 的值为______.
5．计算： 222cos 45 tan 60 2 o o ______.
6．如图，菱形 ABCD 的边长为 15， 3sin 5BAC ，则sin BAD _________．
7．计算： 22sin 45 sin 60 cos30 tan 60 .
8．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点， AE BC DF AE＝ ， ，垂足
为 F.
（1）求证：AF=BE；
（2）如果 BE︰EC=2︰1，求∠CDF 的余切值.
8 题图
9．如图，△ABC 中，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，AE 平分∠BAC 交
BC 于点 E，交 CD 于点 F．且 CE=CF．
（1）求证：直线 CA 是⊙O 的切线；
（2）若 BD= 4
3 DC，求 DF
CF
的值．
9 题图
10．如图，已知 Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠BAC＝45°．
（1）用尺规作图，：在 CA 的延长线上截取 AD＝AB，并连接 BD（不写
作法，保留作图痕迹）
（2）求∠BDC 的度数．
（3）定义：在直角三角形中，一个锐角 A 的邻边与对边的比叫做∠A 的
余切，记作 cotA，即 ，根据定义，利用图形求 cot22．5°的
值．
知识点二：解直角三角形
11．如图，△AOB 是等边三角形，B（2，0），将△AOB 绕 O 点逆时针方向
旋转 90°到△A′OB′位置，则 A′坐标是（ ）
A．（﹣1， 3 ） B．（﹣ 3 ，1） C．（ 3 ，﹣1） D．（1，﹣ 3 ）
11 题图 12 题图 13 题图
12．如图所示，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作
法是：
（1）作线段 AB ，分别以 ,A B 为圆心，以 AB 长为半径作弧，两弧的交点为C ；
（2）以C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D ；
（3）连接 ,BD BC ．
下列说法不正确的是（ ）
A． 30CBD B． 2 2sin sin 1A D
C．点C 是 ABD 的外心 D． 23
2BDCS AB
13．如图，小明在一条东西走向公路的 O 处，测得图书馆 A 在他的北偏东 60
方向，且与他相距 200m，则图书馆 A 到公路的距离 AB 为（ ）
A．100m B．100 2m C．100 3m D． 200 3 m3
14．如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =22.5°，
则 AC 的长为_______．
14 题图 15 题图 16 题图
15．如图所示，小明从坡角为 30°的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了 50
米，则山坡的高度 BC 为_________米．
16．如图，△ABC 中，BD 和 CE 是两条高，如果∠A＝45°，则 DE
BC
＝ ．
17．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 BC 边上一点，AC=2，CD=1，
设∠CAD=α.
(1) 求 sinα、cosα、tanα的值;
(2) 若∠B=∠CAD，求 BD 的长.
17 题图
18．我们把底角为 51°的等腰三角形称为最稳定三角形． 如图，已知△ABC
是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m．求 BC 边上的高 AD 的长．
（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到 1m）
18 题图
19．如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D，
交 BC 于点 E，过点 D 作 DF∥BC，交 AC 的延长线于点 F．
（1）依题意补全图形并证明：DF 与⊙O 相切；
（2）若 AB＝6，求 CF 的长．
19 题图
20．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，点 P 是直径 AB 上的一点，（不
与 A，B 重合），过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q．
（1）点 D 在线段 PQ 上，且 DQ=DC．求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若 sin∠Q= 3
5
，BP=6，AP=2，求 QC 的长．
20 题图
知识点三：解直角三角形的应用
21．已知 A、B 两点，若 A 对 B 的仰角为α，则 B 对 A 的俯角为( )
A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α
22．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生
利用导航到 C 地进行社会实践活动，到达 A 地时，发现 C 地恰好在 A 地正
北方向，导航显示路线应沿北偏东 60°方向走到 B 地，再沿北偏西 37°方向走
才能到达 C 地．如图所示，已知 A，B 两地相距 6 千米，则 A，C 两地的距
离为( )千米．(参考数据 sin53°≈0.80，cos53°≈0.60)
A．12 B．(3+4 3 ) C．(3+5 3 ) D．(12﹣4 3 )
22 题图 25 题图 26 题图
23．以直角坐标系的原点 O 为圆心，以 1 为半径作圆。若点 P 是该圆上第一
象限内的一点，且 OP 与 x 轴正方向组成的角为α，则点 P 的坐标为（ ）
A．(cosα,1) B．(1,sinα) C．(sinα,cosα) D．(cosα,sinα)
24．2022 北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为
30°，在此雪道向下滑行 100 米，高度大约下降了 米.
25．河堤横断面如图所示，坝高 8 米，迎水坡 AC 的高坡比为 1︰ 3 ，则
AB 的长为 ．
26．在一次夏令营活动中，小亮从位于 A 点的营地出发，沿北偏东 60°方向
走了 5km 到达 B 地，然后再沿北偏西 30°方向走了若干千米到达 C 地，测得
A 地在 C 地南偏西 30°方向，则 A、C 两地的距离为 ．
27．如图，为了测量某建筑物的高 AB，在距离 B 点 20 3 米的 D 处安置测角
仪，测得点 A 的仰角 为 60°，已知仪器的高 CD=1.5 米，求建筑物的高 AB.
27 题图
28．“天空之城”摩天轮，位于宁波市杭州湾新区欢乐世界．摩天轮高约 126
米（最高点到地面的距离）．如图，点 O 是摩天轮的圆心，AB 是其垂直于地
面的直径，小明在地面 C 处用测角仪测得摩天轮最高点 A 的仰角为 45°，测
得圆心 O 的仰角为 30°，求摩天轮的半径．（结果保留根号）
29．如图，著名旅游景区 B 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行 C 地，
沿折线 A→C→B 方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅
游经济，修建了一条从 A 地到景区 B 的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B
＝30°，BC＝100 千米， 2 ≈1.4， 3 ≈1.7 等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从 A 地到景区 B 旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，
实际工作时每天的工效比原计划增加 25%，结果提前 50 天完成了施工任
务．求施工队原计划每天修建多少千米？
29 题图
30．如图，小区内有一条南北方向的小路 MN，快递员从小路旁的 A 处出发
沿南偏东 53°方向行走 200m 将快递送至 B 楼，又继续从 B 楼沿南偏西 30°
方向行走 120m 将快递送至 C 楼，求此时快递员到小路 MN 的距离．（计算结
果精确到 1m．参考数据：sin53 0.80,cos53 0.60,tan53 1.33 ）
30 题图
课时达标
1．在△ABC 中，若 23| cos | (1 tan ) 02A B ，则∠C 的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
2．如图所示，在 Rt△ABC 中， 90B ， 3sin 5C ， 4BC ，则 AB 长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2 题图 3 题图 4 题图
3．如图是某水库大坝横断面示意图．其中 AB、CD 分别表示水库上下底面的水平线，
∠ABC=120°，BC 的长是 50m，则水库大坝的高度 h 是（ ）
A． 25 3m B． 25m C．25 2m D． 50 3 m3
4．如图，在△ABC 中， 4AC ， 60ABC ， 45C ，AD BC ，垂足为 D ， ABC
的平分线交 AD 于点 E ，则 AE 的长为（ ）
A． 2
2
B． 2 2
3
C． 4 2
3
D． 3 2
2
5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么 cosB=______．
6．在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 为 BC 边上的高，AD=6 3 ，CD=1，则 BC 的长为
________．
7．如图，⊙C 过原点 O 并与坐标轴分别交于 A、D 两点．已知∠OBA=30°，点 D 的
坐标为（0，2 3 ），则点 C 的坐标为__________．
7 题图 8 题图
8．如图，小明从 A 地沿北偏东 30°方向走 100 3 m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走
200m 到 C 地，此时小明离 A 地______m．
9．计算: 22cos 30 tan 60 2 sin 45 cos45 .
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC︰BC=3:2，求 sinA 和 sinB 的值.
10 题图
11．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角，AB＝3 2 ，BC＝7，sinB＝ 2
2
，求 AC 的长．
11 题图
12．如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图 1 所示的是一款非常畅销的
简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图 2 所示的是其侧面示
意图，其中 OD 为镜面，EF 为放置物品的收纳架，AB、AC 为等长的支架，BC 为水
平地面，已知 44 120 40OA cm OD cm BD cm ， ， ， 75ABC ．(结果精确到
1cm．参考数据： 75 0.97 75 0.26 75 3.73 2 1.41 3 1.73sin cos tan ， ， ， ， )
（1）求支架顶点 A 到地面 BC 的距离．
（2）如图 3，将镜面顺时针旋转 15°，求此时收纳镜顶部端点 O 到地面 BC 的距离．
13．如图，A、B、C 三个城市位置如图所示，A 城在 B 城正南方向 180 km 处，C 城
在 B 城南偏东 37°方向．已知一列货车从 A 城出发匀速驶往 B 城，同时一辆客车从 B
城出发匀速驶往 C 城，出发 1 小时后，货车到达 P 地，客车到达 M 地，此时测得∠BPM
＝26°，两车又继续行驶 1 小时，货车到达 Q 地，客车到达 N 地，此时测得∠BNQ＝
45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈ 3
5
，cos37°≈ 4
5
，tan37°≈ 3
4
，sin26°≈ 2
5
，cos26°≈ 9
10
，
tan26°≈ 1
2
）
13 题图
14．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习
小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底
部 B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点 D，并在点 D 处安装了测
量器 DC，测得古树的顶端 A 的仰角为 45°；再在 BD 的延长线上确定一点 G，使 DG=5
米，并在 G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 BG 方向移动，当移动带
点 F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时，测得 FG=2 米，
小明眼睛与地面的距离 EF=1.6 米，测倾器的高度 CD=0.5 米。已知点 F、G、D、B
在同一水平直线上，且 EF、CD、AB 均垂直于 FB，求这棵古树的高度 AB。（小平面
镜的大小忽略不计）
14 题图
高频考点
1. （2020•广西玉林）sin45°的值是（ ）
A． B． C． D．1
2. (2020•江苏扬州)如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A，B，C 都在格
点上，以 AB 为直径的圆经过点 C，D，则 sin∠ADC 的值为( )
A． B． C． D．
2 题图 4 题图
3. （2020•湖南长沙）从一艘船上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部的仰角为 30°时，
船离灯塔的水平距离是（ ）
A．42 米 B．14 米 C．21 米 D．42 米
4.（2020•广东广州）如图， 中， ， ， ，以点 为
圆心， 为半径作 ，当 时， 与 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
5. （2020•江苏苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 AB 的高度，他作了如下
操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ACE ；（2）量得测角仪的
高度CD a ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 DB b ．利用锐角三角函数解直角
三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A. tana b B. sina b C. tan
ba D. sin
ba
5 题图 6 题图
6. （2020•江苏常州）如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC＝2BC，分别以 AC.BC 为边在
线段 AB 的同侧作正方形 ACDE.BCFG，连接 EC.EG，则 tan∠CEG＝ ．
7（2020•黑龙江哈尔滨）在△ABC 中，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，AD＝6 ，
CD＝1，则 BC 的长为 ．
8. (2020•江苏泰州)计算：(－π)0+ 1)2
1( － 3 sin60°.
9.（2020•湖北襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁
路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿 AC 方向开山修路，为加快
施工进度，需在小山的另一边点 E 处同时施工．要使 A.C.E 三点在一条直线上，工程
队从 AC 上的一点 B 取∠ABD＝140°，BD＝560 米，∠D＝50°．那么点 E 与点 D 间
的距离是多少米？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
9 题图
10. (2020•湖南怀化)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树 A 点
处测得古树顶端 D 的仰角为 30°，然后向古树底端 C 步行 20 米到达点 B 处，测得古
树顶端 D 的仰角为 45°，且点 A.B.C 在同一直线上求古树 CD 的高度．（已知： ≈1.414，
≈1.732，结果保留整数）
10 题图
11. （2020•贵州铜仁）如图，一艘船由西向东航行，在 A 处测得北偏东 60°方向上有
一座灯塔 C，再向东继续航行 60km 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30°方向上，
已知在灯塔 C 的周围 47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
11 题图
12. （2020•贵州遵义）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该
测温门截面示意图，已知测温门 AD 的顶部 A 处距地面高为 2.2m，为了解自己的有
效测温区间．身高 1.6m 的小聪做了如下实验：当他在地面 N 处时测温门开始显示额
头温度，此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 18°；在地面 M 处时，测温门停止显示额
头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 60°．求小聪在地面的有效测温区间 MN 的
长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到 0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，
tan18°≈0.32）
12 题图
第 28 章 锐角三角函数复习课答案
互动训练
1. B. 解析： 22 cos45 2 12
，故选： B .
2．C. 解析：根据勾股定理可得 a= 2 2 3c b ，∴ 3sin 5
aA c
，故选 C．
3．A. 解析：∵cosA= 1
2
，∴∠A=60°，∴∠B=90°=60°=30°，故选 A.
4． 5
5 . 解析：根据网格画出直角△ABD，如下图所示.
由图形可得 AD=4，BD=2，
由勾股定理可得：AB= 2 2 2 24 2 2 5AD BD ，
所以 sin∠BAC= 2 5
52 5
BD
AB
.故答案为： 5
5
.
5． 3 1 . 解析：原式= 2222 3 22
（ ） = 12 2 32
（ ）= 3 1 ，
故答案为： 3 1 .
6． 24
25 . 解析：连接 BD 交 AC 于 O， BE AD 于 E，如图所示：
∵菱形 ABCD， ∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC
在直角三角形 AOB 中,因为 sin∠BAC＝ 3
5
，AB=15
∴sin∠BAC＝ OB
AB = 3
5
， ∴ 3
15 5
OB ，∴OB=9，BD=18
由勾股定理可得：OA=12， ∴AC=24
∵ 1
2ABCDS AC BD AD BE 菱形 ，∴
1 24 18 722
15 5BE
在 Rt△ABE 中， 72 1 24sin 5 15 25
BEBAD AB
， 故答案为： 24
25
．
6 题图 8 题图
7．解：原式 22 3 32 ( 3)2 2 2
3 2 .
8．解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
AD BC AD BC ＝ ， ∥ ， AD AE DAF AEB ＝ ， ＝ ，
在△ABE 和△DFA 中，
∠DFA=∠AEB，∠AFD=∠EBA，AD=AE，
∴△ABE≌△DFA， ∴AF=BE；
（2） ABE DFA ≌ ， AD AE DAF AEB ＝ ， ＝ ，
设CE k＝ ， 21BE EC ： ＝ ：， 2BE k ＝ ， 3AD AE k ＝ ＝ ，
2 2 5AB AE BE k ，
90 90ADF CDF ADF DAF ＝ ， ＝ ，
CDF DAE ＝ ， CDF AEB ＝ ，
2 2 5cot cot 55
BE kCDF AEB AB k
.
9．解：（1）证明：∵BC 为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°
∵AE 平分∠BAC， ∴∠1=∠2，
∵CE=CF，∴∠4=∠5，∵∠3=∠4，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=90°，
∴∠ACB=90°，即 AC⊥BC，∴直线 CA 是⊙O 的切线；
（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，
∴ AD DF DF
AC CE CF
，∵BD= 4
3 DC，∴tan∠ABC= CD
BD = 3
4
∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，
∴tan∠ACD= 3
4
，∴sin∠ACD= 3
5
AD
AC
，∴ DF
CF = 3
5
AD
AC
．
9 题图 10 题图
10．解：（1）如图，
（2）∵AD=AB，∴∠ADB=∠ABD，而∠BAC=∠ADB+∠ABD，
∴∠ADB= ∠BAC= ×45°=22．5°，即∠BDC 的度数为 22．5°；
（3）设 AC=x，∵∠C=90°，∠BAC=45°，
∴△ACB 为等腰直角三角形，∴BC=AC=x，AB= AC= x，
∴AD=AB= x，∴CD= x+x=（ +1）x，
在 Rt△BCD 中，cot∠BDC= = = +1，
即 cot22．5°= +1．
11．B. 解析：如图，过点 A′作 A′C⊥x 轴于 C，∵B（2，0），
∴等边△AOB 的边长为 2，
又∵∠A′OC＝90°−60°＝30°，
∴OC＝2×cos30°=2× 3
2
＝ 3 ，A′C＝2× 1
2
＝1，
∵点 A′在第二象限，∴点 A′（﹣ 3 ，1）．故选：B．
11 题图
12．D. 解析：由作法得 CA＝CB＝CD＝AB，∴点 B 在以 AD 为直径的圆上，
∴∠ABD＝90°，∴点 C 是△ABD 的外心，
在 Rt△ABD 中，sin∠D＝ AB
AD = 1
2
，∴∠D＝30°，∠A＝60°，
∴sin2A＋sin2D＝1，
∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠D＝30°，∵BD＝ 3 AB，
∴S△BDC＝ 1
2 S△ABD＝ 1
2 × 1
2 ×AB× 3 AB＝ 23
4 AB ． 故选：D．
13．A. 解析：由已知得，∠AOB=90° - 60°=30°，OA=200m．
则 AB= 1
2 OA=100m．故选：A．
14． 2 . 解析：∵AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E，BE=2，∠B=22.5°
∴AE=BE=2，∴∠EAB=∠B=22.5°．
∵∠AEC 是△ABE 的外角，∴∠AEC=∠B+∠EAB=45°．
∵∠C=90°，∴AC=AE•sin45°=2× 2
2
= 2 ．故答案为： 2 ．
15．25. 解析：在 Rt△ABC 中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC= 1
2 AB= 1
2 ×50=25（米）．故答案为：25．
16． 2
2
．. 解析：解：∵△ABC 中 BD 和 CE 是两条高，∠A=45°，
∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴△AEC 和△ABD 是等腰直角三角形，
∴在 Rt△ACE，Rt△ABD 中， 2cos 2
AEA AC
，
2cos 2
ADA AB
，∠A 是公共角，∴△ADE∽△ACB，
2
2
DE AE
BC AC
．故答案为： 2
2
．
17．解：在 Rt△ACD 中，∵AC=2，DC=1，∴AD= 2 2AC CD = 5 ．
（1）sinα= CD
AD = 1
5 = 5
5
，cosα= AC
AD = 2
5 = 2 5
5
，tanα= CD
AC = 1
2
；
（2）在 Rt△ABC 中，tanB= AC
BC
，即 tanα= 2
BC = 1
2
，
∴BC=4，∴BD=BC-CD=4-1=3．
18．解：∵ △ABC 是最稳定三角形，∴∠B=∠C=51°，且 AB=AC，
∵ AD BC，∴BD= 1
2 BC=116.4m，
∴ AD= 116.4×tan51°=139.68 ≈140m，
∴BC 边上的高 AD 的长是 140 米．
19．解：（1）如图，
依题意补全图形．
证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，∴ AB AC ，
∵AD 过圆心 O，∴∠AEC＝90°，
∵DF∥BC，∴∠ADF＝90°，∴DF 与⊙O 相切．
（2）解：连接 DC，
∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，
∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°，
∵∠ADF＝90°，∴∠F=60°，
∵AD 是直径，∴∠ACD＝90°，
∴ 3tan 6 2 33DC AD CAD ，
∵∠DCF＝90°，∠F＝60°，∴ 2 3 2tan 3
CDCF F
．
20．（1）如图，连结 OC．
∵DQ=DC，∴∠Q=∠QCD．∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．
∵QP⊥BP，∴∠QPB=90° ，即∠B+∠Q=90°，
∴∠QCD+∠OCB=90°，∴∠OCD=90°，
∴CD⊥OC，即 CD 是⊙O 的切线；
（2）如图，连结 AC，
∵BP=6，AP=2，∴AB=8，
∵在 Rt△BQP 中，sinQ= 6 3
5
BP
BQ BQ
，∴BQ=10，
连接 AC，∵AB 是是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠QPB=90°，
又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△QBP，
∴ BC AB
BP BQ
，即 8
6 10
BC ，∴BC= 24
5
，∴CQ=BQ-BC= 6
5 .
21．A. 解析：如图，
∵A 对 B 的仰角为α，∴B 对 A 的俯角为α．故选 A．
21 题图 22 题图 23 题图
22．B. 解析：如图，作 BD⊥AC 于点 D，则∠BAD=60°、∠DBC=53°，
在 Rt△ABD 中，AB=6，AD= 1
2 AB= 1 62
=3，BD= 3 AD=3 3 ，
∵sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，∴tan53°= sin53 4
cos53 3
，
在 Rt△BCD 中，∵tan53°= 4
3
CD
BD
，∴CD= 4
3 BD= 4 3 ，
AC=AD+CD=3+4 3 (千米)，故选：B．
23．D. 解析：如图所示，作 PA⊥x 轴于点 A，
则∠POA=α，sinα= PA
PO
，∴PA=OP⋅sinα，
∵cosα= OA
PO
，∴OA=OP⋅cosα，
∵OP=1，∴PA=sinα，OA=cosα. ∴P 点的坐标为(cosα,sinα)， 故选 D.
24．50. 解析： sin ABC AC
， sin 100sin30 50(AB AC C 米) ，
故答案为：50．
25．16m. 解析：∵坝高 8 米，迎水坡 AC 的高坡比为 1︰ 3 ， AC 8 3m ，
故在 Rt BCA 中， 2 2AB 8 (8 3) 16 （m）故答案为：16m．
26．10 3
3
km. 解析：
由题意可知，AB＝5km，∠2＝30°，∠EAB＝60°，∠3＝30°．
∵EF∥PQ，∴∠1＝∠EAB＝60°
又∵∠2＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∴△ABC 是直角三角形．
又∵MN∥PQ，∴∠4＝∠2＝30°．
∴∠ACB＝∠4+∠3＝30°+30°＝60°．
∴AC＝
5 10 3
sin 33
2
AB
ACB
km．故答案为：10 3
3
km．
27．解：如图所示：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
由题意可得： 20 3CE BD m ，则 tan60 3
20 3
AE AE
CE
° ，
解得：AE=60，故 AB=60+1.5=61.5（m）.
答：建筑物的高 AB 为 61.5m.
27 题图 28 题图
28．解：如图，延长 AB 与地面所在直线交于点 D，
根据题意可知：AB⊥CD，∴∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，∴CD=AD=126（米），
∵∠OCD=30°，OD=AD-AO=126﹣AO，
∴tan30°= OD
CD
，即 3 126
3 126
AO ，解得 AO=126﹣42 3 （米）．
答：摩天轮的半径为（126-42 3 ）米．
29．解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，
在直角△BCD 中，AB⊥CD，sin30°＝ CD
BC
，BC＝1000 千米，
∴CD＝BC•sin30°＝100× ＝50（千米），
BD＝BC•cos30°＝100× ＝50 （千米），
在直角△ACD 中，AD＝CD＝50（千米），
AC＝ ＝50 （千米），∴AB＝50+50 （千米），
∴AC+BC﹣AB＝50 +100﹣（50+50 ）＝50+50 ﹣50 ≈35（千米）．
答：从 A 地到景区 B 旅游可以少走 35 千米；
（2）设施工队原计划每天修建 x 千米，
依题意有， ﹣ ＝50，
解得 x＝0.14，经检验 x＝0.14 是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建 0.14 千米．
30．解：如图，过 B 作 BD⊥MN 于 D，过 C 作 CE⊥MN 于 E，过 B 作 BF⊥EC 于 F，
则四边形 DEFB 是矩形，∴BD=EF，
在 Rt△ABD 中, ADB 90 , 53DAB ，AB=200m，
∴ sin53 200 0.8 160BD AB m，
在 Rt△BCF 中, 90BFC , 3CBF 0 ，BC=120m，
∴ 1 602CF BC m，∴ 160 60 100CE EF CF m，
答：快递员到小路 MN 的距离是 100m.
30 题图
课时达标
1．D. 解析：由题意得，cosA＝ 3
2
，tanB＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故选：D．
2. B. 解析：∵在 Rt△ABC 中， 90B ， 3sin 5C ， 4cos 5C ，即 4
5
BC
AC
.
又 4BC ，AC=5， AB = 2 2AC BC = 2 25 4 =3. 故选 B.
3．A. 解析：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°．
在 Rt△CBE 中，BC=50m，∴CE=BC•sin60°= 25 3 m ．故选 A．
3 题图 5 题图
4．C. 解析：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90
在 Rt△ADC 中，AC=4，∠C=45，∴AD=CD= 2 2
在 Rt△ADB 中，AD= 2 2 ，∠ABD=60，∴BD= 3
3
AD= 2 6
3
．
∵BE 平分∠ABC，∴∠EBD=30°．
在 Rt△EBD 中，BD= 2 6
3
，∠EBD=30°，
∴DE= 3
3
BD= 2 2
3
，∴AE=AD−DE= 2 2 - 2 2
3
= 4 2
3
，故选：C
5． 4
5 . 解析：如图， C 90 ， AB 5 ， BC 4 ， BC 4cosB AB 5
，
故答案为： 4
5
．
6．7 或 5. 解析：如图，∵在 Rt△ABD 中， 60ABC ， 6 3AD ，
∴ tan ADABC BD
，即： 6 3 3BD
，∴ 6BD ，
当 D 在 BC 之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当 D 在 BC 延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7 或 5．
6 题图 7 题图 8 题图
7．（－1， 3 ）．. 解析：连接 AC，OC，作 CE⊥OD 于 E，CF⊥AO 于 F，
因为 OD=2 3 ，由垂径定理得：OE= 3 ，即 CF= 3 ，
因为∠OBA=30°，由圆周角定理得：∠ACO=2∠OBA=60°，
所以∠OCF=30°，OF= 3
3
CF= 3
3
× 3 =1，
因为点 C 在第二象限，所以点 C 的坐标为（－1， 3 ）．故答案为：（－1， 3 ）．
8．100. 解析：如图，∵∠EAB=30°，∴∠BAD=60°．
∵AB=100 3，∴AD=100?cos30°=50 3，BD=100cos30°=150．
∵BC=200，∴CD=50．∴AC= =100（m）．
9．解：原式=
2
3 2 232 2 22 2
= 12 24 33
2
= 1
2 2 2
3 3 = 3
10．解：设 AC=3a，BC=2a，在 Rt△ABC 中，由勾股定理，
得 AB= 2 2AC BC = 2 23 2a a = 13a
∴ 2 2 13sinA 1313
BC a
AB a
, 3 3 13sinB 1313
AC a
AB a
.
11．解：作 AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sinB＝ 2
2
，∴∠B＝∠BAD＝45°，∵AB＝3 2 ，∴AD＝BD＝ 2
2
AB＝3，
∵BC＝7，∴DC＝4，∴在 Rt△ACD 中，AC＝ 2 2AD CD ＝5．
11 题图
12．解：（1）如图 1，过点 A作 AI BC 于点 I ，
∵ 44 120OA cm OD cm ， ，∴ 76AD OD OA cm ，
∵ 40BD cm ，∴ 76 40 116AB BD AD cm ，
∵ 75ABC ，∴在 Rt ABI 中， 75 116 0.97 113AI AB sin cm ，
答：支架顶点 A到地面 BC 的距离约为113cm；
（2）如图 2，过点O作OG BC 于点G ，
∵ 30 15BAC DAE ， ，∴ 135OAC ，
过点 A作 AH OG 于点 H ，由（1）知 AI BC ，
又∵AB=AC，∴ 90 15HAI CAI ， ，∴ 75HAC ，
∴ 60OAH ，∴ 360 44 22 32OH OA sin ，
∵ 113HG AI cm ，∴ 22 3 113 151OG OH HG cm ，
答：端点 O 到地面 BC 的距离为 151cm．
13．解：设货车、客车的速度分别为 x km/h、y km/h，
由题意，得 AP＝PQ＝x km，BM＝MN＝y km.
如图，过点 M 作 ME⊥AB，垂足为 E．在 Rt△BME 中，
∵ sinB＝ ME
BM
，∴ ME＝BM·sinB＝y·sin37°≈ 3
5 y．
∵ cos B＝ BE
BM
，∴ BE＝BM·cos B＝y·cos37°≈ 4
5 y．
在 Rt△PME 中，∵ tan∠MPE＝ ME
PE
，∴ PE＝
3
65
1tan 5
2
yME y ∠MPE
∵ BE＋EP＋AP＝AB，∴ 4
5 y＋ 6
5 y＋x＝180，即 x＋2y＝180①．
过点 Q 作 QF⊥BN，垂足为 F．在 Rt△BFQ 中，
∵ sinB＝ BF
BQ ，∴ QF＝BQ·sinB＝(180－2x)·sin37°≈ 3
5 (180－2x)．
∵ cos B＝ BF
BQ , ∴ BF＝BQ·cos B＝(180－2x)·cos37°≈ 4
5 (180－2x)．
在 Rt△QFN 中，∵ tan∠FNQ＝ QF
FN
，∴ FN＝ 3
tan 5
QF ∠FNQ (180－2x)．
∵ BF＋FN＝BN，∴ 4
5 (180－2x)＋ 3
5 (180－2x)＝2y，即 7x＋5y＝630②．
由①②，得 x＝40，y＝70．
答：货车速度大约为 40 km/h、客车的速度大约为 70 km/h．
13 题图 14 题图
14．解：如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，则 CH＝BD，BH＝CD＝0.5，
在 Rt△ACH 中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°，
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，
∴ EF FG
AB BG
，即 1.6 2
0.5 5BD BD
，
解得：BD＝17.5，∴AB=17.5＋0.5＝18(m)，
∴这棵古树的高 AB 为 18m．
高频考点
1. B. 解析：sin45°＝ ．故选：B．
2. A. 解析：连接 BC．∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是 ，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC．在 Rt△ACB 中，
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ ，
∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝ ＝ ，
∴sin∠ABC＝ ＝ ，∴sin∠ADC＝ ．故选 A．
3. A. 解：根据题意可得：船离海岸线的距离为 42÷tan30°＝42 （米）故选：A．
4. B. 解析：∵ 中， ， ，∴cosA=
∵ ，∴AC=4，∴BC= ，
当 时， 与 的位置关系是：相切，故选：B
5. A. 解析：延长 CE 交 AB 于 F，如图，
根据题意得，四边形 CDBF 为矩形，∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在 Rt△ACF 中，∠ACF=α，CF=b，tan∠ACF= AF
CF
∴AF= tan tanCF ACF b ，AB=AF+BF= tana b ，故选：A．
6 . 1
2 . 解析：连接 CG，在正方形 ACDE.BCFG 中，∠ECA＝∠GCB＝45°，
∴∠ECG＝90°，设 AC＝2，BC＝1，∴CE＝2 ，CG＝ ，
∴tan∠GEC＝ ＝ 1
2
，故答案为： 1
2
．
6 题图 7 题图
7. 5 或 7. 解析：在 Rt△ABD 中，∠ABC＝60°，AD＝6 ，
∴BD＝ ＝ ＝6，
如图 1 所示：BC＝BD+CD＝6+1＝7，
如图 2 所示：BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，
故答案为：7 或 5．
8. 解：原式＝1+2－ × ＝1+2－ ＝ .
9.解：∵A.C.E 三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，
∴∠E＝140°﹣50°＝90°，在 Rt△BDE 中，
DE＝BD•cos∠D＝560×cos50°≈560×0.64＝384（米）．
答：点 E 与点 D 间的距离是 384 米．
10. 解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD 是等腰直角三角形，∴CB＝CD，
设 CD＝x，则 BC＝x，AC＝20+x，
在 Rt△ACD 中，tan30°＝ ＝ ，
解得 x＝10 +10≈10×1.732+10＝27.32≈27，∴CD＝27，
答：CD 的高度为 27 米．
11. 解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D．如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°﹣30°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝60km，
在 Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠BDC＝60°，sin∠BCD＝ ，
∴sin60°＝ ，∴CD＝60×sin60°＝60× ＝30 （km）＞47km，
∴这艘船继续向东航行安全．
11 题图 12 题图
12. 解：延长 BC 交 AD 于点 E，则 AE=AD-DE=0.6m．
1.875m,CE 0.374mtan18 tan60
AE AEBE
∴BC=BE-CE=1.528m．∴MN=BC≈1.5m．
答：小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度约为 1.5m．
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