第27章 相似复习课（第2课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

第 27 章 相似复习课（第 2 课时） 互动训练 知识点一：相似三角形的性质 1. 若△ABC∽△DEF，相似比为 3∶2，则对应中线的比为（ ） A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9 2. 已知△ABC∽△DEF，若面积比为 4∶9，则它们对应高的比是（ ） A. 4∶9 B. 16∶81 C. 3∶5 D. 2∶3 3. 已知△ABC∽△DEF，且它们的周长之比为 1∶3，则它们的相似比为________． 4. 如果△ABC∽△DEF，且对应面积之比为 1∶4，那么它们的周长之比为 ． 5.如图，在△ABC 中，DE∥BC，S1 表示△ADE 的面积，S2 表示四边形 DBCE 的面积， 若 D 是 AB 边的中点，则 S1∶S2= ________；若 S1=S2，则 AD∶AB=________. 5 题图 6 题图 7 题图 6．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若△ADE 的面积为 4，则 △ABC 的面积为（ ） A．8 B．12 C．14 D．16 7. 如图，在△ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD=AB=2，AD⊥AB，过点 D 作 DE⊥AD，DE 交 AC 于点 E，若 DE=1，则△ABC 的面积为（ ） A．4 2 B．4 C．2 5 D．8 8. 如图，△ABC、△FGH 中，D、E 两点分别在 AB、AC 上，F 点在 DE 上，G、H 两点在 BC 上，且 DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若 BG︰GH︰HC=4︰6︰5， 则△ADE 与△FGH 的面积比为（ ） A．2︰1 B．3︰2 C．5︰2 D．9︰4 8 题图 9 题图 9．如图，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC 的面积 为 16，阴影部分三角形的面积 9．若 AA′=1，则 A′D 等于（ ） A．2 B．3 C．4 D． 3 2 10. 已知△ABC∽△A′B′C′，AD 是△ABC 的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若 AD A D  = 1 2 且△ABC 的周长为 20 cm，求△A′B′C′的周长. 11.如图,有一个半径为 50 米的圆形草坪,现在沿草坪的四周开辟了宽 10 米的环形跑道. 小明说：草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆是相似的图形. 小颖说：任意两个圆都相似. 小刚说：这两个圆的半径的比是 5∶6,周长的比应该也是 5∶6,面积的比也是 5∶6. 你认为他们的说法对吗?为什么? 11 题图 知识点二：相似三角形的判定及性质的应用 12．已知一棵树的影长是 30m，同一时刻一根长 1.5m 的标杆的影长为 3m，则这棵树 的高度是( ) A．15m B．60m C．20m D． m310 13．一斜坡长 70m，它的高为 5m，将某物从斜坡起点推到坡上 20m 处停止下，停下 地点的高度为( ) A． m7 11 B． m7 10 C． m7 9 D． m2 3 14.如图，是一种雨伞的轴截面图，伞骨 AB＝AC，支撑杆 OE＝OF＝40 cm，当点 O 沿 AD 滑动时，雨伞开闭．若 AB＝3AE，AD＝3AO，此时 B，D 两点间的距离为( ) A．60 cm B．80 cm C．100 cm D．120 cm 14 题图 15 题图 15．如图，A、B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了 A、B 间的距离：先在 AB 外选一点 C，然后测出 AC、BC 的中点 M、N，并测量出 MN 的长为 12m，由此 他就知道了 A、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ） A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM︰MA=1︰2 16．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高 为 1.65m 的黄丽同学 BC 的影长 BA 为 1.1m，与此同时，测得教学楼 DE 的影长 DF 为 12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼 DE 的高度．(精确到 0.1m) 16 题图 17．如图，花丛中有一路灯 AB .在灯光下，小明在点 D 处的影长 3mDE  ，沿 BD 方 向行走到达点 G， 5mDG  ，这时小明的影长 5mGH  .如果小明的身高为 1.7m，求路 灯 AB 的高度.（精确到 0.lm) 17 题图 18．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己 退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面 1.6m，竹杆顶端离 地面 2.4m，小明到竹杆的距离 DF=2m，竹杆到塔底的距离 DB=33m，求这座古塔的 高度． 18 题图 知识点三：位似图形及其性质 19.如图，已知△AOB 与△A1OB1 是以点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 1∶2， 点 B 的坐标为(－1,2)，则点 B1 的坐标为 （ ） A. (2, －4) B. (1, －4) C. (－1, 4) D. (－4, 2) 20.在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0)，以原点 O 为位似中心，按位似比 1∶2 将△AOB 缩小得到△DOC，则点 B 的对应点 C 的坐标为______________. 21. 如图,在平面直角坐标系中，△ABC 中的三个顶点坐标分别为 A（1，4）,B（-1， 2）, C(3，3）. 在 x 轴上方，请画出以原点 O 为位似中心，相似比为 2∶1，将△ABC 放大后得到的△A1B1C1，并写出△A1B1C1 各顶点的坐标. 21 题图 22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-4,3)，B(-3,1)， C(-1,3)，请按下列要求画图： （1）将△ABC 先向右平移 4 个单位长度、再向下平移 5 个单位长度，得到△A1B1C1， 画出△A1B1C1，并写出点 B 的坐标； （2）以点 A 为位似中心将△ABC 放大 2 倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2 并写出 点 B 的坐标． 22 题图 知识点四：相似三角形的判定及性质的综合应用 23．如图所示，BE＝3EC，D 是线段 AC 的中点，BD 和 AE 交于点 F，已知△ABC 的 面积是 7，则四边形 DCEF 的面积（ ） A．1 B． 5 4 C． 7 4 D．2 23 题图 24 题图 25 题图 24．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE 平分∠DCB 交 BD 于点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE，下列结论： ①∠ACD＝30°；②S 平行四边形 ABCD＝AC·BC；③OE︰AC＝1︰4；④S△OCF＝2S△OEF． 其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 25．如图，在矩形 OAHC 中，OC=8,OA=12 ，B 为 CH 中点，连接 AB. 动点 M 从点 O 出发沿 OA 边向点 A 运动，动点 N 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 运动，两个动点同 时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，连接 CM、CN、MN，设运动时间为 t（秒） (0＜t＜10）. 则 t= 时，△CMN 为直角三角形 26．如图， Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 6cmAC  ， 8cmBC  ，动点 P 从点 B 出发， 在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点Q从点C 出发，在CB边上 以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间t 秒（0 2t  ），连接 PQ ．若 BPQV 与 ABC△ 相似，则t 的值为__________． 26 题图 27 题图 27．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F．求证：AF= 1 2 FC． 28.如图，在△ABC 中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，E 是 AB 上一点，AF⊥CE 于 F，AD 交 CE 于 G 点， （1）求证：AC2=CE•CF； （2）若∠B=38°，求∠CFD 的度数． 28 题图 课时达标 1．在△ABC 中， 4AB  ， 2 2BC  ， 2 3CA  ，△ABC∽△A1B1C1，若△A1B1C1 的最大边为6 6 ，则它的最短边为（ ）． A．6 3 B．10 2 C．15 D． 4 6 2．如图，将一张面积为 20 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平 行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的最大面积为（ ） A．5 B．10 C．10 3 D． 20 3 3．如图，△OAB与△OCD 是以点O为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，∠OCD=90°， CO=CD．若 B（1，0），则点 C 的坐标为（ ） A．（1，2） B．（1，1） C．（ 2 ， 2 ） D．（2，1） 3 题图 4 题图 4．点 E、F 分别在平行四边形 ABCD 的边 BC、AD 上，BE=DF，点 P 在边 AB 上， AP：PB=1：n（n＞1），过点 P 且平行于 AD 的直线 l 将△ABE 分成面积为 S1、S2 的 两部分，将△CDF 分成面积为 S3、S4 的两部分（如图），下列四个等式： ① 1 2: 1:S S n ② 1 4: 1: (2 1)S S n  ③ 1 4 2 3( ) :( ) 1:S S S S n   ④ 3 1 2 4( ) : ( ) : ( 1)S S S S n n    其中成立的有（ ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④ 5．如果两个相似三角形的周长比是1: 3 ，那么它们的面积比是____________ 6．在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为 1.8 米 的竹竿的影长为 3 米，某一高楼的影长为 20 米，那么高楼的实际高度是 米． 7．如图，已知□ABCD，以 B 为位似中心，作□ABCD 的位似图形□EBFG，位似图形 与原图形的位似比为 2 3 ，连结 AG，DG．若□ABCD 的面积为 24，则△ADG 的面积 为 ． 7 题图 8 题图 8．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CB 延长线上一点，且 BE：CE＝2：5，连接 DE 交 AB 于 F，则 ADF BEF:S S  =_____________. 9．如图，△ABC 中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）． （1）请画出将△ABC 向右平移 8 个单位长度后的△A1BlC1； （2）以 O 为位似中心，将△A1BlC1 缩小为原来的 1 2 ，得到△A2B2C2，请在 y 轴右侧 画出△A2B2C2． 9 题图 10．如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B.当他走到点 P 时，发现他身后影子的顶 部刚好接触到路灯 A 的底部；当他向前再步行 12m 到达点 Q 时，发现他身前影子的 顶部刚好接触到路灯 B 的底部．已知小华的身高是 1.6m，两个路灯的高度都是 9.6m， 且 AP＝QB. (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯 B 的底部时，他在路灯 A 下的影长是多少？ 10 题图 11．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 : 1 4CF BC  ：， △ADE 与△ECF 相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由. 11 题图 12．如图，E 为平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，AE 与 BD 交于点 F，与 DC 交于点 G． （1）写出所有与△ABE 相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明； （2）若 BC=2CE，求 DF FB 的值． 12 题图 13．如图，在 ABC 中， 90ACB  ，CD 是高， BE 平分 ABC ， BE 分别与 AC ， CD 相交于点 E ， F ． （1）求证： AEB CFB ∽ ． （2）求证： AE AB CE CB  ． （3）若 5CE  ， 2 5EF ， 6BD  ，求 AD 的长． 13 题图 14.如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点 P 从点 C 出发，以 2cm/s 的速度沿 CA 向点 A 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的 ？ （2）经过几秒，△PCQ 与△ABC 相似？ 14 题图 15．某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示．其中 BA＝CD，BC＝20 cm， BC，EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端 A，D 之间的距离为 50 cm，那么横梁 EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计) 15 题图 16.某生活小区的居民筹集资金 1 600 元，计划在一块上，下底分别为 10 m，20 m 的 梯形空地上种植花木，如图. (1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价 8 元/m2，当△AMD 地带种 满花后(图中阴影部分)，共花了 160 元，请计算种满△BMC 地带所需的费用. (2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为 12 元/m2 和 10 元/ m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金? 16 题图 17．（2020·山西初三一模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和 三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何 一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交 （一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线 都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设 D，E，F 依次是△ABC 的三边 AB，BC，CA 或其延长线上的点，且这三点共 线，则满足 1AD BE CF DB EC FA    ． 这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图 1，直线 DE 交△ABC 的边 AB 于点 D，交边 AC 于点 F，交边 BC 的延 长线与点 E．过点 C 作 CM∥DE 交 AB 于点 M，则 BE BD EC DM  ， AD AF DM FC  （依据）， ∴ BE AD EC DM  ＝ BD AF DM FC  ， ∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即 1AD BE CF DB EC FA    ． 情况②：如图 2，直线 DE 分别交△ABC 的边 BA，BC，CA 的延长线于点 D，E，F．… （1）情况①中的依据指： ； （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明； （3）如图 3，D，F 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的点，且 AD:DB＝CF:FA＝2:3，连 接 DF 并延长，交 BC 的延长线于点 E，那么 BE:CE＝ ． 高频考点 1. （2020•四川内江）如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，S 四边形 BCED ＝15，则 S△ABC＝（ ） A．30 B．25 C．22.5 D．20 1 题图 2 题图 3 题图 2.（2020•福建）如图，面积为 1 的等边三角形 ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、 CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ） A．1 B． C． D． 3. （2020•甘肃天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度， 已知标杆 BE 高 1.5m，测得 AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物 CD 的高是( ) A. 17.5m B. 17m C. 16.5m D. 18m 4.（2020•河北）在如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图 形是（ ） A．四边形 NPMQ B．四边形 NPMR C．四边形 NHMQ D．四边形 NHMR 4 题图 5 题图 5. （2020•湖南郴州）在平面直角坐标系中，将 以点 为位似中心， 为位似 比作位似变换，得到 ．已知 ，则点 的坐标是__________． 6. （2020•四川凉山）如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC＝120mm， 高 AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分 别在 AB.AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ 6 题图 7.（2020•贵州安顺）如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BC 边上一点，点 F 在 BC 的 延长线上，且 CF＝BE． （1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形； （2）连接 ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形 AEFD 的面积． 7 题图 第 27 章 相似复习课（第 2 课时）答案 互动训练 1. A. 2. D. 3. 1∶3. 4. 1∶2. 5. 1∶3； 1∶ 2 . 6. D. 解析：∵在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC，DE＝ BC，∴△ADE∽△ABC， ∵ ＝ ，∴ ＝ ，∵△ADE 的面积为 4，∴△ABC 的面积为：16。 7. B. 解析：∵AD⊥AB，DE⊥AD，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴AB∥DE， ∵△CDE∽△CBA， 1 2 DC DE BC BA    ， 即 1 2 DC BD DC  由题得 2 2BD  ， ∴解得 2 2DC  ，∴ ABCV 的高为： 2 1 12 4 2 2 42 2ABCS BC       V 8. D. 解析：∵BG︰GH︰HC=4︰6︰5，可以假设 BG=4k，GH=6k，HC=5k， ∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC， ∴四边形 BGFD 是平行四边形，四边形 EFHC 是平行四边形， ∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE， ∠FHG=∠C=∠AED，∴△ADE∽△FGH， ∴ 2 29 9= 6 4 ADE FGH S DE k S GH k              ．故选 D． 9. B. 解析： 16ABCS  、 9A EFS   ，且 AD 为 BC 边的中线， 1 9 2 2A DE A EFS S     ， 1 82ABD ABCS S   ， 将 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到 A B C   ， / /A E AB  ， DA E DAB   ， 则 2 A DE ABD SA D AD S         ，即 2 2 99 1 8 16 A D A D        ， 解得 3A D  或 3 7A D   （舍），故选 B． 10. 解：∵△ABC∽△A′B′C′, 且△ABC 的周长为 20 cm, AD A D  = 1 2 , 20 A B C   的周长 = 1 2 ，∴△A′B′C′的周长为 40. 11.解：小明、小颖的说法正确，小刚的说法不对. ∵圆是相似图形，∴面积的比等于相似比的平方，周长的比为相似比(半径的比). 12. A. 13. B. 14. D. 解析：∵AB=3AE，AD=3AO，∴ AB AE = AD AO =3． 又∵∠EAO=∠BAD，∴△AOE∽△ADB，∴ BD OE = AB AE =3． ∵OE=40cm，∴ 40 BD =3，解得：BD=120cm．故选 D． 15. D. 解析：∵M、N 分别是 AC，BC 的中点，∴MN∥AB，MN= 1 2 AB ， ∴AB=2MN=2×12=24m，∴△CMN∽△CAB， ∵M 是 AC 的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1， 故描述错误的是 D 选项．故选 D． 16．∵EF∥AC，∴∠CAB＝∠EFD． 又∠CBA＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△FDE． )m(2.181.1 1.1265.1  BA DFBCDEDF BA DE BC 故教学楼的高度约为 18.2m． 17. 解：由题意，得 AB BH ，CD BH ， FG BH ， ∴ / /CD AB .∴ CDE ABE ∽ .∴ CD DE AB BD DE   .① 同理， FGH ABH ∽ ，∴ FG HG AB HG GD DB    .② 又∵ 1.7CD FG  ，∴由①，②可得 DE HG BD DE HG GD BD    ， 即 3 5 3 5 5BD BD    ，解得 7.5BD  . 将 7.5BD  代入①，得 5.95 6.0AB   .故路灯 AB 的高度约为 6.0m. 18.解：∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB， ∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB， ∵小明眼睛离地面 1.6m，竹杆顶端离地面 2.4m， ∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m， ∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m， ∴ EG CG EH AH  ，即 2 0.8 2 33 AH  ，解得 AH=14m， ∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m，答：古塔的高度是 15.6 米． 19. A. 20. （2，0）或（-2，0） 21. 解：画图略.A1（2，8），B1（-2，4），C1（6，6）. 22. 解：（1）根据题意可得：∴  1 1, 4B  （2）根据题意可得：∴  2 2, 1B   23. B. 解析：过点 D 作 DH∥AE，交 BC 于 H，∵点 D 是 AC 的中点， ∴ 1AD EH CD CH   ,即 EH=CH， ∵BE=3CE，∴ 32 BE BE CE EH   ,∴ 6BE EH  ,∴ 6BF BE DF EH   , ∵ 1 7 2 2ABD ABCS S   ,∴ 1 1 7 1 7 7 2 2ADF ABDS S     , ∵BE=3CE，∴ 1 7 4 4ACE ABCS S   ， ∴四边形 DCEF 的面积= 7 1 5 4 2 4ACE ADFS S     .故选：B. 23 题图 24. C. 解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°， ∵CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，∴∠DCE=∠BCE=60°， ∴△CBE 是等边三角形，∴BE=BC=CE， ∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确； ∵AC⊥BC，∴S▱ ABCD=AC•BC，故②正确， 在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC= 3 BC， ∵AO=OC，AE=BE，∴OE= 1 2 BC，∴OE：AC= 3 ：6；故③错误； ∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF， ∴ CF BC EF OE  =2 ∴S△OCF：S△OEF= CF EF =2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．故选 C． 25. 7 2 或 41 241 4  . 解析：过点 N 作 OA 的垂线，交 OA 于点 F，交 CH 于点 E，如图， ∵B 点是 CH 的中点，∴BH= 1 2 CH= 1 2 OA=6，∵AH=OC=8，∴由勾股定理可求：AB=10， ∵AN=t，∴BN=10-t，∵NE∥AH， ∴△BEN∽△BHA，∴ BN EN AB AH  ， ∴10 10 8 t EN  ，∴EN= 4(10 ) 5 t ∴FN=8-EN= 4 5 t ， 当∠CMN=90°，由勾股定理可求：AF= 3 5 t ， ∵OM=t，∴AM=12-t，∴MF=AM-AF=12-t- 3 5 t =12- 8 5t ， ∵∠OCM+∠CMO=90°，∠CMO+∠FMN=90°，∴∠OCM=∠FMN， ∵∠O=∠NFM=90°，∴△COM∽△MFN，∴ OC OM MF FN  ，∴ 8 8 412 5 5 t t t   ，∴t= 7 2 ， 当∠MNC=90°，FN= 4 5 t ∴EN= 48- 5 t ∵MF=12- 8 5t ∴CE=OF=OM+MF=12- 3 5 t ∵∠MNF+∠CNE=90°，∠ECN+∠CNE=90°，∴∠MNF=∠ECN， ∵∠CEN=∠NFM=90°，∴△CEN∽△NFM，∴ CE EN FN MF  ， ∴ 3 412 8-5 5 4 8125 5 t t t t    ，∴ 41 241 4t  ，∵0＜t＜5，∴ 41 241 4t  ； 当∠NCM=90°，由题意知：此情况不存在， 综上所述，△CMN 为直角三角形时，t= 7 2 或 41 241 4  . 26. 1 秒或 32 41 秒.解：设运动时间为t 秒（0 2t  ），则 5BP t ． 4CQ t ， 8 4BQ t  ． ∵ 90ACB  ， 6AC  且 8BC  ，∴ 10AB  ．当 BPQ BAC ∽ 时， ∴ BP BQ BA BC  ，∴ 5 8 4 10 8 t t ，∴ 1t  ． 当 BPQ BQP ∽ 时， BP BQ BC BA  即 5 8 4 8 10 t t ，∴ 32 41t  ． 27. 证明：过 D 作 DQ∥BF 交 AC 于 Q， ∴CD:BD=CQ:FQ，AE:DE=AF:FQ， ∵E 为 AD 的中点，即 AE=ED，∴AF=FQ， ∵AD 是 BC 边上的中线， 即 BD=CD，∴CQ=FQ， ∴AF=FQ=CQ，∴ 1 2AF FC ． 28.（1）证明：∵AF⊥EC，∴∠CFA=90°， ∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC， ∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA， ∴ = ，∴CA2=CE•CF； （2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA， ∴△CAD∽△CBA， ∴ = ，∴CA2=CB×CD， 同理可得：CA2=CF×CE， ∴CD•BC=CF•CE，∴ = ， ∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB， ∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°． 课时达标 1．A. 解析：解：设另一个和它相似的三角形的最短边为 xcm， ∵△ABC∽△A1B1C1，根据相似三角形的性质，得： 4 2 2 6 6 x  ， 解得： 6 3x  ，∴它的最短边为：6 3 ；故选择：A. 2．B. 解析：由题意可知：MN∥BC，∴△AMN∽△ABC， AD MN= =AE BC 10 x ，而 S△ABC＝ 1 BC AE=102  ，即： 1 10 AE=202   ，解得：AE＝4， 4 2AD=10 5 xx  ， S 平行四边形＝ 22 2MN DE= (4- )= - 45 5x x x x   22- ( -5) 105 x  ， 因此平行四边形纸片的最大面积为 10，故选 B． 3．B. 解析：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰 Rt△OAB 与等腰 Rt△OCD 是位似图形，点 B 的坐标为(1，0)，∴BO=1，则 AO=AB=2 2 ，∴A( 1 2 ， 1 2 )， ∵等腰 Rt△OAB 与等腰 Rt△OCD 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1:2， ∴点 C 的坐标为：(1，1). 故选 B. 4．B. 解析：由题意∵AP：PB=1：n（n＞1），AD∥l∥BC， ∴ 1 1 2 S S S = 21( )1n  ，S3=n2S1， 3 3 4 S S S = 2( )1 n n  ， 整理得：S2=n（n+2）S1，S4=（2n+1）S1，∴S1：S4=1：（2n+1），故①错误，②正确， ∴（S1+S4）：（S2+S3）=[S1+（2n+1）S1]：[n（n+2）S1+n2S1]=1：n，故③正确， ∴（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=[n2S1﹣S1]：[n（n+2）S1﹣（2n+1）S1]=1：1，故④错误， 故选 B． 5．1:3. 解析：∵两个相似三角形的周长比是1: 3 ，∴它们的面积比为 21: 3 =1:3（ ） . 故答案：1:3. 6．12. 解析：同一时刻，物体的高度与它的影长成比例，设 高楼的实际高度是 x 米, 因为1.8 3 20 x ，所以 x=12.所以高楼实际高度是 12 米.故答案为 12. 7．4. 解析：作 BH⊥CD 与 CD 交于点 H，与 GF 交于点 I ∵四边形 ABCD 是平行四边形，位似图形与原图形的位似比为 2 3 ∴  1 1 2 1 5 2 2 3 3 18CDGFS CD GF HI CD CD HB CD HB             梯形 ，  1 1 2 2 5 2 2 3 3 9ABFGS GF AB IB AB AB HB AB HB             梯形 ∵□ABCD 的面积为 24，∴ 24ABCDS CD HB   ∴  1 20 2 3CDGFS CD GF HI    梯形 ， 40 3ABFGS 梯形 ∴ 20 4024 43 3ADG ABCD GFCD ABFGS S S S      △ 梯形 梯形 故答案为：4． 8．9:4. 解析：∵BE︰CE=2︰5，∴BE︰BC=2︰3 ，即 BC︰BE=3︰2 ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC， ∴AD︰BE=3︰2，△ADF∽△BEF，∴ 2: ( : ) 9: 4ADF BEFS S AD BE    . 故答案为：9:4. 9．解：（1）如图所示：△A1BlC1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 10．解：（1）如图 1， ∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD， AP PM AB BD  ，即 AP 1.6 AB 9.6  ，∴AP= 1 6 AB， ∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA， ∴ =BQ QN BA AC ，即 1.6 9.6 BQ AB  ，∴BQ= 1 6 AB， 而 AP+PQ+BQ=AB，∴ 1 6 AB+12+ 1 6 AB=AB，∴AB=18． 答：两路灯的距离为 18m； （2）如图 2，他在路灯 A 下的影子为 BN， ∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC， ∴ BN BM AN AC  ，即 BN 1.6=BN 18 9.6 ，解得 BN=3.6． 答：当他走到路灯 B 时，他在路灯 A 下的影长是 3.6m． 11．解：△ADE∽△ECF. 理由如下： 因为在正方形 ABCD 中，∴ AD CD BC  ， 90D C     ， ∵点 E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 : 1: 4CF BC  ， ∴AD=CD=2DE=2CE=4CF， ∴ 2AD DE EC CF   . ∴△ADE∽△ECF；相似比为 2. 12．解：（1）①△ABE∽△GCE，②△ABE∽△GDA． ①证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，∴∠ABE=∠GCE，∠BAE=∠CGE， ∴△ABE∽△GCE． ②证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ABE=∠GDA，AD∥BE，∴∠E=∠DAG， ∴△ABE∽△GDA． （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF∽△EBF， ∴ DF FB = AD BE ，∵BC=2CE，∴AD：BE=2：3，∴ DF FB = 2 3 ． 13．证明：（1） 90ACB   ， 90ACD BCD     CD 为 AB 边上的高， 90ADC   ， 90A ACD     ， A BCD   ， BE 是 ABC 的平分线， ABE CBE   ， AEB CFB ∽ ； （2） ABE CBE   ， A BCD   ， CFE BCD CBE A ABE         CEF A ABE     ， CEF CFE   ， CE CF  AEB CFB  ∽ ， AE AB CF CB   ， AE AB CE CB   ； （3）如图，作CH EF 于 H ， CE CF ，CH EF ， 5EH FH   ， 2 2 2 25 ( 5) 2 5CH EC EH      由 BFD CFH ∽ ， DF BD HF CH   ， 6 5 2 5 DF  ， 3DF  ， 8CD CF DF   ， 由 ACD CBD ∽ ， AD CD CD BD   ， 8 8 6 AD  ， 32 3AD  ． 13 题图 14.解：（1）设经过 x 秒，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的 ， ⋅ ⋅ − × × × ，解得：x1＝x2＝4， 答：经过 4 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的 ； （2）设经过 t 秒，△PCQ 与△ABC 相似，因为∠C＝∠C，所以分为两种情况： ① ， − ，解得：t ； ② ， − ，解得：t ； 答：经过 秒或 秒时，△PCQ 与△ABC 相似． 15. 解：过点 C 作 CM∥AB，分别交 EF、AD 于 N、M， 作 CP⊥AD，分别交 EF，AD 于 Q，P. 由题意，得四边形 ABCM，EBCN 是平行四边形， ∴EN＝AM＝BC＝20 cm. ∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)． 由题意知 CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm. ∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD. ∴ NF MD ＝CQ CP ，即NF 30 ＝32 40. ∴NF＝24 cm. ∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)． 答：横梁 EF 应为 44 cm. 16. 解：(1)∵四边形 ABCD 是梯形, ∴AD∥BC. ∴ △AMD∽△BMC. ∴ 4 1)( 2    BC AD S S BMC AMD . ∵种植△AMD 地带花费 160 元, ∴S△AMD= 8 160 =20(m2). 从而 S△BMC=80 m2. ∴种△BMC 地带的花费为 80×8=640(元). (2)设△AMD、△BMC 的高分别为 h1、h2，梯形 ABCD 的高为 h. ∵S△AMD= 2 1 ×10×h1=20, ∴h1=4. 又∵ BC AD h h  2 1 = 2 1 , ∴h2=8. ∴h=h1+h2=4+8=12. ∴S 梯形 ABCD= 2 1 (AD+BC)h= 2 1 ×30×12=180. ∴S△AMB+S△DMC=180-20-80=80(m2). 若种玫瑰，则共花费 160+640+80×12=1 760(元). 若种茉莉花，则共花费 160+640+80×10=1 600(元). 故种茉莉花刚好用完所筹集的资金. 17.解：（1）情况①中依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （2）如图 2 中，作 CN∥DE 交 BD 于 N． 则有 AD DN ＝ AF FC ， BE EC ＝ BD DN ，∴ BE AD EC DN ＝ BD AF DN FC ， ∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，∴ AD BE CF DB EC FA  ＝1． （3）∵ AD BE CF DB EC FA  ＝1，AD:DB＝CF:FA＝2:3， ∴ 2 2 3 3 BE EC   ＝1，∴ BE EC = 9 4 ．故答案为： 9 4 ． 高频考点 1. D. 解析：∵D.E 分别是 AB.AC 边上的中点， ∴DE∥BC，DE＝ BC，∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∴S△ADE：S 四边形 BCED＝1：3，即 S△ADE：15＝1：3， ∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故选：D． 2. D. 解析：∵D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ∴DE＝ AC，DF＝ BC，EF＝ AB， ∴ ＝ ，∴△DEF∽△ABC， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ， ∵等边三角形 ABC 的面积为 1，∴△DEF 的面积是 ，故选：D． 3. A. 解析：∵ 1.2AB m ， 12.8BC m ，∴AC=1.2m+12.8m=14m， ∵标杆 BE 和建筑物 CD 均垂直于地面，∴BE//CD，∴△ABE∽△ACD， ∴ AB AC BE CD  ，即 1.2 14 1.5 CD  ，解得 CD=17.5m．故答案为 A． 4. A. 解析：∵以点 O 为位似中心，∴点 C 对应点 M， 设网格中每个小方格的边长为 1， 则 OC＝ ＝ ，OM＝ ＝2 ，OD＝ ，OB＝ ＝ ， OA＝ ＝ ，OR＝ ＝ ，OQ＝2 ，OP＝ ＝2 ， OH＝ ＝3 ，ON＝ ＝2 ， ∵ ＝ ＝2，∴点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N， ∴以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ，故选：A． 5. ．解析：∵将△AOB 以点 O 为位似中心， 为位似比作位似变换，得到△A1OB1， A（2，3），∴点 A1 的坐标是： ，即 A1 ．故答案为： ． 6. 解：∵四边形 EGFH 为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC； 设正方形零件的边长为 x mm，则 KD＝EF＝x，AK＝80﹣x， ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∵AD⊥BC，∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得：x＝48． 答：正方形零件的边长为 48mm． 7. （1）证明：∵∠四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+EF，即 BC＝EF，∴AD＝EF， ∴四边形 AEFD 是平行四边形； （2）解：连接 DE，如图， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°， 在 Rt△ABE 中，AE＝ ＝2 ， ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD， ∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△DEA， ∴AE：AD＝BE：AE，∴AD＝ ＝10， ∴四边形 AEFD 的面积＝AB×AD＝2×10＝20． 7 题图