第 12 章 证 明
一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分;在每个小题列出的四个选项中,只有一项符
合题意)
1.下列命题中,是假命题的是 ( )
A.-
64
的立方根是-2 B.0 的平方根是 0
C.无理数是无限小数 D.相等的角是对顶角
2 如图 1,直线 AB∥CD,则下列结论正确的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
3.下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.
则回答正确的是 ( )
A.◎代表∠FEC B.@代表同位角
已知:如图,∠BEC=∠B+∠C.
求证:AB∥CD.
证明:延长 BE 交 ※ 于点 F.
则∠BEC= ◎ +∠C(三角形的外角等于与它不 图 1
相邻的两个内角的和).
又因∠BEC=∠B+∠C,得∠B= ▲ .
故 AB∥CD( @ 相等,两直线平行).
C.▲代表∠EFC D.※代表 AB
4.将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图 2 所示方式摆放,使得 BA∥EF,则∠AOF 等于( )
图 2
A.75° B.90° C.105° D.115°
5.下列选项中,可以用来证明命题“若 a2>b2,则 a>b”是假命题的是 ( )
A.a=3,b=-2 B.a=-2,b=1
C.a=0,b=1 D.a=2,b=1
6.在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A-∠B=70°,则∠A 的度数为 ( )
A.80° B.70°
C.60° D.50°
7.如图 3,在△ABC 中,高线 BD,CE 相交于点 H,若∠A=60°,则∠BHC 的度数是 ( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
图 3 图 4
8.如图 4,直线 ll∥l2,直角三角板的直角顶点 C 在直线l1上,一锐角顶点 B在直线l2上,若∠1=35°,
则∠2 的度数是 ( )
A.65° B.55°
C.45° D.35°
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
9.把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式:
.
10.命题“若 a>b,则|a|>|b|”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题.
11.如图 5,直线 AB∥CD,OA⊥OB,若∠1=142°,则∠2= °.
图 5 图 6
12.如图 6,如果∠ =∠ ,那么根据 可得 AD∥BC.(写
出一个正确的就可以)
13.直角三角形两个锐角度数比是 1∶2,则两个锐角的度数分别是 和 .
14. 如图 7,AD ∥BC,∠ DAC=60°, ∠ACF=25°, ∠EFC=145°, 则直 线 EF 与 BC 的位 置关系
是 .
图 7
15.如图 8,在△ABC 中,∠A=80°,延长 BC 到点 D,∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点 A1,∠A1BC
与∠A1CD 的平分线相交于点 A2,依此类推,∠A4BC 与∠A4CD 的平分线相交于点 A5,则∠A5 的
度数是 .
图 8
三、解答题(共 48 分)
16.(6 分)指出下列命题的条件和结论.
(1)一个锐角的补角大于这个角的余角;
(2)不相等的两个角不是对顶角;
(3)异号两数相加得零.
17.(8 分)“如果 a>b,那么 ac>bc”是真命题还是假命题?如果是假命题,举一个反例并添加适当
的条件使它成为真命题.
18.(8 分)证明:两条平行线被第三条直线所截,一组同位角的角平分线互相平行.
19.(8 分)如图 9,有三个判断:①∠1=∠2;②∠B=∠D;③∠A=∠C,请从中任选两个作为条件,另
一个作为结论构成一个命题,并证明该命题的正确性.
图 9
20.(8 分)如图 10,∠1=∠ABC,∠2=∠3,GF⊥AC 于点 F.求证:BE⊥AC.
图 10
21.(10 分)如图 11,已知直线 l1∥l2,直线 l3 和直线 l1,l2 分别交于点 C 和 D,点 P 在直线 l3 上.
(1)若点 P 在 C,D 两点之间运动,∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系是否发生变化?若变化,请说
明理由;若不变,请求出它们之间的关系式.
(2)若点 P 在 C,D 两点的外侧运动(点 P 与点 C,D 不重合),则∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系
又如何?
图 11
答案
1. D 2.D 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C 8. B
9.如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余
10.假
11. 52
12. 答案不唯一,如:5,B,同位角相等,两直线平行
13. 30° 60°
14. 平行
15. 2.5°
16.解:(1)如果一个角是锐角,那么这个角的补角大于这个角的余角.
条件:一个角是锐角;结论:这个角的补角大于这个角的余角.
(2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.
条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角.
(3)如果两个数异号,那么这两个数相加得零.
条件:两个数异号;结论:这两个数相加得零.
17.解:假命题.反例(反例不唯一):a=2,b=1,c=-1,满足 a>b,但 2×(-1)b,c>0,那么 ac>bc”,那么命题为真命题.
18.解:已知:如图,AB∥CD,HI 与 AB,CD 分别交于点 M,N,ME,NF 分别是∠AMH,∠CNH 的平分
线.求证:ME∥NF.
证明:∵AB∥CD,
∴∠AMH=∠CNH(两直线平行,同位角相等).
∵ME,NF 分别是∠AMH,∠CNH 的平分线,
∴∠1=
1
2
∠AMH,∠2=
1
2
∠CNH,
∴∠1=∠2,∴ME∥NF(同位角相等,两直线平行).
19.解:答案不唯一,如:
已知:∠B=∠D,∠A=∠C.
求证:∠1=∠2.
证明:∵∠A=∠C,∴AB∥CD.
∴∠B=∠BFC.
∵∠B=∠D,
∴∠BFC=∠D.
∴DE∥BF.∴∠DMN=∠BNM.
∵∠1=∠DMN,∠2=∠BNM,
∴∠1=∠2.
20.证明:∵∠1=∠ABC,
∴DE∥BC,
∴∠2=∠EBC.
∵∠2=∠3,
∴∠3=∠EBC,
∴GF∥BE.
∵GF⊥AC,
∴∠GFC=90°,
∴∠BEC=90°,
∴BE⊥AC.
21.解:(1)不变.当点 P 在 C,D 两点之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD.
理由如下:
如图①,过点 P 作 PE∥l1,
∵l1∥l2,∴PE∥l2∥l1,
∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD.
(2)如图②,当点 P 在 C,D 两点的外侧运动,且在 l1 上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB.
理由如下:
∵l1∥l2,
∴∠PEC=∠PBD.
∵∠PEC=∠PAC+∠APB,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
如图③,当点 P 在 C,D 两点的外侧运动,且在 l2 下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB.
理由如下:
∵l1∥l2,
∴∠PED=∠PAC.
∵∠PED=∠PBD+∠APB,
∴∠PAC=∠PBD+∠APB.
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