第 12 章证明
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.下列句子是命题的是 ( )
A.画∠AOB=45° B.小于直角的角是锐角吗?
C.连接 CD D.同旁内角互补
2.给出下列语句:①能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解;②两条相交直线中不相邻的两个角是
对顶角;③大于 0 的数是正数;④两点之间,线段最短.其中属于定义的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.观察下列 4 个命题,其中为真命题的是 ( )
(1)已知平面内有直线 a,b,c,如果 a⊥b,b⊥c,那么 a⊥c;(2)三角形的三个内角中至少有两个锐角;(3)平移变换中,
连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等;(4)三角形的外角和是 180°.
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(3)(4)
4.下列选项中,可以说明“如果 a,b 是整数,那么(a+b)3=a3+b3”是假命题的是 ( )
A.a=-1,b=1 B.a=0,b=2
C.a=-2,b=1 D.a=2 020,b=-2 020
5.满足下列条件的三角形 ABC,不是直角三角形的是 ( )
A.∠A-∠B=∠C B.∠A=∠B=
1
2
∠C
C.一个外角等于和它相邻的一个内角 D.∠A=2∠B=3∠C
6.如图,∠1,∠2,∠3 的大小关系为 ( )
A.∠1>∠2>∠3 B.∠1>∠3>∠2
C.∠3>∠2>∠1 D.∠2>∠1>∠3
第 6 题图 第 7 题图
7.如图,∠B+∠C+∠D+∠E-∠A 等于 ( )
A.360°B.300°C.180°D.240°
8.如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠A=37°,则∠B 的度数是 ( )
A.33° B.23° C.27° D.37°
第 8 题图 第 9 题图
9.一小区大门的栏杆如图所示,当栏杆抬起时,BA 垂直于地面 AE,CD 平行于地面 AE,则∠ABC+∠BCD 的度数为
( )
A.180°B.270°C.300°D.360°
10.如图,AF∥CD,CB 平分∠ACD,BD 平分∠EBF,且 BC⊥BD,则下列结论不一定正确的是 ( )
A.BC 平分∠ABE B.AC∥BE
C.∠BCD+∠D=90° D.∠DBF=2∠ABC
二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)
11.命题“同角的补角相等”的条件是 ,结论
是 .
12.对于命题“如果 m 是分数,那么它是有理数”,它的逆命题为 .
13.请举反例说明命题 “对于任意数 x,x2+5x+5 的值总是整数”是假命题,你举的反例是 x= .(写出
一个 x 的值即可)
14.一副三角尺按如图所示的方式放置,直角顶点重合,斜边在同一条直线上,则∠CAD= °.
第 14 题图 第 15 题图
15.如图,商业大厦与电视台大厦的大楼顶部各有一个射灯,当光柱相交时(它们都在同一平面
内),∠1+∠2+∠3= °.
16.如图,在三角形纸片 ABC 中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角沿直线 EF 折叠,使点 C 落在△ABC 内的点 C'
处.若∠1=20°,则∠2 的度数为 .
17.小明和小亮两人合作玩一个扑克牌游戏,规则如下:小明背对小亮,让小亮按下列 4 个步骤操作.第一步,分
发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌现有的张数相同;第二步,从左边一堆拿出两张,放入中间一
堆;第三步,从右边一堆拿出一张,放入中间一堆;第四步,左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入左边一
堆.这时,小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是 .
18.观察下列图形,已知 a∥b,在图 1 中,可得∠1+∠2=180°,则按照图中规
律,∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn= .
三、解答题(共 76 分)
19.(9 分)如图,AD∥BE,∠1=∠2,求证:∠A=∠E.
20.(9 分)甲、乙、丙、丁四个小朋友在院中玩球,不小心击中了李大爷家的窗户,李大爷跑出来查看,发现一
块窗户玻璃被打碎了,李大爷问:“是谁打碎的?”甲说:“是乙不小心打碎的.”乙说:“是丙打碎的.”丙
说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正不是我打碎的.”若四个小朋友只有一个人说了实话,请你推断玻璃究
竟是谁打碎的?
21.(9 分)如图,AB∥DE,若∠ABC=100°,∠CDE=20°,试探究∠BCD 与∠ABC 的大小关系,并说明理由.
22.(10 分)(1)如图,已知∠A=∠C.若 AB∥CD,则 BC∥AD,请说明理由.
理由如下:
∵AB∥CD(已知),
∴∠ABE=∠ ( ).
∵∠A=∠C(已知),
∴ ( ),
∴BC∥AD( ).
(2)请写出问题(1)的逆命题,并判断它是真命题还是假命题,若是真命题,请写出证明过程;若是假命题,请举出
反例.
23.(11 分)小明同学在计算下列式子:32-12=8;52-32=16;72-52=24;92-72=32,…时,发现了下面的结论:两个连续奇
数的平方差一定是 8 的倍数.请运用你所学过的知识,试说明小明得到的结论是正确的.
24.(14 分)已知∠ABC 的两边与∠DEF 的两边分别平行,即 BA∥ED,BC∥EF.
(1)如图 1,若∠B=40°,则∠E= .
(2)如图 2,猜想∠B 与∠E 有怎样的数量关系?并说明理由.
(3)如图 3,猜想∠B 与∠E 有怎样的数量关系?并说明理由.
(4)根据以上的情况,请你归纳概括出一个真命题.
图 1 图 2 图 3
25.(14 分)如图 1 所示,已知 l1∥l2,MN 分别和直线 l1,l2 交于点 A,B,ME 分别和直线 l1,l2 交于点 C,D,点 P 在 MN 上
(P 点与 A,B,M 三点不重合),连接 CP,DP,∠PDB=∠α,∠PCA=∠β,∠CPD=∠γ.
(1)探究:当点 P 在 A,B 两点之间运动时,∠α,∠β,∠γ之间有怎样的数量关系?请说明理由.
(2)拓展:如图 2,过点 C 作 CF∥AB,易证∠ACD=∠BAC+∠ABC.(不必证明)
应用:当图 1 中点 P 在 A,B 两点的外侧运动时,利用图 2 中的结论再探究∠α,∠β,∠γ之间有怎样的数量关
系?请说明理由.
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C D A C B B D
11.两个角是同一个角的补角 这两个角相等 12.如果 m 是有理数,那么它是分数 13.
1
2
(答案不唯一,合
理即可)
14.75 15.360 16.60° 17.5 18.(n+1)×180°
19. ∵AD∥BE,∴∠A=∠3.
∵∠1=∠2,
∴DE∥AC,∴∠E=∠3,
∴∠A=∠E.
20. 因为乙和丙所说的话互相矛盾,
所以必然是一对一错.
假如乙说的是实话,可推断丁说的也是实话,
这与“只有一个人说了实话”不符,
所以可以断定丙说的是实话,其他人说的是假话,
所以玻璃是丁打碎的.
21. ∠BCD=∠ABC.理由如下:
如图,过点 C 作 CF∥AB,∴CF∥DE.
∵CF∥AB,∴∠ABC+∠BCF=180°,
∴∠BCF=180°-∠ABC=80°.
∵CF∥DE,∴∠FCD=∠CDE=20°,
∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=100°,
∴∠BCD=∠ABC.
22. (1)C 两直线平行,同位角相等 ∠ABE=∠A 等量代换 内错角相等,两直线平行
(2)问题(1)的逆命题:已知∠A=∠C,若 BC∥AD,则 AB∥CD.它为真命题.
∵BC∥AD(已知),
∴∠ABE=∠A(两直线平行,内错角相等).
∵∠A=∠C(已知),
∴∠ABE=∠C(等量代换),
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
23. 设两个连续的奇数分别为 2n+1,2n-1(n 为整数).
∵(2n+1)2-(2n-1)2=4n2+4n+1-(4n2-4n+1)=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n,
即(2n+1)2-(2n-1)2=8n,
∴两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数,
∴小明得到的结论是正确的.
24. (1)40°
∵AB∥DE,∴∠B=∠DGC.
∵BC∥EF,∴∠DGC=∠E,
∴∠E=∠B=40°.
(2)∠B=∠E.理由如下:
∵AB∥DE,∴∠B+∠BGE=180°.
∵BC∥EF,∴∠BGE+∠E=180°,
∴∠B=∠E.
(3)∠B+∠E=180°.理由如下:
∵BA∥ED,BC∥EF,
∴∠B+∠BGD=180°,∠E=∠BGD,
∴∠B+∠E=180°.
(4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补.
25. (1)∠γ=∠α+∠β.理由如下:
如图 1,过点 P 作 PG∥l1,
∵l1∥l2,∴PG∥l2,
∴∠α=∠DPG,∠β=∠CPG,
∴∠γ=∠DPG+∠CPG=∠α+∠β.
(2)当点 P 在 MB 上运动时(如图 2),∠β=∠γ+∠α.理由如下:
设 CP 与 l2 相交于点 Q,
∵l1∥l2,∴∠β=∠CQD.
∵∠CQD 是△DQP 的外角,
∴∠CQD=∠α+∠γ,
∴∠β=∠γ+∠α.
同理可得,当点 P 在 AN 上运动时,∠α=∠γ+∠β.
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