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七下第十二章《证明》（中档题）单元测试（一）
班级：___________姓名：___________ 得分：___________
一、选择题
1.
下列命题错误的是
A. 两个角的余角相等，则这两个角相等
B. 两条平行线被第三条直线所截内错角的平分线平行
C. 无理数包括正无理数，0，负无理数
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2.
下列选项中，可以用来证明命题“若
2
1
，则
1
”是假命题的反例是
A.
香 䁥
B.
香 2
C.
香 1
D.
香 2
3.
下列定理中，没有逆定理的是
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 直角三角形的两锐角互余
C. 互为相反数的两个数的绝对值相等
D. 同位角相等，两直线平行
4.
如下图，直线
ฎฎ
，直线 l 与直线 a，b 分别相交于 A、B 两点，过点 A 作直线 l
的垂线交直线 b 于点 C，若 ，则 的度数为
A.
32
B.
42
C.
D.
2
.
如图，一个
䁥
角的三角形纸片，剪去这个
䁥
角后，得到一个四
边形，则
1 2
的度数为
A.
12䁥
B.
1䁥
C.
24䁥
D.
3䁥䁥
.
如图，将
香䁨
沿 DE，EF 翻折，顶点 A，B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于
线段 EO，若
ܱ 香 13
，则
䁨
的度数为：
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A.
4B.
4C.
42D.
37. 在
香䁨
中，已知
䁨 香 2香
，
䁨 香 䁥
，则
䁨
的度数是
A.
䁥
B.
䁥
C.
1䁥䁥
D.
12䁥8. 如图，
香䁨
中，
香 4䁥
，
香ܱ 香 2䁥
，
䁨ܱ 香 3䁥
，则
香ܱ䁨等于
A.
䁥B.
C.
䁥D. 无法确定
9. 如图，将四边形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 A 落在
1处，若
1 2 香 1䁥䁥
，则
的度数是
A.
䁥B.
䁥C.
䁥D.
4䁥二、填空题
10. 把“等角的补角相等”改为“如果
，那么
”的形式：
______________________________________________________．
11. “直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是
________________________ ，它是一个______ 命题．
12. 如图，在
香䁨
中，
香 2
，
香䁨 香 1䁥
，过 B 作一直线交 AC 于 D，若
BD 把
香䁨
分割成两个等腰三角形，则
香
的度数是 ．
13. 如图所示，在等腰
香䁨
中，
香 香 䁨
，
香 3
，将
香䁨
中的
沿 DE 向下
翻折，使点 A 落在点 C 处．若
． 香 3
，则 BC 的长是_____．
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14. 如图，
香䁨
中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作
． 香
于 E，交 AC 于
.
已知
香
3䁥
，
䁨 香 䁥
，则
香
______．
15. 如图，在
香䁨
中，AD 是高，AE 平分
香䁨
，
香 香 䁥
，
䁨 香 䁥
，则
． 香
．
16. 如图，在四边形 ABCD 中，
香 14䁥
，
香 䁥
，OB 平分
∠
ABC
，OC 平分∠
BCD
，则∠
BOC 香
______．
三、解答题
17. 下列各命题都成立，请你写出它们的逆命题，这些逆命题成立
吗？
1
如果两个角是直角，那么这两个角相等．
2
两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等，两直线平行．
18. 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请
举出一个反例说明．
1
如果
香
，那么
3 香 3
；
2
互为相反数的两个数的积为负数；
3
钝角小于
1䁥
；
4
等底等高的两个三角形面积相等．
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19. 如图，已知
香䁨
中，BD 是
香䁨
的角平分线，
．ฎฎ香䁨
，
交 AB 于 E，
香 䁥
，
䁨 香 䁥
，求
香．
各内角的
度数．
20. 如图，已知
香䁨
的平分线 BD 和
䁨．
的平分线 CD 相交于 D，
香䁨 香
1香
与 CD 平行吗？请说明理由；
2
如果
香 4
，求
的度数．
21. 如图，
香䁨
中，
䁨香 䁥
，AE 平分
香䁨
，
香䁨
交 BC 的延长线于点 D．
1
若
香 香 3䁥
，
䁨香 香 1䁥䁥
，求
．
的度数；
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2
若
香 香
，
䁨香 香
，试用含
、
的式子表示
．
．
22. 如图，AD 为
香䁨
的中线，BE 为
香
的中线
1
若
香． 香 2
，
香 香 䁥
，求
香．
．
2
在
䁨
中过点 C 作出 AD 边上的高 CH．
3
若
䁨
的面积为 24，
香 香
，求点 E 到 BC 边的距离．
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答案和解析
1. C
解：A、两个角的余角相等，则这两个角相等，所以 A 选项为真命题；
B、两条平行线被第三条直线所截内错角的平分线平行，所以 B 选项为真命题；
C、无理数包括正无理数和负无理数，所以 C 选项为假命题；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以 D 选项为真命题．
2. B
解：用来证明命题“若 a
2
1
，则
1
”是假命题的反例可以是：
香 2
，
2
2
1
，但是
香 2 ㌳ 1
，
B 正确；
3. C
解：
.
同旁内角互补，两直线平行的逆定理是两直线平行，同旁内角互补，正确；
B.直角三角形中，两锐角互余的逆定理是两锐角互余，则是直角三角形，正确；
C.互为相反数的两个数的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的两个数互为相反数，错
误；
D. 同位角相等，两直线平行逆定理是两直线平行，同位角相等； 正确．
4. A
解：
直线
ฎฎ
，
䁨香 香 2
，
䁨 香
，
香䁨 香 䁥
，
2 香 䁨香 香 1䁥 1 香䁨 香 1䁥 䁥 香 32
，
5. C
解：如图，
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根据三角形外角的性质可得：
1 香 䁨． 䁨
，
2 香 䁨． 䁨
，
1 2 香 䁨 䁨． 䁨． 䁨
，
又
䁨 香 䁥
，
1 2 香 1䁥 䁥 香 24䁥
，
6. C
解：根据折叠可知
ܱ． 香
，
．ܱ 香 香
，
香 香 ܱ 香 13
，
䁨 香 1䁥 香 香 1䁥 13 香 42
，
7. C
解：根据题意得：
䁨 香 2香
䁨 香 䁥
香 䁨 香 1䁥
，
解得：
香 2䁥
香 香 䁥
䁨 香 1䁥䁥
．
8. C
解：如图，
延长 BO 交 AC 于 D
香 4䁥
，
香ܱ 香 2䁥
，
香䁨 香 香ܱ
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香 4䁥 2䁥 香 䁥
，
䁨ܱ 香 3䁥
，
香ܱ䁨 香 䁨ܱ 香䁨 香 3䁥 䁥 香 䁥
，
9. C
解：
四边形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 A 落在
1
处，
3 4 香
1
2 1䁥 1
1
2 1䁥 2 香 1䁥
1
2 1 2
，
1 2 香 1䁥䁥
，
3 4 香 1䁥
1
2 1䁥䁥 香 1䁥 䁥 香 13䁥
，
在
．
中，
香 1䁥 3 4 香 1䁥 13䁥 香 䁥
．
10. 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等
解：题设为：两个角相等，结论为：这两个角的补角也相等，
故写成“如果
，那么
”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等．
11. 有两个锐角的三角形是直角三角形；假
解：“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“有两个锐角的三角形是直
角三角形”假设三角形一个角是
3䁥
，一个角是
4
，有两个角是锐角，但不是直角三
角形．故是假命题．
12.
13䁥
解：
香 2
，
香䁨 香 1䁥
，
䁨 香 䁥
，
若 BD 把
香䁨
分割成两个等腰三角形，
结合图形可知，
香 香 香 香䁨
，
此时
香 香 香 2
，
香䁨 香 䁨 香 䁥
，
香 香 1䁥 2 2 香 13䁥
．
13. 3
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解：
香 香 䁨
，
香 3
，
，
将
香䁨
中的
沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处，
． 香 䁨．
，
香 ．䁨 香 3
，
䁨．香 香 72
，
香䁨 香 䁨． 香 ．
，
． 香 3
，
香䁨 香 3
．
14.
4䁥
解：
． 香
已知
，
． 香 䁥
垂直定义
，
在
．
中，
． 香 䁥
，
香 3䁥
已知
，
． 香 1䁥 ．
三角形内角和是
1䁥
香 1䁥 䁥 3䁥
香 䁥
，
又
䁨 香 ．
对顶角相等
，
䁨 香 䁥
，
在
䁨
中，
䁨 香 䁥
，
䁨 香 䁥
已知
，
香 1䁥 䁨 䁨
香 1䁥 䁥 䁥
香 4䁥
．
15.
1
解：
在
香䁨
中，AD 是高，
香 香 䁥
，
䁨 香 䁥
，
䁨 香 䁥
，
香䁨 香 1䁥 香 䁨 香 䁥
，
䁨 香 1䁥
，
．
平分
香䁨
，
䁨． 香 2
，
． 香 䁨． 䁨 香 1
，
16.
11
解：
在四边形 ABCD 中，
香 14䁥
，
香 䁥
，
香䁨 香䁨 香 3䁥 䁥 14䁥 香 13䁥
，
第
1䁥
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ܱ香
平分
香䁨
，OC 平分
香䁨
，
ܱ香䁨 香
1
2 香䁨
，
ܱ䁨香 香
1
2 香䁨
，
ܱ香䁨 ܱ䁨香 香
，
香ܱ䁨 香 1䁥 香 11
；
17. 解：
1
逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角．
逆命题不成立；
2
逆命题为：两直线平行，这两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角相等．
逆命题不成立．
18. 解：
1
逆命题：如果
3 香 3
，那么
香
真命题；
2
逆命题：如果两个数的积为负数，那么这两个数互为相反数 假命题反例：答案不唯
一，如
香 2
，
香 3
，
香 ㌳ 䁥
，但
䁥
；
3
逆命题：如果一个角小于
1䁥
，那么这个角是钝角 假命题 反例：答案不唯一，如
香 䁥 ㌳ 1䁥.
但
不是钝角；
4
逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形等底等高假命题反例：答
案不唯一，如在
香䁨
中，边 AB 为 8，对应高为 6；在
．
中，边 DE 为 16，对应
高为
3. 香䁨
和
．
的面积都为 24，但不等底等高．
19. 解：在
香䁨
中，
香 䁥
，
䁨 香 䁥
，
香䁨 香 1䁥 䁨 香 4䁥
，
香
是
香䁨
的角平分线，
，
．ฎฎ香䁨
，
．香 香 香䁨 香 2䁥
，
则
香． 香 1䁥 ．香 ．香 香 1䁥 2䁥 2䁥 香 14䁥
．
20. 解：
1香
与 CD 平行，理由如下：
香
平分
香䁨
，
香 香 香䁨
，
香䁨 香
，
香 香
，
香ฎฎ䁨
；
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2
由三角形的外角性质得，
䁨． 香 香䁨
，
䁨． 香 香䁨
，
香
平分
香䁨
，CD 平分
䁨．
，
香䁨 香 2香䁨
，
䁨． 香 2䁨．
，
香䁨 香 2 香䁨
，
整理得，
香 2
，
香 4
，
香
1
2 4 香 27
．
21. 解：
1 香䁨
，
香 䁥
，
䁨香 香 1䁥䁥
，
䁨 香 1䁥
1䁥䁥
香 䁥
，
䁨 香 䁥
䁥
香 1䁥
，
香 香 3䁥
，
香 香 䁥
3䁥 香 䁥
，
香䁨 香 䁥
，
．
平分
香䁨
，
䁨． 香
1
2 香䁨 香 2
，
． 香 䁨． 䁨 香 3
；
2 香䁨
，
香 䁥
，
䁨香 香
，
䁨 香 1䁥
，
䁨 香 䁥
䁨 香 䁥
，
香 香
，
香 香 䁥
，
香䁨 香 䁥
䁥
香 1䁥
，
．
平分
香䁨
，
䁨． 香
1
2 香䁨 香 䁥
1
2
，
． 香 䁨． 䁨 香 䁥
1
2 䁥
香
1
2
1
2 .
22. 解：
1 香．
是
香．
的一个外角，
香． 香 香． 香
，
香． 香 2
，
香 香 䁥
，
香． 香 2
䁥
香 7
，
2
如图 1 所示线段 CH．
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为
香䁨
的中线，
香 香 䁨 香 24
，
香．
为
香
的中线，
，
1
2 香 t ． 香 12
，
1
2 ． 香 12
，
． 香 4
，
点 E 到 BC 边的距离为 4．
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