第12讲 三元一次方程组-教案.doc

第 12 讲 三元一次方程组的解法 概述 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 人教版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.三元一次方程组的定义； 2.解三元一次方程组的方法：消元； 教学目标 1.了解三元一次方程组的概念.； 2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组； 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路． 教学重点 1.解简单的三元一次方程组． 2.体会“消元”的基本思想． 教学难点 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法. 【知识导图】 教学过程 【教学建议】 本节的教学重点是掌握三元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法仍是代入或加减消元，即通过 消元将三元一次方程组转化为二元一次方程，再转化为一元一次方程. 一、课堂导入 复习：消元法解二元一次方程组 实际问题与二元一次方程组 预习：创设情景，导入新课 前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元一次方 程组来求解。实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将如何来解决呢？ 二、知识讲解 知识点1 三元一次方程组 1.三元一次方程组的概念：方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共 有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 2.解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元 一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程． 即三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 知识点 2 求解 解三元一次方程组 怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一 次方程组或一元一次方程呢？ 例 .解方程组       ③ ② ① yx zyx zyx 4 2252 12 分析 1：发现三个方程中 x 的系数都是 1，因此确定用减法“消 x”. 分析 2：方程③是关于 x 的表达式，确定“消 x”的目标. 知识点 3 归纳方法 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法. 针对上面的例题进而分析，例 1 中方程③中缺 z,因此利用①、②消 z,可达到消元构成二元一次方程组的目的. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组 类型二：缺某元，消某元. 教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项 y 来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学可以课下自行 尝试一下. 例题1 小明手头有 12 张面额分别为 1 元，2 元，5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍，求 1 元，2 元，5 元纸币各多少张． 【答案】 设 1 元，2 元，5 元的张数为 x 张，y 张，z 张. 根据题意列方程组为： 12, 2 5 22, 4 . x y z x y z x y          四、例题精析 三、例题精析 考点 4 【解析】 例题 2 判断 x＝2， y＝－3， z＝－3 是不是方程组 x＋y－2z＝5， 2x－y＋z＝4， 2x＋y－3z＝10 的解． 答：__________(填是或不是)． 【答案】是 【解析】 把 x＝2， y＝－3， z＝－3 代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组 的解． 例题 3 下列方程组是三元一次方程组的是（ ） A、 7xy x x y z x y        B、 4 5 6 x y x z y z         C、 20 2 3 60 x y x y      D、 2 20 2 5 4 1 x y z x x y        【答案】B. 【解析】由三元一次方程组的定义可知选 B 例题 4 解方程组 x＋3y＋2z＝2， 3x＋2y－4z＝3， 2x－y＝7. ① ② ③ 【答案】 ①×2＋②，得 5x＋8y＝7，④ 解③，④组成的方程组 2x－y＝7， 5x＋8y＝7. 解这个方程组，得 x＝3， y＝－1. 把 x＝3，y＝－1 代入①，得 z＝1， 所以原方程组的解为 x＝3， y＝－1， z＝1. 【解析】观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母 z，而①，②中的未知数 z 的系数成倍数关 系，故可用加减消元法消去字母 z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即 可得到原方程组的解. 1. 解方程组:       157 1142 323 zyx zyx zyx ,若要使运算简便，消元的方法应选取_____. A.先消去 x B.先消去 y C.先消去 z 五、课堂应用 基础 四、课堂运用 D.以上说法都不对 2. 三元一次方程组       2 1143 045 zyx zyx zyx , 消去未知数 z 后，得到的二元一次方程组是( ) A.      357 234 yx yx B.      111723 234 yx yx C.      357 243 yx yx D.      111723 243 yx yx 答案与解析 1.【答案】 B. 【解析】方程①+②可直接消去未知数 y， ②-③也可直接消去 y， 那么即可得到一个关于 x、z 的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去 y， 故选 B． 2.【答案】 A. 【解析】 解答如下：根据题意得： 三元一次方程组       ③ ② ① 2 1143 045 zyx zyx zyx , 经过①-③和③×4+②消去未知数 z 后，得到的二元一次方程组 是      357 234 yx yx 故答案为：A. 巩固 1. 解方程组 5x－15y＋4z＝38，① x－3y＋2z＝10， ② 7x－9y＋14z＝58. ③ 2. 某个三位数是它各位数字和的 27 倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大 1，再把这个三位数的 百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大 99，求原来的三位数． 答案与解析 1.【答案】由①，得 5(x－3y＋2z)－6z＝38，④ 把② 整体代入④，得 5×10－6z＝38. 解这个方程，得 z＝2， 把 z＝2 分别代入①，②中，得 5x－15y＝30， 7x－9y＝30. ⑤ 解⑤，得 x＝3， y＝－1. 所以原方程组的解是 x＝3， y＝－1， z＝2. 【解析】经观察发现①中的 5x－15y＝5(x－3y)，这就与②有了联系，因此，①可化为 5(x－3y＋2z)－6z ＝38，把②整体代入该方程中，可求出 z 的值，从而易得 x 与 y 的值． 2.【答案】 设百位数字为 a、十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数为 100a＋10b＋c，由题意，得 a＋c＝b＋1， 27 a＋b＋c ＝100a＋10b＋c， 100a＋10b＋c＋99＝100c＋10b＋a. 化简，得 a－b＋c＝1， －73a＋17b＋26c＝0， a－c＝－1. 解这个方程组，得 a＝2， b＝4， c＝3. 答：原来的三位数是 243. 【解析】注意三位数的设法即可． 拔高 1. 解方程组： 3 10 2 6 2 17 x y z x y z x y z            ① ② ③ ． 2. 已知：4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0，且 x，y，z 都不为零．求 3 2 2 3 x y z x y z     的值． 答案与解析 1.【答案】 3 4 5 x y z      【解析】试题分析：①+②消去 z 得到一个方程，记作④，②×2+③消去 z 得到另一个方程，记作⑤，两 方程联立消去 y 求出 x 的值，将 x 的值代入④求出 y 的值，将 x、y 的值代入 ③求出 z 的值，即可得到 原方程组的解． 试题解析：①+②得：4x+y=16 ④，②×2+③得：3x+5y=29⑤， ④⑤组成方程组 4 16 3 5 29 x y x y      解得 3 4 x y    将 x=3，y=4 代入③得：z=5， 则方程组的解为 3 4 5 x y z      ． 2.【答案】 7 5 【解析】试题分析：已知 4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0，将这两个方程联立组成方程组 4 3 6 0 2 7 0 x y z x y z        ， 解得 3 2 x z y z    ，把 x=3z，y=2z 代入即可得 3 2 2 3 x y z x y z     的值． 解：解关于 x、y 的二元一次方程组 4 3 6 0 2 7 0 x y z x y z        得 3 2 x z y z    ， 把 x=3z，y=2z 代入得原式= 9 4 7 3 4 3 5 z z z z z z     ． 五．课堂小结 本节课主要讲解三元一次方程组的概念以及利用消元的方法解三元一次方程组，注意计算中找到最佳 解决途径. 六．拓展延伸 基础 1. 解下面的三元一次方程组：       y4 2252 12 x zyx zyx 2.当 a=__________时，方程组      652 22 ayx ayx 的解 x、y 的值互为相反数． 答案与解析 1.【答案】解：用方程②－①，②－③，消去 x 得到方程组      2256 104y zy z , 解得      2 2y z 带回原方程组解得       2 2y 8x z 故答案为：       2 2y 8x z 2.【答案】6. 【解析】 解：∵x、y 的值互为相反数， ∴ y=-x， 即原方程组可化为      652 22 axx axx ， 得-2a+a+6=0， 解得 a=6 巩固 1. 解方程组: 3x－y＝－7， y＋4z＝3， 2x－2z＝－5. ① ② ③ 2. 方程组       3526 226 623 zyx zyx zyx 与关于 x、y、z 的方程       1533 1432 22 czbyax czbyax czbyax 的解相同, 求 a,b,c 的值. 答案与解析 1.【答案】①＋②得 3x＋4z＝－4.④ ④＋③×2 得 x＝－2. 把 x＝－2 代入①得 y＝1. 把 x＝－2 代入③得 z＝1 2. 所以 x＝－2， y＝1， z＝1 2. 2. 【答案】解:       3(3)526 )2(226 )1(623 zyx zyx zyx , (1)+(3)得: )4(323  zx , (1)+(2)×2 得: )5(2315  zx , (4)×5-(5)得: 1313 z ,即, 1z 把 1z 代入(4)得: 3 1x , 把 3 1x , 1z 代入(1)得: 2y , 把 3 1x , 2y ,z=1 代入得:            156 1463 2 2223 1 cba cba cba , 计算得出: 9a , 2 1b , 1c . 拔高 1. 已知三元一次方程组 5 1 2 3 x y x z y z           ． （1）求该方程组的解； （2）若该方程组的解使 ax+2y+z＜0 成立，求整数 a 的最大值． 2. 解方程组 8 , 6 , 4 , x y y z z x         ① ② ③ 并求 mx＋2y－z1994＝10 中 m 的值． 答案与解析 1.【答案】(1) 2 3 3 x y z       ； （2）﹣2． 【解析】解：（1） 5 1 2 3 x y x z y z           ① ② ③ ， ①﹣②得：y﹣z=6④， ③与④组成二元一次方程组 2 3 6 y z y z       ， 解得： 3 3 y z     ； 把 y=3 代入①，解得 x=2， 所以三元一次方程组的解为 2 3 3 x y z       ； （2）∵ 该方程组的解使 ax+2y+z＜0 成立， ∴ 2a+6﹣3＜0， ∴ a＜ 3 2  ， ∴ 整数 a 的最大值为﹣2． 2.【答案】 1 3 【解析】①＋②＋③，得 2（x＋y＋z）＝18，所以 x＋y＋z＝9 ④， 用④式分别减去①、②、③三个式子，得 3, 5, 1. x y z      把 3, 5, 1 x y z      代入含 m 的方程中，得 3m＋2×5－1＝10， 解得 1 3m  ． 七．教学反思