第01讲 相交线-学案.doc

第 01 讲 相交线 概述 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 人教版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.相交线：邻补角及对顶角的定义； 2.垂直：概念及画法意义； 3.同位角、内错角、同旁内角的认识. 教学目标 1.理解邻补角和对顶角的概念，并能够灵活区分； 2.理解垂直的概念及在生活中的应用； 3.理解同位角、内错角、同旁内角的概念，同时能够熟练认识. 教学重点 垂线的画法及各种角之间的辨认及关系. 教学难点 同位角、内错角及同旁内角的应用. 【知识导图】 教学过程 【教学建议】 “在同一平面内”,学生在学习中是很容易忽视的,导致在做练习题时误解。教师在本章书导入“不重 合的两直线的位置关系”时,就要强调“在同一平面内”.教师可以用实物去引导学生思考,让学生有一个空 间的概念,培养学生思维的严谨周密性,也为学生在以后学习《立几》作铺垫. 但是,老师应该清晰地指出， 在本章书中,我们主要是研究平面的几何. 一、课堂导入 我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线．研究相交线所成的角和它的特征，相交线的一种 特殊形式即垂直，垂线的性质，研究平行线的性质和平行线的判定以及图形的平移问题． 二、知识讲解 知识点 1 对顶角、邻补角 对顶角：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两 个角叫做对顶角．（成对出现且相等，两边互为反向延长线） 邻补角：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角． （相邻且和为 180 度） 知识点 2 垂线 垂线 (1)定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直 线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作： 如图所示：AB⊥CD，垂足为 O 考点 2 A B C D O ⑵垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ⑶垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简称：垂线段最短. 注意： 过一点画已知直线的垂线，首先应分清是过直线上一点，还是过直线外一点画已知直线的垂线，前者该点 即为垂足，画一条线段或射线的垂线，实际是画它们所在直线的垂线. 知识点 3 三线八角 三线八角 如图：直线 a1、a2 被直线 a3 所截，构成了八个角． 学生在教师的组织下完成以下活动： 观察∠1 与∠5 的位置：它们都在第三条直线 a3 的同侧，并且分别位于直线 a1、a2 的同一侧，这样的一 对角叫做“同位角”． 观察∠3 与∠5 的位置：它们分别在第三条直线 a3 的异侧，并且都位于两条直线 a1、a2 之间，这样的一 对角叫做“内错角”． 观察∠2 与∠5 的位置：它们都在第三条直线 a3 的同旁，并且都位于两条直线 a1、a2 之间，这样的一对 角叫做“同旁内角”． 寻找一个角的同位角、内错角、同旁内角，首先应该把这个角放在一个“三线八角”的基本图形中，其次， 不管是同位角，还是内错角或是同旁内角，它们都具有一个共同特征：这两个角有一对边在同一直线上， 这条共同的直线就是第三边，而两个角剩下的两边所在直线就是另两直线. 四、例题精析 三、例题精析 例题1 如图，直线 a，b 相交，若∠1 与∠2 互余，则∠3= ． 【答案】135◦ 【解析】∠1 与∠2 互余和为 90◦且∠1 与∠2 相等，所以各得 45◦，同时∠1 与∠3 互为邻补角，能够得到∠ 3 为 135◦ 例题 2 过点 B 画线段 AC 所在直线的垂线段，其中正确的是（ ） 【答案】D 【解析】BD 要和 AC 所在直线垂直。 例题 3 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O．若∠EOD=25°，则∠AOC 的度数为 A．155 B．125 C．115 D． 65 【答案】C 【解析】垂直定义，∠EOA=90◦，所以∠AOD=65◦，∠AOC 与∠AOD 互为邻补角，∠AOC=115◦ 例题 4 如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，与 AB，CD 分别交于点 E，F，下列描述： ①∠1 和∠2 互为同位角 ②∠3 和∠4 互为内错角 ③∠1=∠4 ④∠4+∠5=180° 其中，正确的是 A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】C. 【解析】∠1 和∠2 互为邻补角；∠4+∠5=180°不能直接说明，因为没有给出直接的关系。 1.如图所示，∠1、∠2 为同位角的是 ( ) A. B. C. D. 2. 若 A，B，C 是直线 l 上的三点，P 是直线 l 外一点，且 PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点 P 到直线 l 的距离 ( ) A．等于 3cm B．大于 3cm 而小于 4cm ; C．不大于 3cm D．小于 3cm 3.如图，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ） 五、课堂应用 基础 四、课堂运用 答案与解析 1.【答案】D. 【解析】它们都在第三条直线的同侧，并且分别位于两直线的同一侧. 2.【答案】C. 【解析】根据点到直线的距离的定义,点 P 到直线 L 的距离即为点 P 到直线 L 的垂线段的长度,垂线段的长 度不能超过 PC 的. 3. 【答案】C. 【解析】共顶点，反向延长线. 巩固 1.小明在操场上从 A 点出发，先沿南偏东 30°方向走到 B 点，再沿南偏东 60°方向走到 C 点. 这时，∠ABC 的度数是（ ） A.120° B.135° C.150° D.160° 2. 如图，将一个等腰直角三角板按照如图方式，放置在一个矩形纸片上，其中∠α=24°，则∠β的度数为 （ ） A．24° B．21° C．30° D．45° 3. 如图所示，直线 EO⊥CD，垂足为点 O，AB 平分∠EOD，则∠BOD 的度数为（ ） A．120° B．130° C．135° D．140° 答案与解析 1.【答案】C. 【解析】 ∠ABC=30°+ 90°+ 30°=150°. 2.【答案】B 【解析】在△ACB 中, ∠ACB=90°, ∠CAB=∠B=45° EF ll MN EAC+∠ACM=180° , ∠B=180°-90°-45°-24°=21°. 故选 B. 3.【答案】C. 【解析】两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，EO⊥CD，则∠EOD 和∠EOC 都是 直角；又因为 AB 平分∠EOD，所以∠AOD 为 45°．∠AOD 与∠COB 是对顶角，所以∠COB 也是 45°．因 为∠COB 与∠BOD 互补，所以∠BOD＝180°－45°＝135°. 拔高 1.下列说法正确的是（ ） A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直 D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2. 如图所示, 直线 a,b,c 两两相交, ∠1=2∠3, ∠2=65°, 求∠4 的度数。 3. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 把∠BOD 分成两部分． (1)直接写出图中∠AOC 的对顶角为________，∠BOE 的邻补角为________； (2)若∠AOC＝70°，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE 的度数． 答案与解析 1.【答案】C 【解析】对顶角须满足边为反向延长线；直线外一点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离；D 中必 须强调的是直线外的一点. 2.【答案】32.5◦ 【解析】对顶角相等，∠4=65◦÷2=32.5◦ 3.【答案】解：(1) ∠BOD ∠AOE (2) 设∠BOE＝2x°，则∠EOD＝3x°，∴∠BOD＝∠BOE＋∠EOD＝5x°.∵∠BOD＝∠AOC＝70°，即 5x ＝70，∴x＝14，∴∠BOE＝2x°＝28°，∴∠AOE＝180°－∠BOE＝152°. 五．课堂小结 本节课主要针对相交线的相关知识进行综合讲解，重点是根据图形找到同位角、内错角、同旁内角. 注 意证明过程的书写规范. 六．拓展延伸 基础 1. 如图所示, ∠1 和∠2 是对顶角的图形有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.判断以下两条直线是否互相垂直： 两条直线相交所成的四个角中有一个是直角； 两条直线相交所成的四个角相等； 两条直线相交，有一组邻补角相等； 两条直线相交，对顶角互补． 3.如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（ ） A.∠AOC=∠AOD B.∠AOD=∠BOD C.∠AOC=∠BOD D.以上 答案与解析 1.【答案】A 【解析】对顶角共定点，两边互为反向延长线. 2.【答案】上述说法中的两条直线均互相垂直． 【解析】 解:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角,这两条直线互相垂直；两条直线相交所成的四 个角相等,这两条直线互相垂直；两条直线相交，有一组邻补角相等,这两条直线互相垂直；两条直线相交， 对顶角互补,这两条直线互相垂直. 3.【答案】C. 巩固 1. 如图 1 所示,下列说法不正确的是( ) A.点 B 到 AC 的垂线段是线段 AB; B.点 C 到 AB 的垂线段是线段 AC C.线段 AD 是点 D 到 BC 的垂线段; D.线段 BD 是点 B 到 AD 的垂线段 2.如图， OC⊥AB 于点 O，∠1=∠2， 则图中互余的角有 A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 3．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 O，OF 平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中 不正确的是（ ） A．∠AOF=45° B．∠BOD=∠AOC C．∠BOD 的余角等于 75°30′ D．∠AOD 与∠BOD 互为补角 答案与解析 1. 【答案】C. 2. 【答案】D. 3. 【答案】C. 【解析】互余和为 90 度，互补和为 180 度. 拔高 1.下列语句错误的有（ ）个. （1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角 （2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶 角 （3）如果两个角相等，那么这两个角互补 （4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 A、1 B、2 C、3 D、4 2.如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图： （1）将直角三角板 ABC 的 AC 边延长且使 AC 固定； （2）另一个三角板 CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合； （3）延长 DC，∠PCD 与∠ACF 就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF 为多少？ 3.如图所示，已知直线 AB，CD 相交于点 O，且 OE 平分∠BOC，若∠AOC=42°． （1）∠AOC 与______互为邻补角？ （2）与∠EOA 互为补角的角是哪些角？并说明理由． （3）求∠BOE 的度数． [解答]（1）∠AOC 与∠AOD，_______互为邻补角 （2）∠AOE+∠EOB=180° 所以∠EOA 与∠EOB________． 因为∠COE=_____． 所以∠AOE+_______=180° ∠AOE 与______也互补 （3）因为∠AOC=42° 而∠AOC+∠BOC=180° 所以∠BOC=180°-42°=_____． 又因为 OE 平分_____． 所以∠BOE= 1 2 ×_____=_____． 答案与解析 1.【答案】C 2.【解析】（1）∠COB； （2）互为邻补角，∠BOE，∠COE，∠COE； （3）138°，∠COB，138°，69° 3.【解析】∵∠PCD=90°-∠1， 又∵∠1=30°， ∴∠PCD=90°-30°=60°， 而∠PCD=∠ACF， ∴∠ACF=60°． 七．教学反思