第10讲 消元解二元一次方程组-学案.doc

第 10 讲 消元—二元一次方程组 第 10 讲 消元—二元一次方程组 概述 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 人教版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.代入消元法解二元一次方程组； 2.加减消元法解二元一次方程组； 教学目标 1.用代入法、加减法解二元一次方程组； 2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想. 教学重点 用代入法、加减法解二元一次方程组． 教学难点 如何理解消元. 【知识导图】 教学过程 【教学建议】 作为数学的一个重要分支，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.在七年级上学期学生已经学习 了一元一次方程，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.本章将进一步研究二元一次方程组的有关概 念、解法和应用等.它是一元一次方程的继续和发展.同时也是今后学习一次函数、线性方程组及平面解析 几何等知识的基础. 一、课堂导入 七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进 n 个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表). 进球数 n 0 1 2 3 4 5 投进球的人数 1 2 7 ● ● 2 同时,已知进球 3 个和 3 个以上的人平均每人投进 3.5 个球;进球 4 个和 4个以下的人平均每人投进 2.5 个球, 你能把表格中投进 3 个球和投进 4 个球对应的人数补上吗? 二、知识讲解 知识点1 代入消元法 代入消元法： 这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法， 简称代入法． 知识点 2 加减消元法 加减消元法： 当二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点 3 消元法的过程 代入消元法 用代入法解二元一次方程组的一般过程： 1、从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有 x（或者 y）的代数式表示 y）（或者 x），即 变成 y=ax+b（或 x=ay+b）的形式； 2、将 y=ax+b（或 x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形的方程），消去 y（或 x），得到一个关于 x（或 者 y）的一元一次方程； 3、解这个一元一次方程，求出 x（或者 y）的值； 4、把求出的值代入 y=ax+b（或 x=ay+b）中，求 y（或者 x）的值； 5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解. 加减法解二元一次方程组的一般过程 用加减法解二元一次方程组的一般过程： 1、根据等式的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式. 2、将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程. 3、解这个一元一次方程，求出一个未知数的解. 4、把这个未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值. 5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解. 知识点 4 解方程组 解二元一次方程组 1、当某一个未知数的系数的绝对值相等时，若符号不同，用加法消元，若符号相同，用减法消元. 2、当某一个未知数的系数成倍数关系时，将系数较小的方程两边同乘这个倍数，把该未知数的系数变为相 等或互为相反数，再用加减法解方程组. 3、当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形， 把该未知数的系数化为绝对值相等的数，再用加减消元法。 四、例题精析 三、例题精析 例题1 解方程组 2x＋3y＝－1，① 2x－5y＝7.② 【答案】解法一： 由①得 x＝－1－3y 2 ，代入方程②，消去 x. 得 y＝ －1. 代入①或②， 得 x＝1. 所以原方程组的解为 x＝1， y＝－1. 解法二： ①－②得：8y＝－8， 所以 y＝ －1. 代入①或②， 得 x＝1. 所以原方程组的解为 x＝1， y＝－1. 【解析】代入消元法或者加减消元法都可以. 例题 2 在方程 3x+4y-2=0 中，若 y 分别取 2， 4 1 ，0，-1，-4，求相应的 x 的值. 【答案】 将 3x+4y-2=0 变形，得 x= 3 42 y .把已知的 y 值依次代入方程的右边，计算对应的 x 值，得 y 2 4 1 0 -1 -4 3 42 yx  -2 3 1 3 2 2 6 【解析】将对应的 y 值分别代入方程中进行计算即可. 例题 3 用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法． (1) 3x－2y＝15， ① 5x－4y＝23. ② 消元方法：________． (2) 7m－3n＝1， ① 2n＋3m＝－2. ② 消元方法：________． 【答案】(1) ①×2－②消去 y (2) ①×2＋②×3 消去 n 【解析】 在用加减消元解方程时,消去的那个元最好是在两个方程中有着倍数关系,可以减少我们的计算量. 1. 下列方程组中是二元一次方程组的是( )． A. xy＝1 x＋y＝2 B. 5x－2y＝3 1 x ＋y＝3 C. 2x＋z＝0 3x－y＝1 5 D. x＝5 x 2 ＋y 3 ＝7 2. 方程组      )2(42 )1(,72 yx yx 的解为（ ） A.      2 3 y x B.      5 1 y x C.      2 0 y x D.      3 2 y x 3. 对于二元一次方程组 用加减法消去 x，得到的方程是（ ） A、2y=-2 B、2y=-36 C、12y=-36 D、12y=-2 答案与解析 五、课堂应用 基础 四、课堂运用 1.【答案】 D. 【解析】解：A 项中最高次数为2 次，B 项中有分式，C 项中有 3 个未知数． 2.【答案】 D. 【解析】将各选择项中的每对数值分别代入原方程组中的两个方程，既满足方程①，又满足方程②的才 是原方程组的解，否则就不是.只有 D 中未知数的值既满足方程①,又满足方程②，所以选 D. 3.【答案】C. 【解析】两方程相减即可得到答案. 巩固 1. 二元一次方程 3x＋2y＝11( )． A．任何一对有理数都是它的解 B．只有一个解 C．只有两个解 D．有无数个解 2. 方程组 x＋y＝3， x－y＝－1 的解是( )． A. x＝1， y＝2 B. x＝1， y＝－2 C. x＝2， y＝1 D. x＝0， y＝－1 3．由方程组 x＋m＝4， y－3＝m 可得出 x 与 y 之间的关系是( )． A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7 答案与解析 1.【答案】D. 【解析】给一个 x 的值就有一个 y 的值与之相对应． 2.【答案】A. 【解析】本题可用加减法求出方程组的解． 3.【答案】C. 【解析】通过代入消去未知数 m 即可，或两个方程相加，也可消去 m，得 x 与 y 的关系． 拔高 1. 方程组 2x＋y＝■， x＋y＝3 的解为 x＝2， y＝■， 则被遮盖的两个数分别为( )． A．1,2 B．5,1 C．2,3 D．2,4 2．已知关于 x，y 的方程组 x＋2y＝m， x－y＝4m 的解为 3x＋2y＝14 的一个解，那么 m 的值为( )． A．1 B．－1 C．2 D．－2 3. 二元一次方程组   4 3 7, 1 3 x y kx k y         的解 x，y 的值相等，求 k. 1.【答案】B. 【解析】把 x＝2 代入 x＋y＝3 中， 求出 y＝1，再把 x＝2， y＝1 代入方程组中，得 2x＋y＝5. 2.【答案】C. 【解析】先解关于x，y的方程组得 x＝3m， y＝－m， 再将其代入3x＋2y＝14中，得9m－2m＝14. 从而求出m＝2. 3.【答案】由题意可知 x=y， ∴ 4x+3y=7 可化为 4x+3x=7. ∴ x=1，y=1. 将 x=1，y=1 代入 kx+(k-1)y=3 中，得 k+k-1=3， ∴ k=2. 五．课堂小结 本节课主要讲解利用代入法和加减消元法解二元一次方程组，本节课的重点内容就是解二元一次方程 组的方法和技巧，注意选取正确的解题方法. 六．拓展延伸 基础 1. 下列哪组数是二元一次方程组 3, 2 4 x y x       的解( ) A. 3 0 x y      B. 1 2 x y      C. 5 2 x y       D. 2 1 x y      2.解方程组： 4x－3y＝11， 2x＋y＝13. ① ② 3. 已知 是方程 kx﹣y=3 的解，那么 k 的值是（ ） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 答案与解析 1.【答案】D. 【解析】先解出 x 的值，再代入求出 y 的值. 2.【答案】解：①＋②×3，得 10x＝50， 解得 x＝5. 把 x＝5 代入②， 得 2×5＋y＝13，解得 y＝3. 于是，得方程组的解为 x＝5， y＝3. 3.【答案】A. 【解析】将方程的解代入计算, 即可得到 k 值. 巩固 1. 已知关于 x、y 的方程组 的解是一对正数，求 a 的取值范围． 2. 解方程组： 3. 已知关于 x ， y 的方程组 的解为 ，求 m，n 的值． 答案与解析 1. 【答案】 解： ①+②得：2x=8a+8， x=4a+4， ①﹣②得：2y=﹣2a+10， y=﹣a+5， ∵关于 x、y 的方程组 的解是一对正数， ∴4a+4＞0 且﹣a+5＞0， 解得：﹣1＜a＜5 2. 【答案】解： ， ①×4 得，8x﹣4y=20③， 3. ②+③得，11x=22， 4. 解得 x=2， 5. 把 x=2 代入①得，4﹣y=5， 6. 解得 y=﹣1， 7. 所以，方程组的解是 ． 3.【答案】将 代入方程组中，得 ， 解得： ． 所以 m=5，n=1． 拔高 1. 方程组 2x＋3y＝a， 4x－3y＝a－4 的解 x 与 y 的和是 2，则 a＝______. 2. 甲、乙两人共同解方程组 5 15, 4 2. ax y x by        ① ② 由于甲看错了方程①中的 a，得到方程组的解为 3, 1; x y        乙 看错了方程②中的 b，得到方程组的解为 5, 4. x y      试计算 a2 013+(- 1 10 b)2 014. 3. 已知方程组 与 的解相同，求 a2+2ab+b2 的值． 答案与解析 1.【答案】5． 【解析】 解关于 x，y 的二元一次方程组 2x＋3y＝a， 4x－3y＝a－4 得 x＝a－2 3 ， y＝a＋4 9 ， 由 x 与 y 的和是 2 得关于 a 的一元一次 方程a－2 3 ＋a＋4 9 ＝2，解得 a＝5. 2. 【答案】 把 3, 1 x y        代入方程②中，得 4×(-3)-b×(-1)=-2，解这个方程，得 b=10. 把 5, 4 x y      代入方程①中，得 5a+5×4=15， 解这个方程，得 a=-1. 所以 a2 013+(- 1 10 b)2 014=(-1)2 013+(- 1 10 ×10)2 014=0. 3.【答案】 解：由方程组 与 的解相同， 得 ①，      332 1 byax byax ②， 解①得 ， 把 代入②得 ， 解得 ， 则 a2+2ab+b2=（a+b）2=（﹣2+5）2=9 七．教学反思