1.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质-北师大版八年级数学下册课件(共17张PPT)

1.1 等腰三角形 北师大版数学八年级下册第一章第一节 第1课时 等腰三角形的性质 学习目标 1.回顾等腰三角形的性质定理及其推论 2.能利用等腰三角形的性质及其推论解决一些简单 数学问题 3.体会分类讨论的思想方法. 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边 上的高互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等. 等腰三角形的性质及其推论二 问题引入 （等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等. A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 如何证明两个 角相等呢？ 可以运用全等三 角形的性质“对 应角相等”来证 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B CD 证明： 找底边BC的中点D，连接AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法一：作底边上的中线 还有其他的 证法吗？ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B CD 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中 想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C 之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的 性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC， ∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶 角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B CD 定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A CB 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 证明后的结论,以后可以直接运用. 总结归纳 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）. A CB D 1 2∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 综上可得：如图,在△ABC中, A B C D 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 分析：（1）图中相等的角共（）对； ∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC； A 3对 B4对 C5对 D6对 D A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x （2）设∠A=x,请把△ ABC的内角 和用含x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °， ∴ x+2x+2x=180 °, A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 °，在△ABC中， x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用 方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 归纳 ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 总结与启示：处理等腰三角形边长问题时，一方面要对等腰三角形的腰进行分类 讨论，同时还需要考虑是不是能构成三角形 分析：由于题目未给出哪个为腰，哪个为底，因此要进行分类讨论。一般我 们讨论腰长 例3 （1）已知等腰三角形的一个角为30°，则其顶角为 总结与启示：处理等腰三角形内角问题时，一般都需要对角是底角还是顶角进行 分类讨论 分析：由于题目未给出30°的角为底角还是为顶角，因此要进行分类讨论。 例4 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求它的底角． 分析：为方便书写过程，我们假设该三角形为△ABC,顶角为∠A 由于腰上的高可以在三角形内，也可以在三角形外，所以要进行分类讨论 基于腰上的高的两种位置，我们分两种情况讨论： 即①高在内部，此时∠A＜90°；②高在外部，此时∠A＞90°； 解：分两种情况讨论： ①若∠A＜90°，如图1所示： ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD＝90°， ∵∠ABD＝50°， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70° ②若∠A＞90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20° 课堂小结 等 腰 三 角 形 的 性 质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底 边上的高和中线才有这一性 质.而腰上高和中线与底角 的平分线不具有这一性质. 数学思想：分类讨论