1.1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定与反证法-北师大版八年级数学下册课件(共29张PPT)

1.1 等腰三角形（3） 北师版八下第一章 三角形的证明 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 复习引入 问题1：等腰三角形有怎样的性质？ 角：等腰三角形的两底角相等．（定理） (简写成 ‘‘等边对等角”) 三线： 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合(简写成 ‘‘三线合一”)(推论) 问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？ 边：等腰三角形的两腰相等．（定义） 对称性：等腰三角形是轴对称图形 释疑解惑 问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？ 边： 等腰三角形 两腰相等 性质 两边相等 等腰三角形？ 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形 判定 （定义判定法） 释疑解惑 问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？ 角： 等腰三角形 两底角相等 性质 两角相等 等腰三角形？ 等边对等角 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对 的边AB和AC相等吗? C A B 释疑解惑 分析：要想证明AB＝AC， 只要构造两个全等三角形， 使AB与AC成为对应边就可 以了.你是怎样构造的？ D 1 2 证明： ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD (AAS)∴△ABD≌ △ACD ∴AB=AC 在△ABD与△ACD中 过A作BC边上的中线AD可以吗？思考： C A B D 释疑解惑 已知两边一角时， “ 角 ” 必 须 为 “夹角”才能证 全等！！！ 在△ABD与△ACD中 ∠1=∠2 ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS） ∠B=∠C AD=AD ∴AB=AC 过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明： C A B 21 D （ （ △ABC是等 腰三角形. 释疑解惑 释疑解惑 问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？ 角： 等腰三角形 两底角相等 性质 两角相等 等腰三角形？判定 等角对等边 等边对等角 有两个角相等的三角形是等腰三角形. (简称“等角对等边”). 等腰三角形的判定定理： 在△ABC中， ∵∠B=∠C, 书写格式： ∴AB=AC(等角对等边). A CB 新知归纳 提供思路：“角相等”转化为“线段相等” 释疑解惑 问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？ 三线： 等腰三角形 三线合一 性质 三线合一 等腰三角形？ “三线合一”是 性质，没有逆用！ 不得逆用！ × 归纳小结 等腰三角形的判定方法： 角：有两个角相等的三角形是等腰三角形．（定理） (简写成 ‘‘等角对等边”) 边：有两条边相等的三角形是等腰三角形．（定义） 例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. A B C D E 典例精析 证明：在△ABD与△DCA中 ∴△ABD≌△DCA(SSS) ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等） ∴AE=DE(等角对等边） ∴ △AED是等腰三角形 AB=DC BD=CA AD=DA 例2 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D， 过D作BC的平行线，交AB于E，请判断△BDE的形状， 并说明理由. 理由：∵ BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC ∵ED∥BC ∴∠EDB=∠DBC ∴ ∠ABD=∠EDB 典例精析 B C DE A ∴EB=ED(等角对等边） ∴ △EBD是等腰三角形 （（（ 答：△BDE是等腰三角形 例2 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D， 过D作BC的平行线，交AB于E，请判断△BDE的形状， 并说明理由. 模型总结 B C DE A （（（ 模型：角平分线+平行线 等腰三角形 “角相等”转化为“线段相等” 模型应用 1. 如图，若BM，CM分别平分∠ABC 和∠ACB，过M作ME∥AB交BC于E， 作MF∥AC交BC于F，若BC=9，则 △MEF的周长为 ． 2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝ 5，过点A的直线DE∥CB，∠ABC与 ∠ACB的平分线分别交DE于E，D两 点，则DE的长为 . 3．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分 ∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且 DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE ＝______． 9 13 3 例3如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分 ∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有_____个. 典例精析 （36° 72°72° （ 36° （ 36° 72° 如果继续作∠BDC的平分线DE交BC于E，图中的等腰 三角形有_____个，你发现了什么？你还能找到一个具 有类似特点的等腰三角形吗? …… 3 5 E 生活中不缺乏 规律，只是缺 乏发现规律的 眼睛! 愿你做个生活 的发现者！ 想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不 相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这 个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 释疑解惑 假设AB=AC, 那么根据“等角对 等边”定理可得∠B=∠C, 但与已知条件 ∠B≠∠C相矛盾. 所以假设不成立，因此AB≠AC. 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推 导出了与定义、公理、定理或已知条件相矛盾，从而证 明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 用反证法证题的一般步骤 1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与 定义， 公理、定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正 确. 反证法二 例4 用反证法证明：（1）一个三角形中不能有两个角 是直角.已知：△ABC． 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角． 【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论 “∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即 它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立， 然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾． 典例精析 例4 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC． 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角． 典例精析 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设 ∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180° 这与“三角形内角和定理” 矛盾 ∴“∠A=∠B=90°”这个假设 不成立 ∴一个三角形中不能有两个角是直角 例4 用反证法证明：（2）三角形中必有一个内角大于等 于60度. 典例精析 证明：假设∠A,∠B,∠C没有一个内角大于等于60°， 即每个内角都小于60°，则 ∠A+∠B+∠C＜60°+60°+60°＜180° 这与“三角形内角和定理” 矛盾 ∴假设 不成立． ∴一个三角形中必有一个内角大于等于60度 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 模型：“角平分线+平行线” 知识：等腰三角形的两种判定方法（边、角） 方法：反证法 规律：例3 课堂检测 1.如图，上午8时，一艘船从A处出发以15 海里/小时的速度向正北航行，10时到达B 处，从A，B两点望灯塔C，测得 ∠NAC=42°，∠NBC=84°，则B处到灯 塔C的距离为 . 2.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC， BD平分∠ABC，DE//BC，则图中等腰三 角形有 个． 30海里 5 在线检测 1．如图所示方格纸中的三角形是(  ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A 在线检测 2. 在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为 等腰三角形的是（  ） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60° C．∠A=40°，∠B=70° D．∠A=40°，∠B=80° C 在线检测 3．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的 是(  ) A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=4：5：6 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C =1：1：2 B 在线检测 4.如图，BD是∠ABC的角平分线，DC∥AB，下列 说法正确的是（  ） A．BC=CD B．AD∥BC C．AD=BC D．点A与点C关于BD对称 A 在线检测 A．3 B．4 C．5 D．6 5.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分 ∠ABC，DE//BC，则图中等腰三角形有 （ ）个 C 下课啦