第 9 章 不等式与不等式组
一．选择题（共 8 小题）
1．若 m＞n，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．m﹣2＞n﹣2 B．﹣3m＜﹣3n
C．m2＞mn D． ＞
2．如果 2a﹣3x2+a＞1 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C． D．
3．若 ，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜0
C．﹣1＜a＜0 D．a＞1 或﹣1＜a＜0
4．下面四个图形中，表示解集 2≤x≤3 的图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．x≥3 的最小值是 a，x≤﹣5 的最大值是 b，则 a+b＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如果不等式 3x﹣m≤0 的正整数解为 1，2，3，则 m 的取值范围为（ ）
A．m≤9 B．m＜12 C．m≥9 D．9≤m＜12
8．某商品进价加价 25%后出售，最后降价处理库存，要使后续销售不亏本，售价降价不能
高于（ ）
A．20% B．25% C．30% D．40%
二．填空题（共 8 小题）
9．已知关于 x 的不等式组 的所有整数解的和为 7，则 a 的取值范围
是 ．
10．试构造一个解为 x＜﹣1 的一元一次不等式组 ．
11．某药品说明书上标明药品保存的温度是（10±4）℃，设该药品合适的保存温度为 t，
则温度 t 的范围是 ．
12．已知有理数 x 满足： ，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为 a，最大值为
b，则 ab＝ ．
13．已知 a＜b，则有以下结论①a+m＜b+m；② （m＜0）；③ma＞mb；④a|m|＜b|m|，
其中恒成立的不等式是 ．
14．已如关于 x 的不等式组 的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是 ．
15．对于整数 a，b，c，d，符号 表示运算 ad﹣bc，已知 1＜ ＜3，则 bd 的值是 ．
16．某班计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组 6 人，则还余 10
人，若每个小组 10 人，则有一个小组的有人但不足 6 人，设有 x 个小组，可列不等式组
为 ．
三．解答题（共 6 小题）
17．已知 y＝﹣2x+3，且﹣3≤y≤3，求 x 的取值范围．
18．解不等式：
（1）3（x﹣1）＞2x+2
（2） ≤1
19．解不等式 ﹣ ≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得 3×4+y＝14，
解得 y＝2，
把 y＝2 代入①，得 x＝2，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组 的解为
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x+y＞ ，请
直接写出满足条件的 m 的所有正整数值 ．
21．某学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每
个足球的价格相同），购买 1 个足球和 2 个篮球共需 270 元；购买 2 个足球和 3 个篮球共
需 464 元．
（1）问足球和篮球的单价各是多少元？
（2）若购买足球和篮球共 20 个，且购买篮球的个数不超过足球个数的 2 倍，购买球的
总费用不超过 1910 元，问该学校有哪几种不同的购买方案？哪种方案最省钱？
22．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”
较严重的燃油公交车，计划购买 A 型和 B 型新能源公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1
辆，B 型公交车 2 辆，共需 300 万元；若购买 A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共需
270 万元，
（1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 80 万人次和 100 万人
次．若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1000 万元，且确保这 10 辆公交车
在该线路的年均载客量总和不少于 900 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车
方案总费用最少？最少总费用是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
1．若 m＞n，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．m﹣2＞n﹣2 B．﹣3m＜﹣3n
C．m2＞mn D． ＞
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：A、∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2
∴选项 A 不符合题意；
B、∵m＞n，
∴﹣3m＜﹣3n，
∴选项 B 不符合题意；
C、∵m＞n，m 是什么数不明确，
∴m2＞mn 不正确，
∴选项 C 符合题意；
D、∵m＞n，
∴ ＞ ，
∴选项 D 不符合题意．
故选：C．
2．如果 2a﹣3x2+a＞1 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，
叫做一元一次不等式，可得 x 的指数等于 1，可求得 a 的值，进而代入求得相应解集即
可．
【解答】解：2+a＝1，
a＝﹣1，
∴2a﹣3x2+a＞1 变为：﹣2﹣3x＞1，
解得：x＜﹣1．
故选：A．
3．若 ，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜0
C．﹣1＜a＜0 D．a＞1 或﹣1＜a＜0
【分析】由原不等式可得，a 做分母，所以，a≠0，本题可分两种情况，①a＞0，②a＜
0，解出解集，即可解答．
【解答】解：由题意得，a≠0，
①当 a＞0 时，得 a2＞1，
解得，a＞1 或 a＜﹣1，
即，a＞1；
②当 a＜0 时，得 a2＜1，
解得，﹣1＜a＜1，
即，﹣1＜a＜0；
所以，a 的取值范围是 a＞1 或﹣1＜a＜0；
故选：D．
4．下面四个图形中，表示解集 2≤x≤3 的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由解集 2≤x≤3 可知，这个解集为 x≥2，x≤3 的解集的公共部分．
【解答】解：由已知得，解集 2≤x≤3 是 x≥2 与 x≤3 的解集的公共部分，
故选：D．
5．x≥3 的最小值是 a，x≤﹣5 的最大值是 b，则 a+b＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据题意确定出 a 与 b 的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝﹣5，
则 a+b＝﹣2，
故选：D．
6．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数
的次数都是 1，系数不为 0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式解答即可．
【解答】解：A、含有两个未知数，错误；
B、未知数的次数是 2，错误；
C、含有两个未知数，错误；
D、符合一元一次不等式组的定义，正确；
故选：D．
7．如果不等式 3x﹣m≤0 的正整数解为 1，2，3，则 m 的取值范围为（ ）
A．m≤9 B．m＜12 C．m≥9 D．9≤m＜12
【分析】解不等式得出 x≤ ，由不等式的正整数解为 1、2、3 知 3≤ ＜4，解之可得
答案．
【解答】解：解不等式 3x﹣m≤0，得：x≤ ，
∵不等式的正整数解为 1，2，3，
∴3≤ ＜4，
解得：9≤m＜12，
故选：D．
8．某商品进价加价 25%后出售，最后降价处理库存，要使后续销售不亏本，售价降价不能
高于（ ）
A．20% B．25% C．30% D．40%
【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价相等，进而得出不等式即可．
【解答】解：设售价的折扣为 x，成本为 a 元，根据题意可得出：
a（1+25%）（1﹣x）≥a，
解得：x≤20%，
故选：A．
二．填空题（共 8 小题）
9．已知关于 x 的不等式组 的所有整数解的和为 7，则 a 的取值范围是 7
≤a＜9 或﹣3≤a＜﹣1 ．
【分析】先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于 a 的不等式组，求出不等式
组的解集即可．
【解答】解： ，
∵解不等式①得：x ，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为 ＜x≤4，
∵关于 x 的不等式组 的所有整数解的和为 7，
∴当 时，这两个整数解一定是 3 和 4，
∴ ，
∴7≤a＜9，
当 时，﹣3 ，
∴﹣3≤a＜﹣1，
∴a 的取值范围是 7≤a＜9 或﹣3≤a＜﹣1．
故答案为：7≤a＜9 或﹣3≤a＜﹣1．
10．试构造一个解为 x＜﹣1 的一元一次不等式组 ．
【分析】本题为开放性题，根据同小取小列不等式组即可．
【解答】解： ．
答案不唯一
11．某药品说明书上标明药品保存的温度是（10±4）℃，设该药品合适的保存温度为 t，
则温度 t 的范围是 6℃≤t≤14℃ ．
【分析】根据正数和负数的定义即可得出答案．
【解答】解：某药品说明书上标明药品保存的温度时（10±4）℃，说明在 10℃的基础
上，再上下 4℃，
∴6℃≤t≤14℃；
故答案为：6℃≤t≤14℃．
12．已知有理数 x 满足： ，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为 a，最大值为
b，则 ab＝ 5 ．
【分析】首先解不等式： ，即可求得 x 的范围，即可根据 x 的范围
去掉|3﹣x|﹣|x+2|中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得．
【解答】解：解不等式：
不等式两边同时乘以 6 得：3（3x﹣1）﹣14≥6x﹣2（5+2x）
去括号得：9x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣4x
移项得：9x﹣14﹣6x+4x≥3﹣10
即 7x≥7
∴x≥1
∴x+2＞0，
当 1≤x≤3 时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|＝3﹣x﹣（x+2）＝﹣2x+1 则最大值是﹣1，
最小值是﹣5；
当 x＞3 时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|＝x﹣3﹣（x+2）＝x﹣3﹣x﹣2＝﹣5，是一定值．
总之，a＝﹣5，b＝﹣1，
∴ab＝5
故答案是：5．
13．已知 a＜b，则有以下结论①a+m＜b+m；② （m＜0）；③ma＞mb；④a|m|＜b|m|，
其中恒成立的不等式是 ①② ．
【分析】直接利用不等式的性质分别分析得出答案．
【解答】解：①若 a＜b，则 a+m＜b+m，正确；
②若 a＜b，m＜0，则 ，正确；
③若 a＜b，m＜0 时，不等式 ma＞mb 才成立，错误；
④若 a＜b 且 m≠0，不等式 a|m|＜b|m|才成立，错误；
故答案是：①②．
14．已如关于 x 的不等式组 的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是 ﹣3＜a≤﹣
2 ．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知和不等式组的解集得出答案即可．
【解答】解：解不等式组 得：a≤x＜ ，
∵关于 x 的不等式组 的整数解共有 5 个，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故答案为：﹣3＜a≤﹣2．
15．对于整数 a，b，c，d，符号 表示运算 ad﹣bc，已知 1＜ ＜3，则 bd 的值是 2 ．
【分析】根据题中已知条件得出关于 bd 的不等式，直接进行解答即可．
【解答】解：已知 1＜ ＜3，即 1＜4﹣bd＜3
所以
解得 1＜bd＜3 因为 b，d 都是整数，则 bd 一定也是整数，因而 bd＝2．
16．某班计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组 6 人，则还余 10
人，若每个小组 10 人，则有一个小组的有人但不足 6 人，设有 x 个小组，可列不等式组
为 ．
【分析】根据每个小组 6 人，则还余 10 人，每个小组 10 人，则有一个小组的人数不足
6 人，假设出共分为 x 组，即可表示出该班人数以及不等式方程，进而求出即可．
【解答】解：设班内计划分成 x 组，由题意得：
∵若每个小组 6 人，则还余 10 人，
∴该班人数为：6x+10，
∵若每个小组 10 人，则有一个小组的人数不足 6 人，
根据题意得出不等式组：
．
故答案为： ．
三．解答题（共 6 小题）
17．已知 y＝﹣2x+3，且﹣3≤y≤3，求 x 的取值范围．
【分析】把 y＝﹣2x+3，代入﹣3≤y≤3，即可得出关于 x 的不等式组，求出 x 的取值范
围即可．
【解答】解：∵y＝﹣2x+3，且﹣3≤y≤3，
∴﹣3≤﹣2x+3≤3，
即 ，
解得 0≤x≤3．
18．解不等式：
（1）3（x﹣1）＞2x+2
（2） ≤1
【分析】（1）去括号，移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解集．
（2）去分母，去括号，移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解集．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣3＞2x+2，
移项合并得：x＞5；
（2）去分母得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
去括号得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
移项合并得：﹣5x≤10，
解得：x≥﹣2．
19．解不等式 ﹣ ≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先去分母、去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为 1 即可．
【解答】解：去分母，得 3（x+2）﹣（4x﹣1）≥6，
去括号，得 3x+6﹣4x+1≥6，
移项，合并同类项：﹣x≥﹣1，
系数化为 1：x≤1，
把解集表示在数轴上：
20．（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得 3×4+y＝14，
解得 y＝2，
把 y＝2 代入①，得 x＝2，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组 的解为
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x+y＞ ，请
直接写出满足条件的 m 的所有正整数值 1，2 ．
【分析】（1）由第一个方程求出 x﹣y 的值，代入第二个方程求出 y 的值，进而求出 x
的值，即可确定出方程组的解．
（2）由第一个方程求出 2x﹣3y 的值，代入第二个方程求出 y 的值，进而求出 x 的值，
即可确定出方程组的解．
（3）方程组两方程相加表示出 x+y，代入已知不等式求出 m 的范围，确定出正整数值即
可．
【解答】解：（1）由①得：x﹣y＝1③，
将③代入②得：4﹣y＝5，即 y＝﹣1，
将 y＝﹣1 代入③得：x＝0，
则方程组的解为 ．
故答案为 ．
（2）由①得：2x﹣3y＝2③，
将③代入②得：1+2y＝9，即 y＝4，
将 y＝4 代入③得：2x﹣12＝2，
解得 x＝7，
则方程组的解为 ．
（3） ，
①+②得：3（x+y）＝﹣3m+6，即 x+y＝﹣m+2，
代入不等式得：﹣m+2＞﹣ ，
解得：m＜ ，
则满足条件 m 的正整数值为 1，2．
故答案为 1，2．
21．某学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每
个足球的价格相同），购买 1 个足球和 2 个篮球共需 270 元；购买 2 个足球和 3 个篮球共
需 464 元．
（1）问足球和篮球的单价各是多少元？
（2）若购买足球和篮球共 20 个，且购买篮球的个数不超过足球个数的 2 倍，购买球的
总费用不超过 1910 元，问该学校有哪几种不同的购买方案？哪种方案最省钱？
【分析】（1）设足球的单价为 x 元/个，篮球的单价为 y 元/个，根据“购买 1 个足球和
2 个篮球共需 270 元；购买 2 个足球和 3 个篮球共需 464 元”，即可得出关于 x，y 的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买篮球 m 个，则购买足球（20﹣m）个，根据购买篮球的个数不超过足球个数
的 2 倍及购买球的总费用不超过 1910 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即
可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数即可得出各购买方案，求出各方案所需费用，
比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球的单价为 x 元/个，篮球的单价为 y 元/个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：足球的单价为 118 元/个，篮球的单价为 76 元/个．
（2）设购买篮球 m 个，则购买足球（20﹣m）个，
依题意，得： ，
解得：10 ≤m≤13 ．
∵m 为正整数，
∴m＝11，12，13．
故有 3 种购买方案：
方案一：购买篮球 11 个，足球 9 个，费用为 76×11+118×9＝1898（元）；
方案二：购买篮球 12 个，足球 8 个，费用为 76×12+118×8＝1856（元）；
方案三：购买篮球 13 个，足球 7 个，费用为 76×13+118×7＝1814（元）．
∵1898＞1856＞1814，
∴购买方案三最省钱．
22．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”
较严重的燃油公交车，计划购买 A 型和 B 型新能源公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1
辆，B 型公交车 2 辆，共需 300 万元；若购买 A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共需
270 万元，
（1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 80 万人次和 100 万人
次．若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1000 万元，且确保这 10 辆公交车
在该线路的年均载客量总和不少于 900 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车
方案总费用最少？最少总费用是多少？
【分析】（1）设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y 万元，根据“A
型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 300 万元；A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共
需 270 万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车（10﹣a）辆，由“购买 A 型和 B 型公交车
的总费用不超过 1000 万元”和“10 辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 900 万
人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
【解答】解：（1）设购买 A 型新能源公交车每辆需 x 万元，购买 B 型新能源公交车每辆
需 y 万元，
由题意得： ，
解得 ，
答：购买 A 型新能源公交车每辆需 80 万元，购买 B 型新能源公交车每辆需 110 万元．
（2）设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车（10﹣a）辆，
由题意得 ，
解得： ，
因为 a 是整数，
所以 a＝4，5；
则共有两种购买方案：
①购买 A 型公交车 4 辆，则 B 型公交车 6 辆：80×4+110×6＝980 万元；
②购买 A 型公交车 5 辆，则 B 型公交车 5 辆：80×5+110×5＝950 万元；
购买 A 型公交车 5 辆，则 B 型公交车 5 辆费用最少，最少总费用为 950 万元．
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