2015年武威市中考数学试卷及答案

武威市 2015 年初中毕业、高中招生考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分． 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分． 11． 2( 1)xy x 12． x ＝2 13． x ≥－1 且 0x  14． x ＞－1 15．75° 16．k≥ 6 17． π 18．45，63 (第 1 空 1 分，第 2 空 2 分) 三、解答题（一）：本大题共 5 小题，共 26 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或 演算步骤． 19．（4 分） 解：原式＝1 2 1 3 3    3 分 ＝ 2 3 1   4 分 20．（4 分） 解：原式＝ 2( 1) 1 3( )( 1)( 1) 1 1 x x x x x x       ＝ 2( 1) 1 ( 1)( 1) 2 x x x x x     2 分 ＝ 1 2 x x   3 分 当 10 , .2x  时 原式 4 分 21．（6 分） 解：（1）如图所示，则⊙P 为所求作的圆． （注：作图 2 分，答语 1 分） 3 分 （2）∵ ∠B＝60°，BP 平分∠ABC ， ∴ ∠ABP＝30°， 4 分 ∵ tan∠ABP＝ AP AB , ∴ AP＝ 3 ， 5 分 ∴ S⊙P＝3π ． 6 分 22．（6 分） 解：（1）∵ ∠CGD＝42°，∠C＝90°， ∴ ∠CDG＝90°－ 42°＝48°， ∵ DG ∥ EF ， ∴ CEF CDG    48°； 3 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A D B D D C A B A B （2）∵ 点 H , B 的读数分别为 4，13.4， ∴ 13.4 4 9.4HB    ， 4 分 ∴ cos42 9.4 0.74 6.96(m)BC HB     5 分 答：BC 的长为 6.96m． 6 分 23．（6 分） 解：（1）画树状图： 列表： 第一次 第二次 x2+1 - x 2-2 3 x2+1 2 2 2 1 x x    2 3 1x  - x 2-2 2 2 1 2 x x    2 3 2x  3 2 1 3 x  2 2 3 x  4 分 （2）代数式 A B 所有可能的结果共有 6 种，其中代数式 A B 是分式的有 4 种： 2 2 1 2 x x    ， 2 2 2 1 x x    ， 2 3 1x  ， 2 3 2x  ， 所以 P ( 是分式) 4 2 6 3   ． 6 分 四、解答题（二）：本大题共 5 小题，共 40 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或 演算步骤．（注：解法合理、答案正确均可得分） 24．（7 分） 解：（1） 5 2 分 （2）10%， 40 （每空 1 分） 4 分 （3）设参加训练之前的人均进球数为 x 个， 则 x (1＋25%)＝5，解得 x ＝4， 6 分 即参加训练之前的人均进球数是 4 个． 7 分 25．（7 分） （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ CF∥ED， ∴ ∠FCG＝∠EDG， ∵ G 是 CD 的中点， ∴ CG＝DG， 在△FCG 和△EDG 中， 开 始 2 2 1 2 x x    2 1 3 x  2 2 2 1 x x    2 2 3 x  2 3 1x  2 3 2x  x2+1 - x 2-2 3 - x 2-2 3 x2+1 3 x2+1 - x 2-2 第一次 第二次 A B FCG EDG CG DG CGF DGE         ∴ △FCG ≌△EDG（ASA） 2 分 ∴ FG＝EG， ∵ CG＝DG， ∴ 四边形 CEDF 是平行四边形； 3 分 （2）① 解：当 AE＝3.5cm 时，四边形 CEDF 是矩形. 5 分 ② 当 AE＝2cm 时，四边形 CEDF 是菱形. 7 分 26．（8 分） 解：（1）过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F， ∵ 点 D 的坐标为（4，3）， ∴ OF＝4，DF＝3， ∴ OD＝5， ∴ AD＝5， 2 分 ∴ 点 A 坐标为（4，8）， 3 分 ∴ k ＝ xy =4×8=32， ∴ k ＝32； 4 分 （2）将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 32y x  （ x ＞0）的图象 D 点 处，过点 D 做 x 轴的垂线，垂足为 F． ∵ DF＝3， ∴ 3,D F   ∴ 点 D 的纵坐标为 3， 5 分 ∵ 点 D 在 32y x  的图象上 ∴ 3 ＝ 32 x ，解得 x ＝ 32 3 ， 6 分 即 32 32 20, 4 ,3 3 3FOF F       ∴ 菱形 ABCD 平移的距离为 20 3 ． 8 分 27．（8 分） 解：（1）∠BAE＝90° 2 分 ∠CAE＝∠B 4 分 （2）EF 是⊙O 的切线． 5 分 证明：作直径 AM，连接 CM， 则 ∠ACM＝90°，∠M＝∠B， 6 分 ∴ ∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°， ∵ ∠CAE＝∠B， ∴ ∠CAM＋∠CAE＝90°， 7 分 ∴ AE⊥AM， ∵ AM 为直径， ∴ EF 是⊙O 的切线． 8 分 28．（10 分） 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 ( 1)( 5)y a x x   ， E C A F O M B 把点 A（0，4）代入上式，解得 4 5a = ， 1 分 ∴ 2 24 4 24 4 16( 1)( 5) 4 ( 3)5 5 5 5 5y x x x x x         2 分 ∴ 抛物线的对称轴是 3x = ； 3 分 （2）存在；P 点坐标为（3， 8 5 ）． 如图，连接 AC 交对称轴于点 P，连接 BP,AB, ∵ 点 B 与点 C 关于对称轴对称，∴PB=PC， ∴ AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC， ∴ 此时△PAB 的周长最小． 5 分 设直线 AC 的解析式为 y kx b= + ， 把 A（0，4），C（5，0）代入 y kx b= + ， 得 4 5 0 b k b     ， 解得 4 5 4 k b      ， ∴ 4 45y x   ， ∵ 点 P 的横坐标为 3， ∴ 4 83 45 5y      ， ∴ P（3， 8 5 ）． 6 分 （3）在直线 AC 下方的抛物线上存在点 N，使△NAC 面积最大． 如图，设 N 点的横坐标为 t， 此时点 N（ 24 24 45 5t t t ， ）（0＜ t ＜5）， 7 分 过点 N 作 y 轴的平行线，分别交 x 轴、AC 于点 F、G，过点 A 作 AD⊥NG，垂足为 D， 由（2）可知直线 AC 的解析式为 4 45y x   ， 把 x t= 代入 4 45y x   得 4 45y t   ， 则 G（t， 4 45 t  ）， 此时，NG＝ 2 24 4 24 44 ( 4) 45 5 5 5t t t t t        8 分 ∵ AD＋CF＝OC＝5， ∴ S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝ 1 2 NG﹒AD＋ 1 2 NG﹒CF＝ 1 2 NG﹒OC = 2 2 21 4 5 25( 4 ) 5 2 10 2( )2 5 2 2t t t t t           ∴ 当 5 2t = 时，△NAC 面积的最大值为 25 2 ， 9 分 由 5 2t = ，得 24 24 4 35 5y t t     ， ∴ N（ 5 2 ， 3 ） 10 分