2016金华市中考数学试卷解析版

2016 年浙江省金华市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．实数﹣ 的绝对值是（ ） A．2 B． C．﹣ D．﹣ 2．若实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ） A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b 互为倒数 3．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ） A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01 4．从一个边长为 3cm 的大立方体挖去一个边长为 1cm 的小立方体，得到的几何体如图所示，则该 几何体的左视图正确的是（ ） A． B． C． D． 5．一元二次方程 x2﹣3x﹣2=0 的两根为 x1，x2，则下列结论正确的是（ ） A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2 6．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是（ ） A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD 7．小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人 同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A． B． C． D． 8．一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为θ．现要在楼梯 上铺一条地毯，已知 CA=4 米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要（ ） A． 米 2 B． 米 2 C．（4+ ）米 2 D．（4+4tanθ）米 2 9．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门 AB 的张角大小时，张角越大，射门越好．如图 的正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，球员带球沿 CD 方向进攻，最好的射点在（ ） A．点 C B．点 D 或点 E C．线段 DE（异于端点） 上一点 D．线段 CD（异于端点） 上一点 10．在四边形 ABCD 中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH 垂直平分 AC，点 H 为垂足．设 AB=x， AD=y，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．不等式 3x+1＜﹣2 的解集是 ． 12．能够说明“ =x 不成立”的 x 的值是 （写出一个即可）． 13．为监测某河道水质，进行了 6 次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这 6 次水 质检测氨氮含量平均数为 1.5mg/L，则第 3 次检测得到的氨氮含量是 mg/L． 14．如图，已知 AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED 的度数是 ． 15．如图，Rt△ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕△ABD 折 叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E．若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是 ． 16．由 6 根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架 ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度 为 AB=DE=1 米，BC=CD=EF=FA=2 米．（铰接点长度忽略不计） （1）转动钢管得到三角形钢架，如图 1，则点 A，E 之间的距离是 米． （2）转动钢管得到如图 2 所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点 使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 米． 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程） 17．计算： ﹣（﹣1）2016﹣3tan60°+（﹣2016）0． 18．解方程组 ． 19．某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了 训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息， 解答下列问题： （1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图． （2）若学校有 600 名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数． 20．如图 1 表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数． （1）设北京时间为 x（时），首尔时间为 y（时），就 0≤x≤12，求 y 关于 x 的函数表达式，并填写 下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 7：30 2：50 首尔时间 12：15 （2）如图 2 表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦 （夏时制）时间为 7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？ 21．如图，直线 y= x﹣ 与 x，y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数 y= （k＞0）图象交于点 C， D，过点 A 作 x 轴的垂线交该反比例函数图象于点 E． （1）求点 A 的坐标． （2）若 AE=AC． ①求 k 的值． ②试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称？并说明理由． 22．四边形 ABCD 的对角线交于点 E，有 AE=EC，BE=ED，以 AB 为直径的半圆过点 E，圆心为 O． （1）利用图 1，求证：四边形 ABCD 是菱形． （2）如图 2，若 CD 的延长线与半圆相切于点 F，已知直径 AB=8． ①连结 OE，求△OBE 的面积． ②求弧 AE 的长． 23．在平面直角坐标系中，点 O 为原点，平行于 x 轴的直线与抛物线 L：y=ax2 相交于 A，B 两点（点 B 在第一象限），点 D 在 AB 的延长线上． （1）已知 a=1，点 B 的纵坐标为 2． ①如图 1，向右平移抛物线 L 使该抛物线过点 B，与 AB 的延长线交于点 C，求 AC 的长． ②如图 2，若 BD= AB，过点 B，D 的抛物线 L2，其顶点 M 在 x 轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）如图 3，若 BD=AB，过 O，B，D 三点的抛物线 L3，顶点为 P，对应函数的二次项系数为 a3， 过点 P 作 PE∥x 轴，交抛物线 L 于 E，F 两点，求 的值，并直接写出 的值． 24．在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（﹣6，0）．如图 1，正方形 OBCD 的顶点 B 在 x 轴的负半轴上，点 C 在第二象限．现将正方形 OBCD 绕点 O 顺时针旋转角α得到正方形 OEFG． （1）如图 2，若α=60°，OE=OA，求直线 EF 的函数表达式． （2）若α为锐角，tanα= ，当 AE 取得最小值时，求正方形 OEFG 的面积． （3）当正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴上时，直线 AE 与直线 FG 相交于点 P，△OEP 的其中两边 之比能否为 ：1？若能，求点 P 的坐标；若不能，试说明理由 2016 年浙江省金华市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．实数﹣ 的绝对值是（ ） A．2 B． C．﹣ D．﹣ 【考点】实数的性质． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【解答】解：﹣ 的绝对值是 ． 故选：B． 【点评】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数． 2．若实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ） A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b 互为倒数 【考点】实数与数轴． 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【解答】解：A、a＜0，故 A 正确； B、ab＜0，故 B 正确； C、a＜b，故 C 正确； D、乘积为 1 的两个数互为倒数，故 D 错误； 故选：D． 【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． 3．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ） A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01 【考点】正数和负数． 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【解答】解：∵45+0.03=45.03，45﹣0.04=44.96， ∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤5.03． ∵44.9 不在该范围之内， ∴不合格的是 B． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题 的关键． 4．从一个边长为 3cm 的大立方体挖去一个边长为 1cm 的小立方体，得到的几何体如图所示，则该 几何体的左视图正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图． 【分析】直接利用左视图的观察角度，进而得出视图． 【解答】解：如图所示：∵从一个边长为 3cm 的大立方体挖去一个边长为 1cm 的小立方体， ∴该几何体的左视图为： ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键． 5．一元二次方程 x2﹣3x﹣2=0 的两根为 x1，x2，则下列结论正确的是（ ） A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣ =3，x1•x2= =﹣2”，再结合四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵方程 x2﹣3x﹣2=0 的两根为 x1，x2， ∴x1+x2=﹣ =3，x1•x2= =﹣2， ∴C 选项正确． 故选 C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出 x1+x2=3，x1•x2=﹣2．本题属于基础题， 难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键． 6．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是（ ） A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案． 【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA， A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故 A 错误； B、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（ASA），故 B 正确； C、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（AAS），故 C 正确； D、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（SAS），故 D 正确； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、 AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人 同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数，即 可求出所求的概率； 【解答】解：解：可能出现的结果 小明 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 小华 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生 由上表可知，可能的结果共有 4 种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结 果有 1 种， 则所求概率 P1= ， 故选：A． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为θ．现要在楼梯 上铺一条地毯，已知 CA=4 米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要（ ） A． 米 2 B． 米 2 C．（4+ ）米 2 D．（4+4tanθ）米 2 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】由三角函数表示出 BC，得出 AC+BC 的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米）， ∴AC+BC=4+4tanθ（米）， ∴地毯的面积至少需要 1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米 2）； 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出 BC 是解决问题的 关键． 9．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门 AB 的张角大小时，张角越大，射门越好．如图 的正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，球员带球沿 CD 方向进攻，最好的射点在（ ） A．点 C B．点 D 或点 E C．线段 DE（异于端点） 上一点 D．线段 CD（异于端点） 上一点 【考点】角的大小比较． 【专题】网格型． 【分析】连接 BC，AC，BD，AD，AE，BE，再比较∠ACB，∠ADB，∠AEB 的大小即可． 【解答】解：连接 BC，AC，BD，AD，AE，BE， 通过测量可知∠ACB＜∠ADB＜∠AEB，所以射门的点越靠近线段 DE，角越大，故最好选择 DE（异 于端点） 上一点， 故选 C． 【点评】本题考查了比较角的大小，一般情况下比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器 量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及 一边重合，观察另一边的位置． 10．在四边形 ABCD 中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH 垂直平分 AC，点 H 为垂足．设 AB=x， AD=y，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；函数的图象；线段垂直平分线的性质． 【分析】由△DAH∽△CAB，得 = ，求出 y 与 x 关系，再确定 x 的取值范围即可解决问题． 【解答】解：∵DH 垂直平分 AC， ∴DA=DC，AH=HC=2， ∴∠DAC=∠DCH， ∵CD∥AB， ∴∠DCA=∠BAC， ∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°， ∴△DAH∽△CAB， ∴ = ， ∴ = ， ∴y= ， ∵AB＜AC， ∴x＜4， ∴图象是 D． 故选 D． 【点评】本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关 键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．不等式 3x+1＜﹣2 的解集是 x＜﹣1 ． 【考点】解一元一次不等式． 【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去 1 再除以 3，不等号的方向不变．得到不 等式的解集为：x＜﹣1． 【解答】解：解不等式 3x+1＜﹣2，得 3x＜﹣3，解得 x＜﹣1． 【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这 一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向 不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或 除以同一个负数不等号的方向改变． 12．能够说明“ =x 不成立”的 x 的值是 ﹣1 （写出一个即可）． 【考点】算术平方根． 【专题】计算题；实数． 【分析】举一个反例，例如 x=﹣1，说明原式不成立即可． 【解答】解：能够说明“ =x 不成立”的 x 的值是﹣1， 故答案为：﹣1 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 13．为监测某河道水质，进行了 6 次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这 6 次水 质检测氨氮含量平均数为 1.5mg/L，则第 3 次检测得到的氨氮含量是 1 mg/L． 【考点】算术平均数；折线统计图． 【专题】统计与概率． 【分析】根据题意可以求得这 6 次总的含量，由折线统计图可以得到除第 3 次的含量，从而可以得 到第 3 次检测得到的氨氮含量． 【解答】解：由题意可得， 第 3 次检测得到的氨氮含量是：1.5×6﹣（1.6+2+1.5+1.4+1.5）=9﹣8=1mg/L， 故答案为：1． 【点评】本题考查算术平均数、折线统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 14．如图，已知 AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED 的度数是 80° ． 【考点】平行线的性质． 【分析】延长 DE 交 AB 于 F，根据平行线的性质得到∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，根据三角形的 外角的性质即可得到结论． 【解答】解：延长 DE 交 AB 于 F， ∵AB∥CD，BC∥DE， ∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°， ∴∠AFE=∠B=60°， ∴∠AED=∠A+∠AFE=80°， 故答案为：80°． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 15．如图，Rt△ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕△ABD 折 叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E．若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是 2 或 5 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】先依据勾股定理求得 AB 的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为 ∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设 DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于 x 的方 程求解即可． 【解答】解：∵Rt△ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10， ∵以 AD 为折痕△ABD 折叠得到△AB′D， ∴BD=DB′，AB′=AB=10． 如图 1 所示：当∠B′DE=90°时，过点 B′作 B′F⊥AF，垂足为 F． 设 BD=DB′=x，则 AF=6+x，FB′=8﹣x． 在 Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102． 解得：x1=2，x2=0（舍去）． ∴BD=2． 如图 2 所示：当∠B′ED=90°时，C 与点 E 重合． ∵AB′=10，AC=6， ∴B′E=4． 设 BD=DB′=x，则 CD=8﹣x． 在 Rt△′BDE 中，DB′2=DE2+B′E2，即 x2=（8﹣x）2+42． 解得：x=5． ∴BD=5． 综上所述，BD 的长为 2 或 5． 故答案为：2 或 5． 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于 x 的方程是解题 的关键． 16．由 6 根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架 ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度 为 AB=DE=1 米，BC=CD=EF=FA=2 米．（铰接点长度忽略不计） （1）转动钢管得到三角形钢架，如图 1，则点 A，E 之间的距离是 米． （2）转动钢管得到如图 2 所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点 使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 3 米． 【考点】三角形的稳定性． 【分析】（1）只要证明 AE∥BD，得 = ，列出方程即可解决问题． （2）分别求出六边形的对角线并且比较大小，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1 中，∵FB=DF，FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D， ∴∠FAE=∠B， ∴AE∥BD， ∴ = ， ∴ = ， ∴AE= ， 故答案为 ． （2）如图中，作 BN⊥FA 于 N，延长 AB、DC 交于点 M，连接 BD、AD、BF、CF． 在 RT△BFN 中，∵∠BNF=90°，BN= ，FN=AN+AF= +2= ， ∴BF= = ，同理得到 AC=DF= ， ∵∠ABC=∠BCD=120°， ∴∠MBC=∠MCB=60°， ∴∠M=60°， ∴CM=BC=BM， ∵∠M+∠MAF=180°， ∴AF∥DM，∵AF=CM， ∴四边形 AMCF 是平行四边形， ∴CF=AM=3， ∵∠BCD=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB， ∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°， ∴∠MBD=90°， ∴BD= =2 ，同理 BE=2 ， ∵ ＜3＜2 ， ∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动， ∴连接 AC、BF、DF 即可， ∴所用三根钢条总长度的最小值 3 ， 故答案为 3 ． 【点评】本题考查三角形的稳定性、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理．等边三 角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形，属于中考常 考题型． 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程） 17．计算： ﹣（﹣1）2016﹣3tan60°+（﹣2016）0． 【考点】实数的运算． 【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简求出答案． 【解答】解：原式=3 ﹣1﹣3× +1=0． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18．解方程组 ． 【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解： ， 由①﹣②，得 y=3， 把 y=3 代入②，得 x+3=2， 解得：x=﹣1． 则原方程组的解是 ． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消 元法． 19．某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了 训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息， 解答下列问题： （1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图． （2）若学校有 600 名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数． 【考点】条形统计图． 【分析】（1）将训练前各等级人数相加得总人数，将总人数减去训练后 B、C 两个等级人数可得训 练后 A 等级人数； （2）将训练后 A 等级人数占总人数比例乘以总人数可得． 【解答】解：（1）∵抽取的人数为 21+7+2=30， ∴训练后“A”等次的人数为 30﹣2﹣8=20． 补全统计图如图： （2）600× =400（人）． 答：估计该校九年级训练后成绩为“A”等次的人数是 400． 【点评】本题主要考查条形统计图，根据统计图读出训练前后各等级的人数及总人数间的关系是解 题的关键，也考查了样本估计总体． 20．如图 1 表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数． （1）设北京时间为 x（时），首尔时间为 y（时），就 0≤x≤12，求 y 关于 x 的函数表达式，并填写 下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 7：30 11：15 2：50 首尔时间 8：30 12：15 3：50 （2）如图 2 表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦 （夏时制）时间为 7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？ 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据图 1 得到 y 关于 x 的函数表达式，根据表达式填表； （2）根据如图 2 表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间得到伦敦（夏时制）时间与北 京时间的关系，结合（1）解答即可． 【解答】解：（1）从图 1 看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多 1 小时， 故 y 关于 x 的函数表达式是 y=x+1． 北京时间 7：30 11：15 2：50 首尔时间 8：30 12：15 3：50 （2）从图 2 看出，设伦敦（夏时制）时间为 t 时，则北京时间为（t+7）时， 由第（1）题，韩国首尔时间为（t+8）时， 所以，当伦敦（夏时制）时间为 7：30，韩国首尔时间为 15：30． 【点评】本题考查的是一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 21．如图，直线 y= x﹣ 与 x，y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数 y= （k＞0）图象交于点 C， D，过点 A 作 x 轴的垂线交该反比例函数图象于点 E． （1）求点 A 的坐标． （2）若 AE=AC． ①求 k 的值． ②试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称？并说明理由． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）令一次函数中 y=0，解关于 x 的一元一次方程，即可得出结论； （2）①过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F，设 AE=AC=t，由此表示出点 E 的坐标，利用特殊角的三角形函 数值，通过计算可得出点 C 的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于 t 的一元二 次方程，解方程即可得出结论； ②根据点在直线上设出点 D 的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于点 D 横坐标 的一元二次方程，解方程即可得出点 D 的坐标，结合①中点 E 的坐标即可得出结论． 【解答】解：（1）当 y=0 时，得 0= x﹣ ，解得：x=3． ∴点 A 的坐标为（3，0）．： （2）①过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F，如图所示． 设 AE=AC=t，点 E 的坐标是（3，t）， 在 Rt△AOB 中，tan∠OAB= = ， ∴∠OAB=30°． 在 Rt△ACF 中，∠CAF=30°， ∴CF= t，AF=AC•cos30°= t， ∴点 C 的坐标是（3+ t， t）． ∴（3+ t）× t=3t， 解得：t1=0（舍去），t2=2 ． ∴k=3t=6 ． ②点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称，理由如下： 设点 D 的坐标是（x， x﹣ ）， ∴x（ x﹣ ）=6 ，解得：x1=6，x2=﹣3， ∴点 D 的坐标是（﹣3，﹣2 ）． 又∵点 E 的坐标为（3，2 ）， ∴点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解一元二次方程以及反比例函数图象上点 的坐标特征，解题的关键是：（1）令一次函数中 y=0 求出 x 的值；（2）根据反比例函数图象上点 的坐标特征得出一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数 图象上点的坐标特征找出关于点的横坐标的一元二次方程是关键． 22．四边形 ABCD 的对角线交于点 E，有 AE=EC，BE=ED，以 AB 为直径的半圆过点 E，圆心为 O． （1）利用图 1，求证：四边形 ABCD 是菱形． （2）如图 2，若 CD 的延长线与半圆相切于点 F，已知直径 AB=8． ①连结 OE，求△OBE 的面积． ②求弧 AE 的长． 【考点】菱形的判定与性质；切线的性质． 【分析】（1）先由 AE=EC、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行 四边形为菱形； （2）①连结 OF，由切线可得 OF 为△ABD 的高且 OF=4，从而可得 S△ABD，由 OE 为△ABD 的中 位线可得 S△OBE= S△ABD； ②作 DH⊥AB 于点 H，结合①可知四边形 OHDF 为矩形，即 DH=OF=4，根据 sin∠DAB= = 知 ∠EOB=∠DAH=30°，即∠AOE=150°，根据弧长公式可得答案 【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵AB 为直径，且过点 E， ∴∠AEB=90°，即 AC⊥BD． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是菱形． （2）①连结 OF． ∵CD 的延长线与半圆相切于点 F， ∴OF⊥CF． ∵FC∥AB， ∴OF 即为△ABD 中 AB 边上的高． ∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16， ∵点 O 是 AB 中点，点 E 是 BD 的中点， ∴S△OBE= S△ABD=4． ②过点 D 作 DH⊥AB 于点 H． ∵AB∥CD，OF⊥CF， ∴FO⊥AB， ∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°． ∴四边形 OHDF 为矩形，即 DH=OF=4． ∵在 Rt△DAH 中，sin∠DAB= = ， ∴∠DAH=30°． ∵点 O，E 分别为 AB，BD 中点， ∴OE∥AD， ∴∠EOB=∠DAH=30°． ∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°． ∴弧 AE 的长= = ． 【点评】本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结 合题意加以灵活运用是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，点 O 为原点，平行于 x 轴的直线与抛物线 L：y=ax2 相交于 A，B 两点（点 B 在第一象限），点 D 在 AB 的延长线上． （1）已知 a=1，点 B 的纵坐标为 2． ①如图 1，向右平移抛物线 L 使该抛物线过点 B，与 AB 的延长线交于点 C，求 AC 的长． ②如图 2，若 BD= AB，过点 B，D 的抛物线 L2，其顶点 M 在 x 轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）如图 3，若 BD=AB，过 O，B，D 三点的抛物线 L3，顶点为 P，对应函数的二次项系数为 a3， 过点 P 作 PE∥x 轴，交抛物线 L 于 E，F 两点，求 的值，并直接写出 的值． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）①根据函数解析式求出点 A、B 的坐标，求出 AC 的长； ②作抛物线 L2 的对称轴与 AD 相交于点 N，根据抛物线的轴对称性求出 OM，利用待定系数法求出 抛物线的函数表达式； （2）过点 B 作 BK⊥x 轴于点 K，设 OK=t，得到 OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式， 根据抛物线过点 B（t，at2），求出 的值，根据抛物线上点的坐标特征求出 的值． 【解答】解：（1）①二次函数 y=x2，当 y=2 时，2=x2， 解得 x1= ，x2=﹣ ， ∴AB=2 ． ∵平移得到的抛物线 L1 经过点 B， ∴BC=AB=2 ， ∴AC=4 ． ②作抛物线 L2 的对称轴与 AD 相交于点 N，如图 2， 根据抛物线的轴对称性，得 BN= DB= ， ∴OM= ． 设抛物线 L2 的函数表达式为 y=a（x﹣ ）2， 由①得，B 点的坐标为（ ，2）， ∴2=a（ ﹣ ）2， 解得 a=4． 抛物线 L2 的函数表达式为 y=4（x﹣ ）2； （2）如图 3，抛物线 L3 与 x 轴交于点 G，其对称轴与 x 轴交于点 Q， 过点 B 作 BK⊥x 轴于点 K， 设 OK=t，则 AB=BD=2t，点 B 的坐标为（t，at2）， 根据抛物线的轴对称性，得 OQ=2t，OG=2OQ=4t． 设抛物线 L3 的函数表达式为 y=a3x（x﹣4t）， ∵该抛物线过点 B（t，at2）， ∴at2=a3t（t﹣4t）， ∵t≠0， ∴ =﹣ ， 由题意得，点 P 的坐标为（2t，﹣4a3t2）， 则﹣4a3t2=ax2， 解得，x1=﹣ t，x2= t， EF= t， ∴ = ． 【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，灵活运用待定系数法求 出函数解析式、掌握抛物线的对称性、正确理解抛物线上点的坐标特征是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（﹣6，0）．如图 1，正方形 OBCD 的顶点 B 在 x 轴的负半轴上，点 C 在第二象限．现将正方形 OBCD 绕点 O 顺时针旋转角α得到正方形 OEFG． （1）如图 2，若α=60°，OE=OA，求直线 EF 的函数表达式． （2）若α为锐角，tanα= ，当 AE 取得最小值时，求正方形 OEFG 的面积． （3）当正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴上时，直线 AE 与直线 FG 相交于点 P，△OEP 的其中两边 之比能否为 ：1？若能，求点 P 的坐标；若不能，试说明理由 【考点】正方形的性质；待定系数法求一次函数解析式． 【分析】（1）先判断出△AEO 为正三角形，再根据锐角三角函数求出 OM 即可； （2）判断出当 AE⊥OQ 时，线段 AE 的长最小，用勾股定理计算即可； （3）由△OEP 的其中两边之比为 ：1 分三种情况进行计算即可． 【解答】解：（1）如图 1， 过点 E 作 EH⊥OA 于点 H，EF 与 y 轴的交点为 M． ∵OE=OA，α=60°， ∴△AEO 为正三角形， ∴OH=3，EH= =3 ． ∴E（﹣3，3 ）． ∵∠AOM=90°， ∴∠EOM=30°． 在 Rt△EOM 中， ∵cos∠EOM= ， 即 = ， ∴OM=4 ． ∴M（0，4 ）． 设直线 EF 的函数表达式为 y=kx+4 ， ∵该直线过点 E（﹣3，3 ）， ∴﹣3k+4 =3 ， 解得 k= ， 所以，直线 EF 的函数表达式为 y= x+4 ． （2）如图 2， 射线 OQ 与 OA 的夹角为α（ α为锐角，tanα ）． 无论正方形边长为多少，绕点 O 旋转角α后得到正方 形 OEFG 的顶点 E 在射线 OQ 上， ∴当 AE⊥OQ 时，线段 AE 的长最小． 在 Rt△AOE 中，设 AE=a，则 OE=2a， ∴a2+（2a）2=62，解得 a1= ，a2=﹣ （舍去）， ∴OE=2a= ，∴S 正方形 OEFG=OE2= ． （3）设正方形边长为 m． 当点 F 落在 y 轴正半轴时． 如图 3， 当 P 与 F 重合时，△PEO 是等腰直角三角形，有 = 或 = ． 在 Rt△AOP 中，∠APO=45°，OP=OA=6， ∴点 P1 的坐标为（0，6）． 在图 3 的基础上， 当减小正方形边长时， 点 P 在边 FG 上，△OEP 的其中两边之比不可能为 ：1； 当增加正方形边长时，存在 = （图 4）和 = （图 5）两种情况． 如图 4， △EFP 是等腰直角三角形， 有 = ， 即 = ， 此时有 AP∥OF． 在 Rt△AOE 中，∠AOE=45°， ∴OE= OA=6 ， ∴PE= OE=12，PA=PE+AE=18， ∴点 P2 的坐标为（﹣6，18）． 如图 5， 过 P 作 PR⊥x 轴于点 R，延长 PG 交 x 轴于点 H．设 PF=n． 在 Rt△POG 中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2， 在 Rt△PEF 中，PE2=PF2+EF2=m2+n2， 当 = 时， ∴PO2=2PE2． ∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得 n=2m． ∵EO∥PH， ∴△AOE∽△AHP， ∴ = ， ∴AH=4OA=24， 即 OH=18， ∴m=9 ． 在等腰 Rt△PRH 中，PR=HR= PH=36， ∴OR=RH﹣OH=18， ∴点 P3 的坐标为（﹣18，36）． 当点 F 落在 y 轴负半轴时， 如图 6， P 与 A 重合时，在 Rt△POG 中，OP= OG， 又∵正方形 OGFE 中，OG=OE， ∴OP= OE． ∴点 P4 的坐标为（﹣6，0）． 在图 6 的基础上，当正方形边长减小时，△OEP 的其中 两边之比不可能为 ：1；当正方形边长增加时，存在 = （图 7）这一种情况． 如图 7，过 P 作 PR⊥x 轴于点 R， 设 PG=n． 在 Rt△OPG 中，PO2=PG2+OG2=n2+m2， 在 Rt△PEF 中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2． 当 = 时， ∴PE2=2PO2． ∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2， ∴n=2m， 由于 NG=OG=m，则 PN=NG=m， ∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴ =1， 即 AN=OA=6． 在等腰 Rt△ONG 中，ON= m， ∴12= m， ∴m=6 ， 在等腰 Rt△PRN 中，RN=PR=6， ∴点 P5 的坐标为（﹣18，6）． 所以，△OEP 的其中两边的比能为 ：1，点 P 的坐标是：P1（0，6），P2（﹣6，18）， P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）． 【点评】此题是正方形的性质题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解本 题的关键是灵活运用勾股定理进行计算．