北师大版数学必修5试题及答案

必修模块 5 试题 石油中学 夏战灵 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 3 页．满分为 150 分。考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷 选择题 共 50 分 一．选择题(本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，每小题给出的 4 个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 已知等差数列 }{ na 中， 12497 ,1,16 aaaa 则 的值是 A . 15 B . 30 C. 31 D. 64 2. 若全集 U=R,集合 M＝ 2 4x x  ，S＝ 3 01 xx x      ，则  UM S ð = A.{ 2}x x   B. { 2 3}x x x  或 C. { 3}x x  D. { 2 3}x x   3. 若 1＋2＋22＋……＋2n>128，nN*，则 n 的最小值为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在 ABC 中， 60B   ， 2b ac ，则 ABC 一定是 A、等腰三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形 5. 若不等式 022  bxax 的解集为    3 1 2 1| xx ，则 a－b 值是 A.－10 B.－14 C. 10 D. 14 6. 在等比数列{an}中， 4S =1， 8S =3，则 20191817 aaaa  的值是 A．14 B．16 C．18 D．20 7．已知 12  yx ，则 yx 42  的最小值为 A．8 B．6 C． 22 D． 23 8. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有白色地面砖的 块数是 A. B. 4 2n  C. 2 4n  D.3 3n  9. 已知变量 yx, 满足       1 2553 034 x yx yx ，目标函数是 yxz  2 ，则有 A． 3,12 minmax  zz B． ,12max z z 无最小值 C． zz ,3min  无最大值 D． z 既无最大值，也无最小值 10．在 R 上定义运算 : (1 )x y x y    ，若不等式 ( ) ( ) 1x a x a    对任意实数x 成立，则 实数 a 的取值范围是 A． 1 1a   B． 0 2a  C． 1 3 2 2a   D． 3 1 2 2a   第Ⅱ卷 非选择题 共 100 分 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的横线上） 11. 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB＝1，BC＝4，则边 BC 上的中线 AD 的长 为 ． 12．b 克糖水中有 a 克糖（b>a>0），若再加入 m 克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不 等式表示为 . 13. 在 数 列  na 中 ， 1 1a  ， 且 对 于 任 意 正 整 数 n ， 都 有 1n na a n   ， 则 100a ＝ ________________. 14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数 表（每行比上一行多一个数）：设 ,i ja （i、j∈N*）是位于 这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数， 如 4,2a ＝8．若 ,i ja ＝2006，则 i、j 的值分别为________ ，__________ 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（本小题满分 12 分）△ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o， 求 AC 的长及△ABC 的面积。 第 1 个 第 2 个 第 3 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………………… 16.（本小题满分 14 分） 已知数列 * 2{log ( 1)},( )na n N  为等差数列，且 .9,3 31  aa （１）求 数列 }{ na 的通项公式；(2)求数列 }{ na 的前 n 项和 nS 。 17．（本小题满分 12 分）如图，货轮在海上以 50 浬/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平角)为 155o 的方向航行．为了确定船位，在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125o．半小时 后，货轮到达 C 点处，观测到灯塔 A 的方位角为 80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简 根号）。 18.（本小题满分 14 分）已知 a∈R,解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1＜0． 19.（本小题满分 14 分）某种汽车购买时费用为 14．4 万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费 共 0.9 万元，汽车的维修费为：第一年 0.2 万元，第二年 0.4 万元，第三年 0.6 万元，……，依等差 B A C 北 北 155o 80 o 125o 数列逐年递增． （Ⅰ）设使用 n 年该车的总费用（包括购车费用）为 f(n)，试写出 f(n)的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）。 20．（本小题满分 14 分）已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 nS ＝ 2 2( 1,2,3 )na n - = ，数列{ }nb 中， 1 1b = ，点 1( , )n nP b b + 在直线 2 0x y- + = 上．（I）求数列{ } { },n na b 的通项 na 和 nb ； (II) 设 n n nc a b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ，并求满足 167nT < 的最大正整数 n ． 必修模块 5 试题答案及评分标准 一．选择题(本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，每小题给出的 4 个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B A B C A C C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的横线上） 11。 3 ；12。 a a m b b m   ；13。 4951；14。63，53。 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．解：在△ABC 中，∠BAD＝150o－60o＝90o， ∴AD＝2sin60o＝ 3 ．………………………………………… 3 分 在△ACD 中，AC2＝( 3 )2＋12－2× 3 ×1×cos150o＝7，…………6 分 ∴AC＝ 7 ． ………………………………………………8 分 ∴AB＝2cos60o＝1． S△ABC＝ 2 1 ×1×3×sin60o＝ 34 3 ． ………………………………12 分 16. 解:（１）设等差数列 )}1({log 2 na 的公差为 d. ……………………… １分 由 1 3 2 2 23, 9 2(log 2 ) log 2 log 8,a a d    得, 解得 d=1. …………………4 分 所以 2log ( 1) 1 ( 1) 1 ,na n n       .12  n na ………………………………7 分 （２） .12  n na 2 1 2 2 (2 1) (2 1) (2 1) (2 2 2 ) n n n n S a a a n                     ………………9 分 2(1 2 ) 1 2 n n  …………………… １2 分 12 2n n   ……………… １4 分 17．在△ABC 中，∠ABC＝155o－125o＝30o，…………1 分 ∠BCA＝180o－155o＋80o＝105o， ………… 3 分 ∠BAC＝180o－30o－105o＝45o， ………… 5 分 BC＝ 1 50 252   ， ………………7 分 由正弦定理，得 0 0sin30 sin 45 AC BC ………………9 分 ∴AC＝ 0 0 sin30 sin 45 BC  = 25 2 2 （浬） ………………………………11 分 答：船与灯塔间的距离为 25 2 2 浬． ………………………………12 分 18.解：（１）当 a＝0 时，不等式的解集为 x＞1； ………………………… 2 分 （２）当 a≠0 时，将原不等式分解因式，得 a(x－ a 1 )(x－1)＜0 ……………… 4 分 ①当 a＜0 时，原不等式等价于(x－ a 1 )(x－1)＞0，不等式的解集为 x＞1 或 x＜ a 1 ；6 分 ②当 0＜a＜1 时，1＜ a 1 ，不等式的解集为 1＜x＜ a 1 ； ……………………………8 分 ③当 a＞1 时， a 1 ＜1，不等式的解集为 a 1 ＜x＜1； …………………………10 分 ④当 a＝1 时,不等式的解为  . ………………………12 分 综上，当 a＝0 时，不等式的解集为（1，+∞）；当 a＜0 时，不等式的解集为（－∞， 1 a ）∪ （1，+∞）；当 0＜a＜1 时，不等式的解集为（1， 1 a ）；当 a>1 时，不等式的解集为（ 1 a ，1）；当 a=1 时，不等式的解集为 。 ……14 分 19.（Ⅰ）依题意 f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n ……………………3 分 nnn 9.02 )1(2.04.14  ……………………5 分 4.141.0 2  nn ……………………7 分 （Ⅱ）设该车的年平均费用为 S 万元，则有 )4.141.0(1)(1 2  nnnnfnS ……………………9 分 B A C 北 北 155o 80 o 125o 14.4 1 2 1.44 110 2 1.2 1 3.4 n n          ……………………………………11分 ……………………………………………　12分 仅当 n n 4.14 10  ，即 n=12 时，等号成立. ………………13 分 故：汽车使用 12 年报废为宜. ………………………………14 分 20.解（1） 1 12 2, 2 2,n n n nS a S a     * 1 2, )n n nS S a n n N  又 － ＝ ，（ ………… 2 分 12 2 , 0, n n n n a a a a     .  * 1 2,( 2, ),n n n a n n N aa      即数列 是等比数列。…………3 分 1 1 1 1 1, 2 2, 2 2 4n n a S a a a a        　　即 ＝ ，　　　　 　 ………………………………………………………… 分 1 1, ) 2 0n n n nP b b b b  点（ 在直线x-y+2=0上， ＋ ＝  1 12, 1 2 1 7n n n nb b b b b n      即数列 是等差数列，又 ＝， 分 （II） (2 1)2 ,n nc n  ＝ 2 3 1 1 2 2 1 2 3 2 5 2 (2 1)2 ,n n n nT a b a b a b n             ＝ ……9 分 2 3 12 1 2 3 2 (2 3)2 (2 1)2n n nT n n           因此： 2 3 11 2 2 2 2 2 2 2 ) (2 1)2n n nT n        ＋( ＋ ＋ ＋ ……10 分 即： 3 4 1 11 2 (2 2 2 (2 1)2n n nT n          ） 1(2 3)2 6 12n nT n     …………………… 分 1 1 1 5 1 6 167, 2 3)2 6 167, (2 3)2 161 4 (2 3)2 (2 4 3 2 160 5 (2 3)2 (2 5 3 2 448 167 4 14 n n n n n n T n n n n n n n                     即：（ 于是 又由于当 时， － ） ＝ ， 当 时， － ） ＝ ， 故满足条件T 的最大正整数 为 …………………… 分