2012年嘉兴市中考数学试卷解析

2012 年浙江省嘉兴市中考数学试卷 一．选择题（共 10 小题） 1．（2012 嘉兴）（﹣2）0 等于（ ） A． 1 B． 2 C． 0 D． ﹣2 考点：零指数幂。 解答：解：（﹣2）0=1． 故选 A． 2．（2012 嘉兴）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：轴对称图形。 解答：解：根据轴对称图形的概念知 B、C、D 都不是轴对称图形，只有 A 是轴对称图形． 故选 A． 3．（2012 嘉兴）南海资源丰富，其面积约为 350 万平方千米，相当于我国的渤海、黄海和 东海总面积的 3 倍．其中 350 万用科学记数法表示为（ ） A． 0.35×108 B． 3.5×107 C． 3.5×106 D． 35×105 考点：科学记数法—表示较大的数。 解答：解：350 万=3 500 000=3.5×106． 故选 C． 4．（2012 嘉兴）如图，AB 是⊙0 的弦，BC 与⊙0 相切于点 B，连接 OA、OB．若∠ABC=70°， 则∠A 等于（ ） A． 15° B． 20° C． 30° D． 70° 考点：切线的性质。 解答：解：∵BC 与⊙0 相切于点 B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC=90°， ∵∠ABC=70°， ∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°， ∵OA=OB， ∴∠A=∠OBA=20°． 故选 B． 5．（2012 嘉兴）若分式 的值为 0，则（ ） A． x=﹣2 B． x=0 C． x=1 或 2 D． x=1 考点：分式的值为零的条件。 解答：解：∵分式 的值为 0， ∴ ，解得 x=1． 故选 D． 6．（2012 嘉兴）如图，A、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧的河岸边选定一点 C，测出 AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则 AB 等于（ ）米． A． asin40° B． acos40° C． atan40° D． 考点：解直角三角形的应用。 解答：解：∵△ABC 中，AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°， ∴AB=atan40°． 故选 C． 7．（2012 嘉兴）已知一个圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 10cm，则这个圆锥的侧面积为 （ ） A． 15πcm2 B． 30πcm2 C． 60πcm2 D． 3 cm2 考点：圆锥的计算。 解答：解：这个圆锥的侧面积=π×3×10=30πcm2， 故选 B． 8．（2012 嘉兴）已知△ABC 中，∠B 是∠A 的 2 倍，∠C 比∠A 大 20°，则∠A 等于（ ） A． 40° B． 60° C． 80° D． 90° 考点：三角形内角和定理。 解答：解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则 x+2x+x+20°=180°，解得 x=40°，即∠A=40°． 故选 A． 9．（2012 嘉兴）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数” 如“947”就是一个“V 数”．若十位上的数字为 2，则从 1，3，4，5 中任选两数，能与 2 组成“V 数”的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：列表法与树状图法。 解答：解：画树状图得： ∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425， 其中是“V 数”的有：423，523，324，524，325，425， ∴从 1，3，4，5 中任选两数，能与 2 组成“V 数”的概率是： = ． 故选 C． 10．（2012 嘉兴）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，动点 P 从点 A 出发，沿折线 A→B→D→C→A 的路径运 动，回到点 A 时运动停止．设点 P 运动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 考点：动点问题的函数图象。 解答：解：设动点 P 按沿折线 A→B→D→C→A 的路径运动， ∵正方形 ABCD 的边长为 a， ∴BD= a， 则当 0≤x＜a 时，y=x， 当 a≤x＜（1+ ）a 时，y= ， 当 a（1+ ）≤x＜a（2+ ）时，y= ， 当 a（2+ ）≤x≤a（2+2 ）时，y=a（2+2 ）﹣x， 结合函数解析式可以得出第 2，3 段函数解析式不同，得出 A 选项一定错误， 根据当 a≤x＜（1+ ）a 时，函数图象被 P 在 BD 中点时，分为对称的两部分，故 B 选项错 误， 再利用第 4 段函数为一次函数得出，故 C 选项一定错误， 故只有 D 符合要求， 故选：D． 二．填空题（共 6 小题） 11．（2012 嘉兴）当 a=2 时，代数式 3a﹣1 的值是 5 ． 考点：代数式求值。 解答：解：将 a=2 直接代入代数式得， 3a﹣1=3×2﹣1=5． 故答案为 5． 12．（2011 怀化）因式分解：a2﹣9= （a+3）（a﹣3） ． 考点：因式分解-运用公式法。 解答：解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）． 13．（2012 嘉兴）在直角△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD=4， 则点 D 到斜边 AB 的距离为 4 ． 考点：角平分线的性质。 解答：解：作 DE⊥AB，则 DE 即为所求， ∵∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D， ∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵CD=4， ∴DE=4． 故答案为：4． 14．（2012 嘉兴）如图是嘉兴市某 6 天内的最高气温折线统计图，则最高气温的众数是 9 ℃． 考点：众数；折线统计图。 解答：解：9℃出现了 2 次，出现次数最多，故众数为 30， 故答案为：9． 15．（2012 嘉兴）如图，在⊙O 中，直径 AB 丄弦 CD 于点 M，AM=18，BM=8，则 CD 的 长为 24 ． 考点：垂径定理；勾股定理。 解答：解：连接 OD， ∵AM=18，BM=8， ∴OD= = =13， ∴OM=13﹣8=5， 在 Rt△ODM 中，DM= = =12， ∵直径 AB 丄弦 CD， ∴AB=2DM=2×12=24． 故答案为：24． 16．（2012 嘉兴）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC．点 D 是 AB 的中点，连接 CD，过点 B 作 BG 丄 CD，分别交 GD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于的直线相交于 点 G，连接 DF．给出以下四个结论： ① ；②点 F 是 GE 的中点；③AF= AB；④S△ABC=S△BDF，其中正确的结论序号 是 ①③ ． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形。 解答：解：∵在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°， ∴AB⊥BC，AG⊥AB， ∴AG∥BC， ∴△AFG∽△CFB， ∴ ， ∵BA=BC， ∴ ， 故①正确； ∵∠ABC=90°，BG⊥CD， ∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°， ∴∠DBE=∠BCD， ∵AB=CB，点 D 是 AB 的中点， ∴BD= AB= CB， ∵tan∠BCD= = ， ∴在 Rt△ABG 中，tan∠DBE= = ， ∵ ， ∴FG= FB， 故②错误； ∵△AFG∽△CFB， ∴AF：CF=AG：BC=1：2， ∴AF= AC， ∵AC= AB， ∴AF= AB， 故③正确； ∵BD= AB，AF= AC， ∴S△ABC=6S△BDF， 故④错误． 故答案为：①③． 三．解答题（共 8 小题） 17．（2012 嘉兴）计算： （1）丨﹣5|+ ﹣32 （2）（x+1）2﹣x（x+2） 考点：整式的混合运算；实数的运算。 解答：解：（1）原式=5+4﹣9=0； （2）原式=x2+2x+1﹣x2﹣2x=1． 18．（2012 嘉兴）解不等式 2（x﹣1）﹣3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来． 考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。 解答：解：去括号得，2x﹣2﹣3＜1， 移项、合并得，2x＜6， 系数化为 1 得，x＜3． 在数轴上表示如下： 19．（2012 嘉兴）如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 AB 至点 E，使 BE=AB， 连接 CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO 的大小． 考点：菱形的性质；平行四边形的判定与性质。 解答：（1）证明：∵菱形 ABCD， ∴AB=CD，AB∥CD， 又∵BE=AB， ∴BE=CD，BE∥CD， ∴四边形 BECD 是平行四边形， ∴BD=EC； （2）解：∵平行四边形 BECD， ∴BD∥CE， ∴∠ABO=∠E=50°， 又∵菱形 ABCD， ∴AC 丄 BD， ∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°． 20．（2012 嘉兴）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气 质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给 出）． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）计算被抽取的天数； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数； （3）请估计该市这一年（365 天）达到优和良的总天数． 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。 解答：解：（1）∵扇形图中空气为良所占比例为 64%，条形图中空气为良的天数为 32 天， ∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）； （2）轻微污染天数是 50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5 天； 表示优的圆心角度数是 360°=57.6°， 如图所示： ； （3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32， ∴一年（365 天）达到优和良的总天数为： ×365=292（天）． 估计该市一年达到优和良的总天数为 292 天． 21．（2012 嘉兴）如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 y2= 的图象相交于点 A（2， 3）和点 B，与 x 轴相交于点 C（8，0）． （1）求这两个函数的解析式； （2）当 x 取何值时，y1＞y2． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 解答：解：（1）把 A（2，3）代入 y2= ，得 m=6． 把 A（2，3）、C（8，0）代入 y1=kx+b， 得 ， ∴这两个函数的解析式为 y1=﹣ x+4，y2= ； （2）由题意得 ， 解得 ， ， 当 x＜0 或 2＜x＜6 时，y1＞y2． 22．（2012 嘉兴）某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为 400 元时， 可全部租出；当每 辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各 项支出共 4800 元．设公司每日租出工辆车时，日收益为 y 元．（日收益=日租金收入一平均 每日各项支出） （1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 1400﹣50x 元（用含 x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 考点：二次函数的应用。 解答：解：（1）∵某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为 400 元时， 可全部租出； 当每 辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆； ∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1400 元， ∴公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50x； 故答案为：1400﹣50x； （2）根据题意得出： y=x（﹣50x+1400）﹣4800， =﹣50x2+1400x﹣4800， =﹣50（x﹣14）2+5000． 当 x=14 时，在范围内，y 有最大值 5000． ∴当日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大值为 5000 元． （3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0． 即：50 （x﹣14）2+5000=0， 解得 x1=24，xz=4， ∵x=24 不合题意，舍去． ∴当日租出 4 辆时，租赁公司日收益不盈也不亏． 23．（2012 嘉兴）将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的 n 倍，得 △AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]． （1）如图①，对△ABC 作变换[60°， ]得△AB′C′，则 S△AB′C′：S△ABC= 3 ；直线 BC 与直线 B′C′所夹的锐角为 60 度； （2）如图②，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'， 使点 B、C、C′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为矩形，求θ和 n 的值； （4）如图③，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′， 使点 B、C、B′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为平行四边形，求θ和 n 的值． 考点：相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法；平行四边形的性质；矩形的性 质；旋转的性质。 解答：解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′， ∴S△AB′C′：S△ABC=（ ）2=（ ）2=3，∠B=∠B′， ∵∠ANB=∠B′NM， ∴∠BMB′=∠BAB′=60°； 故答案为：3，60； （2）∵四边形 ABB′C′是矩形， ∴∠BAC′=90°． ∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°． 在 Rt△ABC 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°， ∴∠AB′B=30°， ∴n= =2； （3）∵四边形 ABB′C′是平行四边形， ∴AC′∥BB′， 又∵∠BAC=36°， ∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°． ∴∠C′AB′=∠BAC=36°，而∠B=∠B， ∴△ABC∽△B′BA， ∴AB：BB′=CB：AB， ∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）， 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1， ∴AB2=1（1+AB）， ∴AB= ， ∵AB＞0， ∴n= = ． 24．（2012 嘉兴）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是抛物线：y=x2 上的动点（点在第一象 限内）．连接 OP，过点 0 作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q．连接 PQ，交 y 轴于点 M．作 PA 丄 x 轴于点 A，QB 丄 x 轴于点 B．设点 P 的横坐标为 m． （1）如图 1，当 m= 时， ①求线段 OP 的长和 tan∠POM 的值； ②在 y 轴上找一点 C，使△OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标； （2）如图 2，连接 AM、BM，分别与 OP、OQ 相交于点 D、E． ①用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标； ②求证：四边形 ODME 是矩形． 考点：二次函数综合题。 解答：解：（1）①把 x= 代入 y=x2，得 y=2，∴P（ ，2），∴OP= ∵PA 丄 x 轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA= = ． ②设 Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM， ∴ ．∴n= ∴Q（ ， ），∴OQ= ． 当 OQ=OC 时，则 C1（0， ），C2（0， ）； 当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1）． （2）①∵P（m，m2），设 Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴ ∴ ，得 n= ，∴Q（ ， ）． ②设直线 PO 的解析式为：y=kx+b，把 P（m，m2）、Q（ ， ）代入，得： 解得 b=1，∴M（0，1） ∵ ，∠QBO=∠MOA=90°， ∴△QBO∽△MOA ∴∠MAO=∠QOB， ∴QO∥MA 同理可证：EM∥OD 又∵∠EOD=90°， ∴四边形 ODME 是矩形．