13．4 杠杆
古希腊科学家阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我就能举起地球．”阿基米德真能举起
地球吗？
智 能 提 要
问：怎样正确理解力臂的概念？
答：关于力臂的概念，要注意以下几点：
（1）力臂是支点到力的作用线的距离， 从几何上来看，是
“点”到“直线”的距离。其中“点”为杠杆的支点；“线”
为力的作用线，即通过力的作用点沿力的方向所画的直线。
（2）某一力作用在杠杆上，若作用点不变，但力的方向改变，那么力臂一般要改变。如图
所示，力 F 的大小一样，由于作用在杠杆上 A 点的方向不同，力臂就不同．（a）图中 F
的力臂 l 比（b）图中 F 的力臂 lˊ大．
（3）力臂不一定在杠杆上，如图所示．
（4）若力的作用线过支点，则它的力臂为零．
问：你能总结一下画力臂的一般步骤吗？
答：可按下述步骤画力臂：
（1）首先确定支点 O．
（2）画好动力作用线及阻力作用线．画的时候可用虚线将力的作用线延长．
（3）再从支点 O 向力的作用线引垂线，画出垂足，则支点到垂足的距离就是力臂．
（4）最后用大括号勾出力臂，在旁边标上字母 l1 或 l2，分别表示动力臂或阻力臂。
中 考 撷 要
在最近的三年中，杠杆也是中考的主要内容之一，考试中其内容出现在选择题、填空题、实验探究题、作图题计
算题等多种题型中．考查的最主要形式为作图题，即给出日常生活中杠杆应用的实例，作出其五要素，尤其是力
杠 杆
杠杆的概念及五要素
杠 杆 的 平 衡 条 件
杠杆的分类及其应用
千万不能理解成力
臂为支点到力的作
用点的长度．
臂．要善于把日常生活中涉及到杠杆知识又不容易联想到杠杆的应用实例与杠杆联系起来，分析其中的五要素．
智 能 拓 展
用不准确的天平进行准确的测量
我们实验室力测量物体质量的天平是等臂杠杆，它是根据杠杆的平衡条件制作的测量
仪器． 因为动力臂等于阻力臂，所以左盘中的物重等于右盘中的砝码重，左盘中的物体质
量等于右盘中的砝码质量．
由于使用不当和部分被损，一些天平实际上的不等臂杠杆，用这样的天平直接测量，
不管你是怎样认真地进行正确操作，称量结果与物体的真实值之间总有偏差．
在粗略测量和练习使用天平时，都可以忽略由于仪器本身造成的误差．但是在精确测
量中，这是不允许的，如何用不准确的天平进行准确的测量呢？
第一种方法“是恒载法”．先将另外一个物体放到天平的一只托盘上，然后把砝码放
在另外一只托盘上，直至天平平衡．接着，把待测物体放到放砝码的托盘上，并将其中的一
部分砝码逐渐取出，使天平恢复平衡．此时，被测物体的质量就等于被取出的砝码的质量．由
于砝码是准确的，所称出的值就是它的真实值．
第二种方法是“替代法”．把待测物体放到天平的一只盘上，另外拿些沙粒加到另外
一只盘上，一直加到使天平平衡．然后，把待测物体拿下（沙粒别动），逐渐把砝码加到这
只盘上，直到天平重新恢复平衡为止．这样，被测物体的质量就等于盘上砝码的质量．
第三种方法是“复称法”．首先把待测物体（设质量为 m）放在左盘，然后往右盘加砝
码（质量为 m1）使之平衡． 此时，便有 mgl1=m1gl2（l1、l2 分别为左、右盘到天平中央刀
口的距离）．接着，又将待测物体放到右盘，然后往左盘加砝码（质量为 m2）至天平平衡．此
时，也有 m2gl1=mgl2．将两式相比可得 21mmm ，只要将 m1、m2 的值代入上式，便可
以得出待测物体的质量了．
智 能 归 例
题型一 会确认并画出杠杆的动力臂和阻力臂
例 如图甲所示，杠杆 OA 处于平衡状态，在图中分别画出力 F1 和 F2 对支点 0 的力臂
L1 和 L2。
知识点 力臂的概念，会画力臂
闯关点拨 再次提醒：画力臂时必须注意力臂是“支点到力的作用线的距离”，而不是“支
点到力的作用点的距离”。
答 如图乙所示
[变形题 1] 如下图甲所示，杠杆 OA 在力 F1、F2 的作用下处于静止状态，L2 是力 F2 的力臂．在
图中画出力 F1 的力臂 L1 和力 F2．
甲
乙
乙
闯关点拨 根据已知的力臂画力时，力的作用线应与力臂垂
直，且要注意力的作用点应画在杠杆上．
答 如上图乙所示
[变形题 2] 如下图甲所示的钢丝钳，其中 A 为剪钢丝处，B 为手的用力点，O 为转动轴，
图乙为单侧钳柄及相连部分示意图，请在图乙中画出剪钢丝时的动力 F1、阻力 F2、动力 l1、
阻力臂 l2 。
闯关点拨 动力作用在 B 点，方向竖直向下，阻力作用在 A 点，
方向竖直向下。表示 F1 的线段应比表示 F2 的线段短一些，因为
钢丝钳是省力杠杆．
答 如图丙所示
题型二 有关探究杠杆平衡条件的实验题
例 1 某同学用如右图所示装置验证杠杆的平衡条件，所用的 4 只钩码每只质量都是
50g，在图示情况时，杠杆 AB 处于水平平衡状态，这时弹簧秤的读数为 2.80N．设 F1 的力
臂为 l1，F2 的力臂 l2，则
2
1
l
l ．若在杠杆左端钩码
下方增加一个相同的钩码，重新调节弹簧秤对杠杆右端拉力的
方向后，使杠杆 AB 再次恢复水平平衡，则这时弹簧秤的拉力
与对应力臂的乘积应是未增加钩码前弹簧秤的拉力与对应力
臂乘积的____倍．
知识点 探究杠杆的平衡条件
闯关点拨 图中的杠杆平衡时，应满足 F1l1=F2l2，
则
10
7
80.2
96.1
1
2
2
1
F
F
l
l ． 增加钩码后，再次平衡时，
由杠杆的平衡条件得 F1ˊl1ˊ=F2ˊl2ˊ，那么
甲
还要注意力的方向
不要画反了．
丙
注意：F1 的力臂并非杠
杆的 OA 段，不能直接比
较 OA 与 OB．
4
5
2
'
2
22
'
2
'
2
11
'
1
'
1
F
F
lF
lF
lF
lF ．
答 7/10 5/4
例 2 在右图所示的实验装置中：
①实验前没有挂钩码时，发现杠杆左端下倾，应将杠杆
右端螺母向_______(左或右)边旋一些，使杠杆在水平位置
平衡。
②实验时只有 8 个相同的钩码，杠杆上每格等距，当在
A 点挂 4 个钩码时，则怎样挂钩码可以使杠杆在水平位置
平衡？
(请设计两种方案)
答：①_______________________________
②__________________________ __。
知识点 杠杆平衡条件的应用
闯关点拨 解题的关键是依据杠杆的平衡条件，看左、右两边的力和力臂的乘积是否相等．
解 （1）右 （2）①2 个钩码挂在“6”处；②3 个钩码挂在“4”
处．
题型三 有关杠杆的动态平衡问题
例1 如图12-16所示，用始终与杠杆垂直的力F，将杠杆缓
慢地由位置A拉至位置B，阻力G的力臂 ，动力F 。(填
“变大”或“变小”“不变”)
知识点 杠杆的平衡条件及其应用
闯关点拨 关键是要先弄清哪些是不变量，哪些是改变量，再根据
杠杆的平衡条件作出判断
分析和解 分别画出杠杆在 A、B 两位置的阻力 G 的力臂可看出，阻力臂 lG 将变大，由于 F
的方向始终与杠杆垂直，所以 F 的力臂始终等于杠杆长，故 F 的力臂 lF 不变。根据公式
变大。不变，、 FGllGlF FGF ,
答 变大 变大
[变形题] 如图 12-17 所示，一根重木棒在水平动力（拉力）Ｆ的作
用下以 Ｏ点为轴，由竖直位置逆时针匀速转到水平位置的过程中，若
动力臂为 l，动力与动力臂的乘积为 Ｍ，则（ ）
A．Ｆ增大，ｌ增大，Ｍ增大
B．Ｆ增大，ｌ减小，Ｍ减小
C．Ｆ增大，ｌ减小，Ｍ增大
D．Ｆ减小，ｌ增大，Ｍ增大
分析和解 如图中由竖直位置转到水平位置的过程中，动力臂 L 逐渐减小，而木棒的重不
请思考：还有两
种方案，你能说
出来吗？
图 12-16
图 12-17
变，重力的力臂 LG 逐渐增大．由杠杆的平衡条件 M=FL=GLG，而水平动力 F=
L
LG G ，
由上述两式可知 M 增大，L 减小，F 增大。
答 选 C
例 2 如图 12-18 所示，O 为杠杆 AC 的
支点，在 O 处挂一小球，AO=OB=BC，为使杠
杆在水平位置平衡，画出施加在杠杆上最小
动力 F1 的力臂 L1：，并标出 F1 的方向。
闯关点拨 由杠杆的平衡条件：F1l1=F2l2 知，在阻力和阻力臂不变的情况下，要想用的动力
最小，则要求动力臂最大。
动力臂最长的条件：①作用在杠杆上的动力的作
用点离支点最远；②动力的方向与支点跟作用点
的连线垂直．
解 最小动力 F1 应在离支点最远的 C 点，最长的
动力臂应为 OC，F1 的方向应垂直于 OC 向上，如图 12-19 所示．
题型四 杠杆平衡条件的应用
例 1 如图 12=20 所示是一个指甲刀的示意图，它由
三个杠杆ＡＢＣ、ＯＢＤ和ＯＥＤ组成，用指甲刀剪指甲
时，下面说法正确的是（ ）
A．三个杠杆都是省力杠杆
B．三个杠杆都是费力杠杆
C．ＡＢＣ是省力杠杆，ＯＢＤ、ＯＥＤ是费力杠杆
D．ＡＢＣ是费力杠杆，ＯＢＤ、ＯＥＤ是省力杠杆
知识点 能从日常生活中器具中辨认出杠杆，并能对它们进行分类
闯关点拨 根据杠杆的平衡条件，省力杠杆的特点是 L1＞L2 ，费力杠杆的特点是 L1＜L2．
分析和解 对 ABC 杠杆，B 是支点，由图中不难看出动力臂大于阻力臂，故为省力杠杆；
对 OBD 杠杆，O 是支点，阻力作用与 D，动力作用于 B，故动力臂小于阻力臂，为费力杠
杆；对 OED 杠杆，阻力作用于 D，动力作用于 E，故动力臂小于阻力臂，为费力杠杆．
答 选 C
例 2 一把杆秤不计自重，提纽到秤钩距离是
4cm，秤砣质量 250g．用来称质量是 2kg 的物体，秤
砣应离提纽多远，秤杆才平衡？若秤杆长 60cm，则这
把秤最大能称量多少 kg 的物体？（如图 12-21 所示）
知识点 利用杠杆平衡条件进行计算
最长的动力臂即
为支点跟作用点
的距离．
图 12-18
图 12-19
图 12-20
图 12-21
闯关点拨 杆秤也是一个杠杆．提纽处看作杠杆支点．若将重物对杆的力看作动力 F1，物
体离提纽的距离就是动力臂 l1；则秤砣对杆的力就是阻
力 F2，秤砣离提纽的距离是阻力臂 l2．（如图 12-22 所示）
解 由于物体和秤砣对杠杆的力分别等于各自的重力，
根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，
得 m1g l1 = m2g l2
2kg×g ×4cm = 0.25kg ×g×l2 l2=32cm
即称 2kg 物体时秤砣离提纽 32cm．
当阻力臂最大时，称量物体质量最大．l2 '=56cm
由 F'1'l1=F2 l'2，得 m1'g l1 = m2g l2' m1'×g×4cm = 0.25kg×g×56cm
m1'=3.5 kg
即秤的最大称量是 3.5kg．
答 称 2kg 物体时秤砣离提纽 32cm，秤的最大称量是 3.5kg．
中考典题精析
考题 1 下表是小王在“研究杠杆的平衡条件”的实验中，记录的部分测量结果，请在空
格中填入适当的值。（每个钩码质量为 50g，g=10N/kg） （四川省 2004 年中考题）
实验次数 动力 F1/N 动力臂 L1/cm 阻力 F2/N 阻力臂 L2/cm
1 0.5 8 1 4
2 6 1.5 8
在本次实验课的总结中，老师提出了这样一个问题：
如右图所示，杠杆处于平衡状态，若在两边钩码下方再各
加挂一只相同的钩码，释放后观察到的现象将是什么？
小王认为，杠杆仍能保持平衡；小李认为，杠杆将顺
时针转动；小赵认为，杠杆将逆时针转动，你的观点
是 。
闯关点拨 因现在杠杆两力臂不相等，若在两边增加相
同的钩码，则两边的新的力与力臂的乘积不相同，无法平
衡且右边力臂短故左边下沉，右边上升，即逆时针转动．
解 2 杠杆将逆时针转动（或小赵观点正确）
考题 2 如图 12-23 是自卸车的示意图，车厢部分视为杠杆，则下列分析正确的是
（ ）
（吉林省 2004 年中考题）
A．B点是支点，液压杆施的力是动力，货物重是阻力
B．B点是支点，物体A放在车厢前部可省力
C．C点是支点，物体A放在车厢后部可省力
D．C点是支点，物体A放在车厢前部可省力
闯关点拨 在卸车时，车厢（杠杆）将绕着图中 C 点（支点）
转动，而使车厢（杠杆）转动的动力是液压杆施的竖直向上
图 12-22
图 12-23
的力，阻碍车厢（杠杆）转动的阻力是竖直向下的货物重力。若要使杠杆省力（即动力＜阻
力＝，应有 CA＜CB，也就是说货物 A 应放在车厢后部。
答 选 C
智 能 训 练
基础知识训练
1．作用在杠杆上的动力为 50N，阻力为 600N，杠杆恰好平衡，则杠杆的动力臂
和阻力臂之比为 。（题型四）
2．如图 12-24 所示，杠杆每小格的长度相等，质量不计，以
Ｏ为支点．杠杆的左端挂有物体Ｍ，支点右边的Ａ处挂钩
码，杠杆平衡．若将支点移到 B 点，要使杠杆重新平衡，
在 A 点应挂 个相同的钩码。 （题型三）
3．如图 12-25 所示，ＡＢ为一根质量不计的细棒，用绳在
Ｏ处吊起，当Ａ、Ｂ两端分别挂两个重物甲、乙时恰
好平衡．若ＯＡ=0.8m，ＯＢ=0.4m，甲的质量为１０
kg，则乙的质量为 kg．（题型四）
4．下列工具中，属于省力杠杆的是 ( ) （题型四）
A．夹邮票用的镊子
B．理发师修剪头发用的剪刀
C．剪铁丝用的钢丝钳 D．钓鱼用的鱼竿
5．如图 12-26 所示的杠杆中，动力的力臂用 L 表示，图中所画力臂正确的是（ ）
（题型一）
6．在图 12-27 中画出力 F1 和Ｆ2 的力臂．（题型一）
7.如图 12-28,工人师傅用吊车搬运集装箱.集装箱重 G =2×104N,支撑杆对吊车
臂的支持力为 F.在图中画出集装箱所受重力的示意图
和支持力 F 对转动点 O 的力臂.
（题型一）
图 12-24
图 12-25
图 12-27
图 12-28
8．工人剪铁皮时，有时用两根铁管套在剪刀柄上（如图
12-29），这是什么道理？（题型四）
9．在研究“杠杆的平衡条件”实验中，有一组同学猜想杠
杆的平衡条件可能是“动力＋动力臂＝阻力＋阻力臂”。他
们经过实验，获得了下述数据：
动力 F1/N 动力臂 L1/cm 阻力 F2/N 阻力臂 L2/cm
4 5 5 4
于是，他们认为自己的猜想得到了验证。你认为他们的实验过程存在什么问题？
（题型三）
10．图 12-30 中，OB 为轻质杠杆，OA=60cm，AB=20cm。
在杠杆的 B 端挂一个所受重力为 60N 的重物，要使杠杆在
水平位置上平衡，在 A 点加一个多大的竖直向上的拉力？
（题型四）
综合提高训练
1．如图 12-31 所示，AOB 为一轻质杠杆(杠杆自重忽略不计)，O 为支点，OA=OB，在杠杆
的 B 端挂一重 20N 的重物，要使杠杆平衡，则在 A 端施加的力 F 至少为 N。
（题型四）
2．人体内也存在三种类型的杠杆，即省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆．跺脚时要靠腓肠肌
收缩，骨骼和腓肠肌状况如图 12-32 所示．踮着的脚可以看作是 杠杆（填类
型）．（题型四）
3．如图 12-33 所示，重力不计的杠杆 OA，O 为支点，在拉力 F 和重力为 30N 的重物 P 的
作用下，恰在水平位置平衡。已知 OA=80cm，AB=20cm，杠杆与转动轴间的摩擦忽略
不计。那么拉力 F 的力臂 L=________cm，拉力的大小 F=_________N。（题型四）
4.杠杆在我国古代就有了许多巧妙的应用。护城河上安装使用的吊桥就是一个杠
杆，由图 12-34 可知它的支点是 点(填“A”、B”或“C”)，在匀速
拉起时，它属于一个______杠杆(填“省力”或“费力”)，并在图中画出动
力臂 L1。（题型一）
5．如图 12-35 所示，杠杆 AC（刻度均匀，不计杠杆重）可绕支点 O 自由转动，在 B 点挂
一 重为 G 的 物体 。 为 使杠 杆 平 衡， 应 在 杠杆 上 的
图 12-29
图 12-30
图 12-31 图 12-32 图 12-33
_________点施加一个作用力，才能使作用力最小，该最小作用力与物重 G 的比值是
___________。（题型四）
6．如图 12-36 所示的两种情况，OB＝AB，
物重均为 G，两轻质杠杆均平衡．比较 F、
F'的大小，满足关系式( ) （题型四）
A．F＝F’ B．F＝2F’
C．F＝1/2F' D．F＝1/4F'
7．在棉产区，每年秋天拔去地里的棉杆是农民的一项繁重体力劳动。王刚仿照钳子的结构
改制成一种农具解决了这一问题。如图 12-37 所示，
使用时，将小铲着地，用虎口夹住棉杆的下部，然后
在套管上用力，棉杆就拔出来了。该农具整体视为杠
杆，则支点、动力作用点、阻力作用点对应下列位置
正确的是（ ）（题型一）
A．转轴—虎口—套管 B．小铲—套管—虎口
C．小铲—虎口—套管 D．虎口—转轴—套管
8．密度均匀的直尺 AB 放在水平桌面上，尺子
伸出桌面的部分 OB 是全尺长的三分之一，
当 B 端挂 5N 的重物户时，直尺的 A 端刚刚
开始翘起，如图 12-38 所示，则此直尺受到
的重力是( ) （题型四）
A．2．5N B．5N
C．10N D．无法确定
9．如图 12-39 所示，AOB 为一杠杆，O 为支点，杠杆重不计，AO=OB。
在杠杆右端 A 处用细绳悬挂重为 G 的物体，当 AO 段处于水平位
置时，为保持杠杆平衡，需在 B 端施加最小的力为 F1；当 BO 段
在水平位置时保持杠杆平衡，这时在 B 端施加最小的力为 F2，
则（ ）（题型三）
A．F1F2 C．F1=F2 D．无法比较
10．画出使杠杆 AB 在图 12-40 所示位置静止时所用最小力 F 的作用点和方向。（题型三）
11．如图 12-41 所示，用一根硬棒撬一个大石块，棒的上端Ａ是动力作用点．（1）在图上
标出：当动力方向向上时，杠杆的支点ａ当动力方向向下时，杠杆的支点ｂ；（２）在
图上画出撬动石块动力Ｆ为最小时的方向．（题型三）
图 12-34
图 12-36
图 12-37
图 12-38
图 12-39
图 12-35
12．某同学用如图 12-42 所示的 装置验证杠杆的平衡
条件．调节左边钩码的个数和悬 挂位 置，使杠杆水
平平衡时，读出弹簧秤的示数Ｆ 1=2.61N，钩码对杠杆
的拉力Ｆ2=1.96N；测得支点Ｏ到 这两个力作用点的距
离ＯＡ=25cm，ＯＢ=20cm，他将所得数据直接代入杠杆平衡条件的公式中，发现Ｆｌ·ＯＡ
和Ｆ2·ＯＢ并不相等，从而认为杠杆的平衡条件不一定是Ｆ1·L1= Ｆ2· L2 这个同学的失误
在什么地方？（题型二）
13．在“研究杠杆平衡条件”的实验中
（1）把杠杆挂在支架上，实验前没有挂钩码时，发现杠杆右
端下倾，可将右端螺母向_____边旋转，使杠杆在水平位置平
衡（填“左”或“右”）。
（2）实验中共有 6 个钩码，杠杆上每格距离相等，调节好杠
杆后，在杠杆左边离支点 2 格的 A 处挂了 3 个钩码，如图 12-43
所示，为使杠杆在水平位置平衡，请你在杠杆右边挂上钩码（用
一种方法）．你的方法是_________。
（3）实验中改变支点两侧的钩码位置和个数，用同样的方法
一般要做三次，得到三组数据并进行分析.这样做的目的是________。（题型二）
14．学校组织同学们到农村参加社会实践活动，小强第一次学习挑担子，他做了以下两次试
验，请你根据各小题后的要求作答。
(1)他先在扁担的两端各挂上 50N 的重物，担子很快就被平稳地挑起来。这时他的肩膀
应放在扁担的什么位置（只要回答，不要分析）？
(2)接着，他又在扁担的 A 端加上 50N 的重物，如图 12-44 所
示， 但他掌握不好担子的平衡。请你用杠杆平衡知识，帮
助他计算出肩膀应距 B 端多远，担子才能重新水平平衡？（扁
担质量忽略不计）（题型四）
15．在图12-45中，杠杆AB是一根粗细均匀的木杆，其质量为116g；
C是用细线挂在木杆0'点上的铜铝合金球，其中含铝54g．现杠杆
恰好在水平位置平衡．量得：AO'＝1/8AB，A0＝1/4AB．问：合金
球C的密度为多少?(铜的密度为ρ铜＝8．9g／cm3) （题型四）
图 12-40 图 12-41
图 12-43
图 12-44
图 12-45
图图 12-42
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