2012年丰台区高三二模（理数）

丰台区 2012 年高三年级第二学期统一练习（二） 2012.5 数学（理科） 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数 1 i 2 i   的虚部是 (A) i (B) 3 i5  (C) –1 (D) 3 5  2．一个正四棱锥的所有棱长均为 2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 4 3．由曲线 1y x  与 y=x，x=4 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 31 32 (B) 23 16 (C) 1ln 4 2  (D) ln 4 1 4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 63，则判断框中应填 (A) 7n  (B) 7n  (C) 6n  (D) 6n  5．盒子中装有形状、大小完全相同的 3 个红球和 2 个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到 2 次时停止取球．那么取球次 数恰为 3 次的概率是 (A) 18 125 (B) 36 125 (C) 44 125 (D) 81 125 6．在△ABC 中，∠BAC=90º，D 是 BC 中点，AB=4，AC=3，则 AD BC  = (A) 7 (B) 7 2  (C) 7 2 (D) 7 7．已知函数 sin ( 0)y ax b a   的图象如图所示，则函数 log ( )ay x b  的图象可能是 开始 结束 0S  ， 1n  ， 3a  S S a  2a a  1n n  输出 S 是 否 (A) (B) (C) (D) 8．已知平面上四个点 1(0,0)A ， 2 (2 3,2)A ， 3 (2 3 4,2)A  ， 4 (4,0)A ．设 D 是四边形 1 2 3 4A A A A 及其内 部的点构成的点的集合，点 0P 是四边形对角线的交点，若集合 0{ || | | | , 1,2,3,4}iS P D PP PA i    ， 则集合 S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．在极坐标系中，圆 2sin  的圆心的极坐标是____． 10．已知椭圆 2 2 2 2 1( 7)7 x y mm m    上一点 M 到两个焦点的距离分别是 5 和 3，则该椭圆的离心率为______． 11．如图所示，AB 是圆的直径，点 C 在圆上，过点 B，C 的切线交于点 P，AP 交圆 于 D，若 AB=2，AC=1，则 PC=______，PD=______． 12．某地区恩格尔系数 (%)y 与年份 x 的统计数据如下表： 年份 x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数 y(%) 47 45.5 43.5 41 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且可得回归方程为 ˆˆ 4055.25y bx  ，据 此模型可预测 2012 年该地区的恩格尔系数(%)为______． 13．从 5 名学生中任选 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有 1 人参加，若甲 不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点 A ， B 同时满足：①点 A ， B 都在函数 ( )y f x 图象上；②点 A ， B 关 于原点对称，则称点对( A , B )是函数 ( )y f x 的一个“姐妹点对”（规定点对( A , B )与点对( B , A ) 是同一个“姐妹点对”）．那么函数 2 4, 0,( ) 2 , 0, x xf x x x x      的“姐妹点对”的个数为_______；当 函数 ( ) xg x a x a   有“姐妹点对”时， a 的取值范围是______． 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共 13 分） 已知函数 ( ) cos ( 3 cos sin ) 3f x x x x   ． （Ⅰ）求 ( )3f  的值； （Ⅱ）求函数 ( )y f x 在区间[0, ]2  上的最小值，并求使 ( )y f x 取得最小值时的 x 的值． 16.（本小题共 13 分） 某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字 100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过 1000 元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券 上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望 Eξ=22． ξ 100 80 60 0 P 0.05 a b 0.7 （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）若某顾客当天在商场消费 2500 元，求该顾客获得奖金数不少于 160 元的概率． 17.（本小题共 14 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ABEF⊥平面 ABCD， EF // AB，∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点 P 在棱 DF 上． （Ⅰ）若 P 是 DF 的中点， (ⅰ) 求证：BF // 平面 ACP； (ⅱ) 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角 D-AP-C 的余弦值为 6 3 ，求 PF 的长度． 18.（本小题共 13 分） 已知数列{an}满足 1 4a  ， 1 3 1n n na a p     (n N ，p 为常数)， 1a ， 2 6a  ， 3a 成等差数列． （Ⅰ）求 p 的值及数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足 2 n n nb a n   ，证明： 4 9nb  ． 19.（本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的焦点在 y 轴上，且抛物线上的点 P(x0，4)到焦点 F 的距离为 5．斜 率为 2 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点． （Ⅰ）求抛物线 C 的标准方程，及抛物线在 P 点处的切线方程； （Ⅱ）若 AB 的垂直平分线分别交 y 轴和抛物线于 M，N 两点（M，N 位于直线 l 两侧），当四边形 AMBN 为菱形时，求直线 l 的方程． 20.（本小题共 13 分） 设函数 ( ) ln ( )ln( )f x x x a x a x    ( 0)a  ． （Ⅰ）当 1a  时，求函数 ( )f x 的最小值； （Ⅱ）证明：对 x1，x2∈R+，都有  1 1 2 2 1 2 1 2ln ln ( ) ln( ) ln 2x x x x x x x x     ； （Ⅲ）若 2 1 1 n i i x   ，证明： 2 1 ln ln 2 n n i i i x x    *( , )i nN ． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）