余姚市高三第三次模拟考试
高三数学（文）试题卷
第Ⅰ卷（选择题部分 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的．
1. 设全集 U=R，集合 2||| xxA ， }01
1|{
xxB ，则 ( ) BUC A ( )
A. [ 2,1] B. (2, ) C. ]2,1( D. ( , 2)
2. 设 nm, 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若 / / ,n/ /m ，则 m/ / n B. 若 ,m ，则 / /m
C. 若 / / ,m ，则 m ； D. 若 //,mm ，则
3. 已知 , ,a b R 则“ 2 2 1a b ”是“ 1
2ab ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ( ) sin( )( )f x A x x R 的图象的一部分如图
所示，若对任意 ,x R 都有 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x ，
则 1 2| |x x 的最小值为（ ）
A. 2 B. C.
2
D.
4
5. 已知实数变量 ,x y 满足
1,
0,
2 2 0,
x y
x y
x y
则 3z x y 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2014 20150, 0S S ，对任意正整数 n ，都
有| | | |n ka a ，则 k 的值为( )
A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009
（第 4 题）
7. 设 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点， P 是 C 的右支上
的 点 ， 射 线 PT 平 分 1 2F PF , 过 原 点 O 作 PT 的 平 行 线 交 1PF 于 点 M , 若
1 2
1| | | |3MP F F ,则C 的离心率为（ ）
A. 3
2
B. 3 C. 2 D. 3
8．已知实数 , ,a b c 满足 2 2 2 1a b c ，则 ab bc ca 的取值范围是( )
A. ( ,1] B. [ 1,1] C. 1[ ,1]2
D. 1[ ,1]4
第Ⅱ卷（非选择题部分 共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，第 9 至 12 题，每小题 6 分，第 13 至 15 题，每小题 4 分，共
36 分．
9. 若 指 数 函 数 ( )f x 的 图 像 过 点 ( 2,4) ， 则 (3)f _____________ ； 不 等 式
5( ) ( ) 2f x f x 的解集为 .
10. 已知圆 2 2 2: 2 4 5 25 0C x y ax ay a 的圆心在直线 1 : 2 0l x y 上，则
a ；圆C 被直线 2 :3 4 5 0l x y 截得的弦长为____________.
11. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为 ；外接球的体积
为 ．
12．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，
在斐 波那契数列{ }na 中， 11 a ， 12 a
)(12
Nnaaa nnn 则 7a ____________；
若 2017a m ，则数列{ }na 的前 2015 项和
是________________（用 m 表示）．
13．已知函数
3, 0
( ) 1 3
x x
f x
x x
，若关于 x 的方程 2 1( 2 ) m2f x x 有 4 个不同的实
数根，则 m 的取值范围是________________．
14. 定义：曲线C 上的点到点 P 的距离的最小值称 为曲线C 到点 P 的距离。已知圆
侧视图
（第 11 题）
3
2
正视图
俯视图
3
2 2: 2 2 6 0C x y x y 到点 ( , )P a a 的距离为 2 ，则实数 a 的值为 ．
15. 设正 ABC 的面积为 2，边 ,AB AC 的中点分别为 ,D E ， M 为线段 DE 上的动点，
则 2
MB MC BC 的最小值为_____________．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16 ．（ 本 题 满 分 15 分 ） 在 ABC 中 ， 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , , .a b c 已 知
sin sin( ) 2 sin 2C B A A ， .2A
（Ⅰ）求角 A 的取值范围；
（Ⅱ）若 1,a ABC 的面积 3 1
4S ，C 为钝角，求角 A 的大小．
17. （ 本 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中 ， 2 PBPA ， 4PC ，
60BPCAPB ，
4
1cos APC 。
（Ⅰ）平面 PAB 平面 PBC ；
（Ⅱ） E 为 BC 上的一点．若直线 AE 与平面 PBC 所成的角为30 ，求 BE 的长．
18．（本题满分 15 分）已知数列{ },{ }n na b 满足下列条件： 16 2 2,n
na 1 1b ，
1 .n n na b b
P
C
E
B
A
（第 17 题）
（Ⅰ）求{ }nb 的通项公式；
（Ⅱ）比较 na 与 2 nb 的大小．
19．（本题满分 15 分）如图，过抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点 F 的直线交 C 于
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 两点，且 1 2 4.x x
（Ⅰ）求 p 的值；
（Ⅱ） ,R Q 是 C 上的两动点， ,R Q 的纵坐标之和为 1， RQ 的垂直平分线交 y 轴于
点T ,求 MNT 的面积的最小值．
20．（本题满分 14 分）已知函数 2( ) | 1 |f x x x a ，其中 a 为实常数．
（Ⅰ）判断 ( )f x 的奇偶性；
（Ⅱ）若对任意 x R ，使不等式 ( ) 2 | |f x x a 恒成立，求 a 的取值范围．
余姚市高三第三次模拟考试
高三数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的．
B D A C D C A C
二、填空题：本大题共 7 小题，第 9 至 12 题，每小题 6 分，第 13 至 15 题，每小题 4 分，共 36 分．
9. 1
8
； ( 1,1) 10. 2；8 11. 4； 32
3
12. 13； 1m 13. 1( 1, ) (0, )8
14. 2,0,2 15. 5 3
2
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （ Ⅰ ） 由 sin sin( ) 2 sin 2 ,C B A A 得
sin( ) sin( ) 2 2 sin cos .B A B A A A
即 2sin cos 2 2 sin cos .B A A A
因为 cos 0,A 所以sin 2 sin .B A ……………3 分
由正弦定理，得 2 .b a 故 A 必为锐角。 ……………4 分
又 0 sin 1B ,所以 20 sin .2A ……………6 分
因此角 A 的取值范围为 (0, ].4
……………8 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及 1a 得 2.b
又因为 3 1
4S ,所以 1 3 11 2 sin .2 4C 从而 6 2sin .4C
因为 C 为钝角，故 7 .12C ……………11 分
由余弦定理，得 2 7 6 21 2 2 1 2 cos 1 2 2 1 2 ( ) 2 3.12 4c
P
C
E
B
A
F
故 6 2 .2c ……………13
分
由正弦定理，得
6 21sin 14sin .26 2
2
a CA c
因此 .6A ……………15 分
17．（Ⅰ）在 PAB 中，由 2, 60 ,PA PB APB 得 2.AB
在 PBC 中， 2, 4, 60 ,PB PC BPC 由余弦定理，得 2 3.BC
在 PAC 中， 12, 4,cos ,4PA PC APC 由余弦定理，得 4.AC
因为 2 2 2AB BC AC ,所以 .AB BC
因为 2 2 2PB BC PC ,所以 .PB BC ……………4 分
又因为 AB PB B ,所以 BC 平面 .PAB ……………6 分
又因为 BC 平面 PBC ,所以平面 PAB 平面 .PBC ……………7
分
（Ⅱ）取 PB 的中点 F ,连结 ,EF 则 .AF PB 又因为平面 PAB 平面 PBC ，平面
PAB 平面 PBC PB , AF 平面 PAB ,所以 AF 平面 .PBC
因此 AEF 是直线 AE 与平面 PBC 所成的角，即 30 .AEF ……………11 分
在正 PAB 中， 3 3.2AF PA
在 Rt AEF 中， 2 3.sin30
AFAE
在 Rt ABE 2 2 2 2.BE AE AB ……………15 分
18.（Ⅰ）由已知， 1
1 6 2 2.n
n nb b
1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n nb b b b b b b b ……………2 分
2 21 (6 1 2) (6 2 2) (6 2 2) 1 6 (1 2 2 ) 2( 1)n n n
1
11 21 6 2( 1) 6 2 2 3.1 2
n
nn n
……………7 分
（Ⅱ） 12 6 2 4( 1) 3 2 4( 1).n n
n nb a n n 设 3 2 .4( 1)
n
nc n
1
1
3 2
2( 1)4( 2)1 1 1 0.3 2 2 2
4( 1)
n
n
n
n
c n nn
c n n
n
所以 1 .n nc c 即{ }nc 为递增数列. ……………10 分
当 2n 时， 2 1.nc c 所以3 2 4( 1).n n 于是 2 0n nb a ，即 2 .n na b ……13 分
易知当 1n 时， 2 .n na b 当 2n 时， 2 .n na b ……………15 分
19．（Ⅰ）设 : ,2
pMN y kx
由
2
,2
2 ,
py kx
x py
消去 y ，得 2 22 0.x pkx p （*） ……………3 分
由题设， 1 2,x x 是方程（*）的两实根，所以 2
1 2 4,x x p 故 2.p ……………6 分
（Ⅱ）设 3 3 4 4( , ),Q( , ),T(0,t)R x y x y ,因为T 在 RQ 的垂直平分线上，所以| | | |.TR TQ
得 2 2 2 2
3 3 4 4( ) ( )x y t x y t ，又 2 2
3 3 4 44 , 4 ,x y x y
所以 2 2
3 3 4 44 ( ) 4 ( ) .y y t y y t 即 3 4 3 4 4 34( ) ( 2 )( ).y y y y t y y
而 3 4y y ，所以 3 44 2 .y y t 又因为 3 4 1y y ，所以 5 .2t
故 5(0, ).2T ……………10 分
因此 1 2 1 2
1 3| | | | | |.2 4MNTS FT x x x x 由（1）得 1 2 1 24 , 4.x x k x x
2 2 2
1 2 1 2
3 3( ) 4 (4 ) 4 ( 4) 3 1 3.4 4MNTS x x x x k k
因此，当 0k 时， MNTS 有最小值 3. ……………1 5
分
20．（Ⅰ）当 1a 时， 2( ) | |.f x x x 2 2( ) ( ) | | | | ( ),f x x x x x f x
所以 ( )f x 为偶函数； ……………3 分
当 1a 时，因为 (0) |1 | 0f a ，所以 ( )f x 不是奇函数；
因为 2 2( 1) ( 1) , (1 ) ( 1) 2 | 1|,f a a f a a a 所以 ( 1) (1 )f a f a ，
故 ( )f x 不是偶函数． 综合得 ( )f x 为非奇非偶函数． ……………7 分
（Ⅱ）（1）当 1x a 时，不等式化为 2 1 2( ),x x a a x 即 2 1x x a ，
21 5( ) .2 4x a 若 11 2a ，即 1
2a ，则 5
4a 矛盾．
若 11 2a ，即 1
2a ，则 2( 1) ( 1) 1,a a a 即 2 2 1 0,a a 解得 1 2a 或
1 2.a 所以 1 2.a …………… 9 分
（2）当 1a x a 时，不等式化为 2 1 2( ),x x a a x 即 2 3 1 3x x a ，
23 5( ) .2 4x a
若 31 2a a 即 3 1
2 2a ， 5 53 , .4 12a a 结合条件，得 3 1 .2 2a
若 31 2a 即 1
2a ， 23 ( 1) 3( 1) 1,a a a 即 2 2 1 0,a a 解得 1 2a
或 1 2.a 结合条件及（1），得 1 1 2.2 a
若 3
2a ， 23 3 1a a a 恒成立． 综合得 1 2.a …………… 11 分
（ 3 ） 当 x a 时 ， 不 等 式 化 为 2 1 2( ),x x a x a 即 2 1x x a ，
21 3( ) .2 4x a 得 3 ,4a 即 3
4a 。结合（2）得 3 1 2.4 a ……… 13 分
所以，使不等式 ( ) 2 | |f x x a 对 x R 恒成立的 a 的取值范围是
3 1 2.4 a ……………14 分
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