江苏2011高三数学试卷及答案

2011 届高三数学质量检测试卷 2010 年 9 月 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1、１. 已知集合   },12,3,1{,,3 2  mBmA 若 BA  ，则实数 m 的值为 . 2、２. 若复数 iiaiz (),)(2(  为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 . ３. 长方形 ABCD 中,，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到 的点到 O 的距离大于 1 的概率为___________. ４．执行右边的程序框图,若 15p  ，则输出的 n  . ５．设 ,a b 为不重合的两条直线， ,  为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若 a ∥ 且b ∥ ，则 a ∥b ；（2）若 a  且b  ，则 a ∥b ； （3）若 a ∥ 且 a ∥  ，则 ∥  ；（4）若 a  且 a  ，则 ∥  ． 上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ． ６．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前3个小组的频率之比为1: 2:3 ，第 2 小组 的频数为10，则抽取的学生人数是 . ７．若函数 y=cos x ( >0)在(0, 2  )上是单调函数，则实数 的 取值范围是____________. ８．已知扇形的圆心角为 2 （定值），半径为 R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩 形，若按图一作出的矩形面积的最大值为 21 tan2 R  ，则按图二作出的矩形面积的最大 值为 . ９．已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上，点 Q 在直线 x+2y+3=0 上，PQ 的中点为 M（x0，y0），且 y0>x0+2，则 0 0 y x 的取值范围为 。 22 图一 第 8 题图 图二 10．如图，已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的 左、右焦点，点 P 在椭圆C 上，线段 2PF 与圆 2 2 2x y b  相切于点Q ，且点Q 为线段 2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 . 11．等腰三角形 ABC 的腰 AC 上的中线 BD 的长为 3，则△ABC 的面积的最大值为 . 12．给定正整数 )2( nn 按右图方式构成三角形数表：第一行 依次写上数 1，2，3，……n，在下面一行的每相邻两个数 的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比 下一行少一个数），依次类推，最后一行（第 n 行）只有一 一个数. 例如 n=6 时数表如图所示，则当 n=2010 时最后一 行的数是 . 13．已知函数是定义在 (0, ) 上的单调增函数，当 n N 时， ( )f n N ，若 [ ( )] 3f f n n ， 则 f(5)的值等于 ． 14．已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，g(x)=f[f(x)] ①若 f(x)无零点，则 g(x)>0 对 x∈R 成立； ②若 f(x)有且只有一个零点，则 g(x)必有两个零点； ③若方程 f(x)=0 有两个不等实根，则方程 g(x)=0 不可能无解。 其中真命题的个数是_________个。 二、解答题 15. （ 本 题 14 分 ） 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 2(2sin ,1), (1, 2 3sin cos 1)OA x OB x x     ， ( )f x OA OB m    . （Ⅰ）求 )(xfy  的单调递增区间； （Ⅱ）若 )(xf 的定义域为[ , ]2   ，值域为[2,5] ，求 m 的值. 16．(14 分)在四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平 面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA＝2AB＝2． （Ⅰ）求四棱锥 P－ABCD 的体积 V； （Ⅱ）若 F 为 PC 的中点，求证 PC⊥平面 AEF； （Ⅲ）求证 CE∥平面 PAB． P A B C D E F 17. 如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽 2 米，边坡的长为 x 米、倾角为锐角 . (1)当 3   且灌溉渠的横截面面积大于 8 平方米时，求 x 的最小正整数值； (2)当 x=2 时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值. 18. (本题满分 16 分) 已知圆 2 2: 9C x y  ，点 ( 5,0)A  ，直线 : 2 0l x y  . ⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程； ⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点 B （不同于点 A ），满足：对于圆C 上任 一点 P ，都有 PB PA 为一常数，试求所有满足条件的点 B 的坐标. x y OA P B x  19．已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am 是首项为 10，公差为－2 的等差数列；am＋1， am＋2，…，a2m 是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的 n∈N*，均有 an＋2m＝an 成立． （1）当 m＝12 时，求 a2010； （2）若 a52＝ 1 128 ，试求 m 的值； （3）判断是否存在 m（m≥3，m∈N*），使得 S128m＋3≥2010 成立？若存在，试求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 20．(本小题满分 16 分) 已知 1 2( ) | 3 1|, ( ) | 3 9 | ( 0),x xf x f x a a x R       , 且 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( ) f x f x f xf x f x f x f x    . (Ⅰ)当 1a  时,求 ( )f x 在 1x  处的切线方程； (Ⅱ)当 2 9a  时,设 2( ) ( )f x f x 所对应的自变量取值区间的长度为l (闭区间 [ , ]m n 的长度定义为 n m ),试求l 的最大值； (Ⅲ)是否存在这样的 a ，使得当  2,x  时, 2( ) ( )f x f x ?若存在,求出 a 的取值范 围；若不存在，请说明理由. 2011 届高三数学质量检测答题纸 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1. __________________ 8. __________________ 2. __________________ 9. __________________ 3. __________________ 10. __________________ 4. __________________ 11. __________________ 5. __________________ 12. __________________ 6. __________________ 13. __________________ 7. __________________ 14. __________________ 二、解答题 15. 16. 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 学 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 试 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 座 位 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 装 … … … … … … … 订 … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17. 18. 19. 20. 2011 届高三数学质量检测答案 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 3、1. 已知集合   },12,3,1{,,3 2  mBmA 若 BA  ，则实数 m 的值为 . 4、1．1 5、2. 若复数 iiaiz (),)(2(  为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 . 6、2． 2 1 3. 长方形 ABCD 中,，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内 随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 . 1 4  4．执行右边的程序框图,若 15p  ，则输出的 n  . 5 5．设 ,a b 为不重合的两条直线， ,  为不重合的两个平面，给出下列命 题： （1）若 a ∥ 且b ∥ ，则 a ∥b ；（2）若 a  且b  ，则 a ∥b ； （3）若 a ∥ 且 a ∥  ，则 ∥  ；（4）若 a  且 a  ，则 ∥  ． 上面命题中，所有真命题．．．的序号是 ． 5.（2），（4） 6．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前3个小组的频率之比为1: 2:3 ，第 2 小组 的频数为10，则抽取的学生人数是 . 40 ７．若函数 y=cos x ( >0)在(0, 2  )上是单调函数，则实数 的 取值范围是____________. (0,2 ] 8．已知扇形的圆心角为 2 （定值），半径为 R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩 形，若按图一作出的矩形面积的最大值为 21 tan2 R  ，则按图二作出的矩形面积的最大 值为 . 2 tan 2R  22 图一 第 8 题图 图二 9． 已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上，点 Q 在直线 x+2y+3=0 上，PQ 的中点为 M（x0，y0）， 且 y0>x0+2，则 0 0 y x 的取值范围为 。 （ 1 2  ， 1 5  ） 10．如图，已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的 左、右焦点，点 P 在椭圆C 上，线段 2PF 与圆 2 2 2x y b  相切于点Q ，且点Q 为线段 2PF 的中点，则椭圆C 的离 心率为 . 5 3 11．等腰三角形 ABC 的腰 AC 上的中线 BD 的长为 3，则△ABC 的面积的最大值 为 。 6 12．给定正整数 )2( nn 按右图方式构成三角形数表：第一行 依次写上数 1，2，3，……n，在下面一行的每相邻两个数 的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比 下一行少一个数），依次类推，最后一行（第 n 行）只有一 一个数. 例如 n=6 时数表如图所示，则当 n=2010 时最后一 行的数是 . 2011×22008 13．已知函数是定义在 (0, ) 上的单调增函数，当 n N 时， ( )f n N ，若 [ ( )] 3f f n n ， 则 f(5)的值等于 ．8 14．已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，g(x)=f[f(x)] ①若 f(x)无零点，则 g(x)>0 对 x∈R 成立； ②若 f(x)有且只有一个零点，则 g(x)必有两个零点； ③若方程 f(x)=0 有两个不等实根，则方程 g(x)=0 不可能无解。 其中真命题的个数是_________个。 0 个 二、解答题 15. （ 本 题 14 分 ） 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 2(2sin ,1), (1, 2 3sin cos 1)OA x OB x x     ， ( )f x OA OB m    . （Ⅰ）求 )(xfy  的单调递增区间； （Ⅱ）若 )(xf 的定义域为[ , ]2   ，值域为[2,5] ，求 m 的值. 15.（本题 14 分） 解：（Ⅰ） mxxxxf  1cossin32sin2)( 2 ……2 分 = mxx  1sin32cos1 = mx  2)62sin(2  ……4 分 由  kxk 22 3 6222  )( Zk  得 )(xfy  的单调递增区间为 ]3 2,6[   kk )( Zk  ……7 分 （Ⅱ）当   x2 时， 6 13 626 7   x ……9 分 ∴ 2 1)62sin(1  x ……11 分 ∴ mxfm  4)(1 ，∴ 154 21       mm m ……14 分 16．(14 分)在四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平 面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA＝2AB＝2． （Ⅰ）求四棱锥 P－ABCD 的体积 V； （Ⅱ）若 F 为 PC 的中点，求证 PC⊥平面 AEF； （Ⅲ）求证 CE∥平面 PAB． 16．解：（Ⅰ）在 Rt△ABC 中，AB＝1， ∠BAC＝60°，∴BC＝ 3 ，AC＝2． 在 Rt△ACD 中，AC＝2，∠CAD＝60°， ∴CD＝2 3 ，AD＝4． ∴SABCD＝ 1 1 2 2AB BC AC CD   1 1 51 3 2 2 3 32 2 2        ．……………… 3 分 则 V＝ 1 5 53 2 33 2 3    ． ……………… 5 分 （Ⅱ）∵PA＝CA，F 为 PC 的中点， ∴AF⊥PC． ……………… 7 分 ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC．∴CD⊥PC． ∵E 为 PD 中点，F 为 PC 中点， ∴EF∥CD．则 EF⊥PC． ……… 9 分 ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面 AEF．…… 10 分 （Ⅲ）证法一： 取 AD 中点 M，连 EM，CM．则 EM∥PA． ∵EM  平面 PAB，PA  平面 PAB， ∴EM∥平面 PAB． ……… 12 分 P A B C D E F N F E D C B A P M F E D C B A P 在 Rt△ACD 中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2， ∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB． ∵MC  平面 PAB，AB  平面 PAB， ∴MC∥平面 PAB． ……… 14 分 ∵EM∩MC＝M， ∴平面 EMC∥平面 PAB． ∵EC  平面 EMC， ∴EC∥平面 PAB． ……… 15 分 证法二： 延长 DC、AB，设它们交于点 N，连 PN． ∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD， ∴C 为 ND 的中点． ……12 分 ∵E 为 PD 中点，∴EC∥PN．……14 分 ∵EC  平面 PAB，PN  平面 PAB， ∴EC∥平面 PAB． ……… 15 分 17.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽 2 米，边坡的长为 x 米、倾角为锐角 . (1)当 3   且灌溉渠的横截面面积大于 8 平方米时，求 x 的最小正整数值； (2)当 x=2 时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值. 解：由已知得等腰梯形的高为 xsin  ，上底长为 2+2xcos  ，从而横截面面积 S= 1 2 (2+2+2xcos )·xsin =x2sin cos +2xsin . (1)当 3   时，面积 23S = x + 3x4 是(0,+∞)上的增函数，当 x=2 时，S=3 3