2011朝阳区高三期末试题及答案（数学理）

北京市朝阳区 2010～2011 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理科） 2011.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题 卷和答题卡一并交回。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项. 1．设全集U R ， { | ( 2) 0 }A x x x= - < ， { | ln(1 ) }B x y x= = - ，则 U( )A BI C 是 （A） 2, 1（ ） （B）[1, 2) （C） ( 2, 1] （D） 1, 2（ ） 2．要得到函数 sin 2 4y x  （ ）的图象，只要将函数 sin 2y x 的图象 （A）向左平移 4  单位 （B）向右平移 4  单位 （C）向右平移 8  单位 （D）向左平移 8  单位 3．设a ， b ， g 是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题 ①若a b^ ， b g^ ，则   ； ②若l 上两点到 的距离相等，则 //l ； ③若 l a^ ， //l b ，则a b^ ； ④若 //a b ，l bË ，且 //l a ，则 //l b . 其中正确的命题是 （A）①② （B）②③ （C）②④ (D)③④ 4．下列 函数中，在 ( 1, 1)- 内有零点且单调递增的是 （A） 1 2 logy x= （B） 2 1xy = - （C） 2 1 2y x= - (D) 3y x=- 5．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 2n nS a= - , 则 2a 等于 （A） 4 （B）2 （C）1 （D） -2 6.若 A 为不等式组 0, 0, 2 x y y x     ≤ ≥ ≤ 表示的平面区域，则 a 从-2 连续变化到 1 时，动直线 x y a  扫过 A 中的那部分区域的面积为 （A） 9 13 （B）3 13 （C） 7 2 (D) 7 4 7．在 ABC 中， M 是 BC 的中点， 1AM  ，点 P 在 AM 上且满足 2AP PM  ，则 ( )PA PB PC    等于 （A） 4 9  （B） 4 3  （C） 4 3 (D) 4 9 8．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D- 中， E ， F 分别为 棱 1DD ， AB 上的点. 已知下列判断： ① 1AC ^ 平面 1B EF ；② 1B EFD 在侧面 1 1BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1 1 1 1A B C D 内总存在与平面 1B EF 平行的直线；④平 面 1B EF 与平面 ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点 E 的位置有关，与点 F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A）1个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9．已知 3cos( ) 5x   ， ( , 2 )x   ，则 tan x  . 10．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点 B ，CD 切⊙O 于 点 D ，CD 交 BA 的延长线于点 E .若 3AB  ， 2ED  ，则 BC 的长为________. 11．曲线 cos , 1 sin x y       （ 为参数）与曲线 2 2 cos 0r r q- = 的 直角坐标方程分别为 ， ，两条曲线的交 点个数为 个. 12. 已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的 侧 面 积 等 于 . 13．已知点 1F ， 2F 分别是双曲线 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a b a b     的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ， B 两点，若 2ABF 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取 值范围是 . 14． 已知数列 *{ } ( )na n Î N 满足： * 1log ( 2) ( )n na n n N   ，定义使 1 2 3 ...... ka a a a    为整数的数 * ( )k k N 叫做企盼数，则区间 [1, 2011] 内所有的企盼数的和为 . E D C BA O 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分 13 分） 已知△ ABC 中， 2sin cos sin cos cos sinA B C B C B  . （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）设向量 (cos , cos2 )A Am ， 12( , 1)5  n ，求当 m n 取最小值时， )4tan( A 值. 16．（本小题满分 13 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， 2AC BC= = ， 90ACBÐ = o ，侧面 PAB 为等边三角形， 侧棱 2 2PC = ． （Ⅰ）求证： PC AB ； （Ⅱ）求证：平面 PAB ^ 平面 ABC ； （Ⅲ）求二面角 B AP C  的余弦值． 17．（本小题满分 13 分） 已知函数 1( ) ln 1af x x ax x     ( )a R . （Ⅰ）当 1a   时，求曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线方程； （Ⅱ）当 10 2a≤  时，讨论 ( )f x 的单调性. 18．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) 1f x ax bx   （ , a b 为实数， 0a  ， xR ）， ( ) 0,( ) ( ) 0. f x xF x f x x    （Ⅰ）若 ( 1) 0f   ， 且函数 ( )f x 的值域为[0, )  ，求 ( )F x 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当 [ 2, 2]x  时， ( ) ( )g x f x kx  是单调函数，求实数 k 的取值范围； （Ⅲ）设 0mn  ， 0m n  ， 0a  ，且函数 ( )f x 为偶函数，判断 ( ) ( )F m F n 是 否大于 0 ？ 2 C A B P 19．（本小题满分 14 分） 设椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 的左、右焦点分别为 1 2, F F ，上顶点为 A ，过点 A 与 2AF 垂直的直线交 x 轴负半轴于点Q ，且 1 2 22F F F Q+ = 0 uuuur uuur ，若过 A ，Q ， 2F 三点的圆恰 好与直线l ： 033  yx 相切. 过定点 (0, 2)M 的直线 1l 与椭圆C 交于G ， H 两点（点 G 在点 M ， H 之间）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线 1l 的斜率 0k > ，在 x 轴上是否存在点 ( , 0)P m ，使得以 PG ， PH 为邻边的平行四 边形是菱形. 如果存在，求出 m 的取值范围， 如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数 λ 满足 MG MH  ，求  的取值范围. 20．（本小题满分 14 分） 已知函数 2( ) 1 ax bf x cx   （ a ，b ， c 为常数， 0a  ）. （Ⅰ）若 0c  时，数列{ }na 满足条件：点 ( , )nn a 在函数 2( ) 1 ax bf x cx   的图象上，求{ }na 的前 n 项和 nS ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 3 7a  ， 4 24S  ， , p q N （ p q ）， 证明： 2 2 1 ( )2p q p qS S S   ； （Ⅲ）若 1c  时， ( )f x 是奇函数， (1) 1f  ，数列{ }nx 满足 1 1 2x  ， 1 ( )n nx f x  ， 求证： 2 22 2 3 11 2 1 2 2 3 1 ( ) ( )( ) 5 16 n n n n x x x xx x x x x x x x         . 北京市朝阳区 2010～2011 学年度高三年级第一学期期末统一考试 xO y Q A · · F2F1 数学试卷（理科）参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B A D A B 二．填空题： 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4 3 3 2 2 2 2( 1) 1, ( 1) 1x y x y+ - = - + = ,2 9 3 (1, 1 2) 2026 三．解答题： 15．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 2sin cos sin cos cos sinA B C B C B  ， 所以 2sin cos sin( ) sin( ) sinA B B C A A      . …………………… 3 分 因为 0 A p< < ，所以sin 0A ¹ . 所以 1cos 2B  . ……………………………………………………… 5 分 因为 0 B p< < ，所以 3B  . ……………………………………… 7 分 （Ⅱ）因为 12 cos cos25 A A   m n ， ……………………………………… 8 分 所以 2 212 3 43cos 2cos 1 2(cos )5 5 25A A A       m n . ……………… 10 分 所以当 3cos 5A  时， m n 取得最小值. 此时 4sin 5A  （ 0 A p< < ），于是 4tan 3A  . …………………………… 12 分 所以 tan 1 1tan( )4 tan 1 7 AA A     . ……………………………………… 13 分 16．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设 AB 中点为 D ，连结 PD ，CD ，………… 1 分 因为 AP BP= ，所以 PD AB^ . 又 AC BC= ，所以CD AB^ . ………………… 2 分 因为 PD CD D=I ，所以 AB ^ 平面 PCD . 因为 PC Ì平面 PCD ，所以 PC AB^ . ……… 4 分 （Ⅱ）由已知 90ACBÐ = o ， 2AC BC= = ， 所以 2AD BD CD= = = ， 2 2AB = . C A B P E D 又 PABD 为正三角形，且 PD AB^ ，所以 6PD = . …………………… 6 分 因为 2 2PC = ，所以 2 2 2PC CD PD= + . 所以 90CDPÐ = o . 由（Ⅰ）知 CDPÐ 是二面角 P AB C- - 的平面角. 所以平面 PAB ^ 平面 ABC . …………………………………………… 8 分 （Ⅲ）方法 1：由（Ⅱ）知CD ^ 平面 PAB . 过 D 作 DE PA^ 于 E ，连结CE ，则 CE PA^ . 所以 DECÐ 是二面角 B AP C- - 的平面角. ………………………………… 10 分 在 Rt CDED 中，易求得 6 2DE = . 因为 2CD = ，所以 2 3tan 3 CDDEC DEÐ = = . ………………………… 12 分 所以 21cos 7DECÐ = . 即二面角 B AP C- - 的余弦值为 21 7 . …………………………………… 13 分 方法 2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知 DC ， DB ， DP 两两垂直. ……………………… 9 分 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知 (0, 0, 0)D ， ( 2, 0, 0)C ， (0, 2, 0)A - ， (0, 0, 6)P . 所以 ( 2, 2, 0)AC = uuur ， ( 2, 0, 6)PC = - uuur . ……………………… 10 分 设平面 PAC 的法向量为 ( , , )x y z=n ， 则 0, 0. AC PC ìï × =ïïíï × =ïïî uuur uuur n n 即 2 2 0, 2 6 0. x y x z ìï + =ïíï - =ïî 令 1x = ，则 1y =- ， 3 3z = . 所以平面 PAC 的一个法向量为 3(1, 1, )3= -n . ……………………… 11 分 易知平面 PAB 的一个法向量为 ( 2, 0, 0)DC = uuur . x C A B P D y z 所以 21cos , 7| || | DCDC DC ×< >= = uuuruuur uuurnn n . …………………………………… 12 分 由图可知，二面角 B AP C- - 为锐角. 所以二面角 B AP C- - 的余弦值为 21 7 . …………………………………… 13 分 17．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：当 1a = - 时， 2( ) ln 1f x x x x= + + - ， (0, )x Î +¥ . 所以 2 2 2( ) x xf x x + -=′ ， (0, )x Î +¥ . ………（求导、定义域各一分） 2 分 因此 (2) 1f =′ . 即曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线斜率为 1. ………… 3 分 又 (2) ln 2 2f = + ， …………………………………………………… 4 分 所以曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线方程为 ln 2 0x y- + = . ……… 5 分 （Ⅱ）因为 11ln)(  x aaxxxf ， 所以 2 1 1( ) af x ax x -= - +′ 2 2 1 x axax  ， (0, )x Î +¥ . ………… 7 分 令 2( ) 1g x ax x a= - + - ， (0, )x Î +¥ ， ①当 0a  时， ( ) 1g x x=- + ， (0, )x Î +¥ ， 当 (0, 1)x Î 时， ( ) 0g x > ，此时 ( ) 0f x′  ，函数 ( )f x 单调递减；……… 8 分 当 (1, )x   时， ( ) 0g x  ，此时 ( ) 0f x′  ，函数 ( )f x 单调递增. …… 9 分 ②当 10 2a  时，由 ( ) 0f x′  即 2 1 0ax x a    解得 1 1x = ， 2 1 1x a= - . 此时 1 1 1 0a - > > ， 所以当 (0, 1)x Î 时， ( ) 0g x  ，此时 ( ) 0f x′  ，函数 ( )f x 单调递减；…10 分 1(1, 1)x a   时， ( ) 0g x  ，此时 '( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增；……11 分 1( 1, )x a     时， ( ) 0g x  ，此时 '( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递减. …12 分 综上所述： 当 0a  时，函数 ( )f x 在 (0, 1) 上单调递减，在 (1, )+¥ 上单调递增； 当 10 2a  时 ， 函 数 ( )f x 在 (0, 1) 上 单 调 递 减 ， 在 1(1, 1)a - 上 单 调 递 增 ； 在 1( 1, )a - +¥ 上单调递减. …………………………………………………… 13 分 18．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 ( 1) 0f   ，所以 1 0a b   . 因为 ( )f x 的值域为[0, )  ，所以 2 0, 4 0. a b a      ……………………… 2 分 所以 2 4( 1) 0b b   . 解得 2b  ， 1a  . 所以 2( ) ( 1)f x x  . 所以 2 2 ( 1) 0,( ) ( 1) 0. x xF x x x       ……… …………………………… 4 分 （Ⅱ）因为 2 2( ) ( ) 2 1 (2 ) 1g x f x kx x x kx x k x          = 2 22 (2 )( ) 12 4 k kx     ， ………………………… 6 分 所以当 2 22 k  ≥ 或 2 22 k  ≤ 时 ( )g x 单调. 即 k 的范围是 ( , 2]-¥ - 或[6, )+¥ 时， ( )g x 是单调函数． …………… 8 分 （Ⅲ）因为 ( )f x 为偶函数，所以 2( ) 1f x ax  . 所以 2 2 0,( ) 0. ax xF x ax x     ……………………………………………… 10 分 因为 0mn  ， 依条件设 0m  ，则 0n  . 又 0m n  ，所以 0m n   . 所以 m n  . ………………………………………………………… 12 分 此时 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 1 1F m F n f m f n am an       2 2( ) 0a m n   . 即 ( ) ( ) 0F m F n  ． ………………………………………………… 13 分 19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：因为 1 2 22F F F Q+ = 0 uuuur uuur ， 所以 1F 为 2F Q 中点. 设Q 的坐标为 ( 3 , 0)c ， 因为 2AQ AF ， 所以 2 23 3b c c c   ， 2 24 4a c c c   ，且过 2, , A Q F 三点的圆的圆心为 1( , 0)F c ， 半径为 2c . …………………………………………… 2 分 因为该圆与直线l 相切，所以 | 3| 22 c c   . 解得 1c = ，所以 2a  ， 3b = . 故所求椭圆方程为 134 22  yx . …………………………………………… 4 分 （Ⅱ）设 1l 的方程为 2y kx  （ 0k  ）， 由 2 2 2, 14 3 y kx x y ì = +ïïïïíï + =ïïïî 得 2 2(3 4 ) 16 4 0k x kx    . 设 1 1( , )G x y ， 2 2( , )H x y ，则 1 2 2 16 3 4 kx x k     . ………………………5 分 所以 1 1 2 2( , ) ( , )PG PH x m y x m y+ = - + - = uuur uuur 1 2 1 2( 2 , )x x m y y+ - + . = 1 2 1 2( 2 , ( ) 4 )x x m k x x+ - + + 2 1 2 1 2 1 2 1( , ) ( , ( ))GH x x y y x x k x x      . 由于菱形对角线互相垂直，则 ( )PG PH   0GH  . ……………………6 分 所以 2 1 1 2 2 1 1 2( )[( ) 2 ] ( )[ ( ) 4] 0x x x x m k x x k x x- + - + - + + = . 故 2 2 1 1 2 1 2( )[( ) 2 ( ) 4 ] 0x x x x m k x x k- + - + + + = . 因为 0k  ，所以 2 1 0x x- ¹ . 所以 2 1 2 1 2( ) 2 ( ) 4 0x x m k x x k+ - + + + = 即 2 1 2(1 )( ) 4 2 0k x x k m+ + + - = . 所以 2 2 16(1 )( ) 4 2 0 3 4 kk k m k + - + - = + 解得 2 2 3 4 km k    . 即 2 3 4 m kk    . 因为 0k  ，所以 3 06 m ≤ . 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 3[ , 0)6  . ……………………… 8 分 （Ⅲ）①当直线 1l 斜率存在时， 设直线 1l 方程为 2y kx  ，代入椭圆方程 134 22  yx 得 2 2(3 4 ) 16 4 0k x kx    . 由 0  ，得 2 1 4k  . …………………………………………………… 9 分 设 1 1( , )G x y ， 2 2( , )H x y ， 则 1 2 2 16 3 4 kx x k     ， 1 2 2 4 3 4x x k   . 又 MG MH  ，所以 1 1 2 2( , 2) = ( , 2)x y λ x y- - . 所以 1 2=x λx . …… 10 分 所以 1 2 2= (1 + )x + x λ x ， 2 1 2 2=x x λx . 所以 2 21 2 1 2 2( ) = =1 + x + x x xxλ λ . 所以 2 2 2 2 16 4( )3 4 3 4 (1 ) k k k      . 整理得 2 2 64 (1 ) 3 4k     . …………………………………………… 11 分 因为 2 1 4k  ，所以 2 644 163 4k    . 即 2(1 )4 16    . 所以 14 2 16     . 解得 7 4 3 7 4 3    . 又 0 1  ，所以 7 4 3 1   . …………………………………… 13 分 ②又当直线 1l 斜率不存在时，直线 1l 的方程为 0x  ， 此时 (0, 3)G ， (0, 3)H  ， (0, 3 2)MG   ， (0, 3 2)MH    ， 2 3 2 3 MG MH    ，所以 7 4 3   . 所以 7 4 3 1 ≤ ，即所求  的取值范围是[7 4 3, 1) . ……………… 14 分 20．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：依条件有 ( )f x ax b  . 因为点 ( , )nn a 在函数 ( )f x ax b  的图象上，所以 ( )na f n an b   . 因为 1 ( 1) ( )n na a a n b an b a        ， 所以{ }na 是首项是 1a a b  ，公差为 d a 的等差数列. …………………… 1 分 所以 ( 1)( ) 2n n nS n a b a    ( 1) 2 n nnb a   . 即数列{ }na 的前 n 项和 nS ( 1) 2 n nnb a   . ……………………………… 2 分 （Ⅱ）证明：依条件有 ( ) 2 7, 4 34( ) 24.2 a b a a b a        即 3 7, 10 4 24. a b a b      解得 2, 1. a b    所以 2 1na n  . 所以 .22 )( 21 nnaanS n n  ……………………………………… 3 分 因为 2 22 ( )p q p qS S S   = 2 2 22[( ) 2( )] (4 4 ) (4 4 )p q p q p p q q       22( )p q   ， 又 p q ，所以 2 22 ( ) 0p q p qS S S    . 即 2 2 1 ( )2p q p qS S S   . …………………………………………………… 5 分 （Ⅲ）依条件 2( ) 1 ax bf x x   . 因为 ( )f x 为奇函数，所以 ( ) ( ) 0f x f x   . 即 2 2 01 1 ax b ax b x x      . 解得 0b  . 所以 2( ) 1 axf x x   . 又 (1) 1f  ，所以 2a  . 故 2 2( ) 1 xf x x   . ……………………………………………………………6 分 因为 1 ( )n nx f x  ，所以 1 2 2 1 n n n xx x   . 所以 1 1 02x   时，有 1 0nx   （ n N ）. 又 1 2 2 2( ) 11 2 n n n n n n x xx f x x x    ≤ ， 若 1 1nx   ，则 1nx  . 从而 1 1x  . 这与 1 1 2x  矛盾. 所以 10 1nx   . …………………………………………………………… 8 分 所以 1 2 1(1 ) 1 k k k k k k xx x x x x      ≤ 1 1 24 1 21k k x x     ≤ 1 1 2 1 4 82 2 2    . 所以 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 1 1( ) ( )8 k k k k k k k k k k k k x x x x x xx x x x x x             . ………………10 分 所以 2 22 2 3 11 2 1 2 2 3 1 ( ) ( )( ) n n n n x x x xx x x x x x x x        1 2 2 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]8 n nx x x x x x         1 1 1 2 1 1 1 2 1 1( ) (2 )8 8n nx x x       . …………………12 分 因为 1 1 2x  ， 1n nx x  ，所以 1 1 12 nx   . 所以 1 11 2 nx    . 所以 2 22 2 3 11 2 1 2 2 3 1 ( ) ( )( ) n n n n x x x xx x x x x x x x        3 12 1 52(2 1)8 8 16     . …14 分