专题训练(必修 1—2)
1、已知函数 ( )f x 为 R 上的偶函数,且当 0x 时, 2( ) 2 2f x x x ,
(1)求 ( )f x ( )x R 的解析式;
(2)求 ( )f x 的单调区间以及 0,3x 时的最值.
2、设函数 1( ) 27 3
1
xf x M
x
的定义域为集合 ,函数 1
2
( ) log (3 2)g x x 的定义域为
N , (1) (2) ( )RM N M N M N C M N 求: 求集合 、 求 , ,
3、已知函数 2
1( ) log .1
xf x x
(1)求 的定义域;
(2)讨论 的奇偶性;
(3)定义法证明函数 ( )f x 的单调性.
)(xf
)(xf
4、某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每辆车的月租金
每增加 50 元时,未出租的车会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的每辆车
每月每辆需要维护费 50 元。
(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益是多少?
5、函数 2( ) 1
ax bf x x
是定义在 ( 1,1) 上的奇函数,且 1 2( )2 5f 。
(1)确定函数 ( )f x 的解析式;(2)用定义证明函数 ( )f x 在 ( 1,1) 上是增函数;
(3)(理科)解不等式: ( 1) ( ) 0f t f t 。
6、如图,长方体 1111 DCBAABCD 中, 1 ADAB , 21 AA ,点 P 为 1DD 的中点。
(1)求证:直线 1BD ∥平面 PAC ;
(2)求证:直线 1PB 平面 PAC 。
7、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA 底面 ABCD,且 PA=AB=a.
(1)求证:BD 平面 PAC;
(2)求二面角 P—BD—A 的正切值.
(3)求三棱锥 P—BCD 的体积
8、如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,E、F 分别为 BC 和 PC 的中点.
(1)求证:EF∥平面 PBD;
(2)如果 AB=PD,求 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值.
B C
DA
P
P
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
8、求圆心 C 在直线 2y x 上,且经过原点及点 M(3,1)的圆 C 的方程.
9、如图,已知三角形的顶点为 (2,4)A , (0, 2)B , ( 2,3)C ,求:
(1)AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (2)求△ABC 的面积.
10、已知点 A(1,-1),B(5,1),直线l 经过点 A,且斜率为
4
3 ,
(1)求直线l 的方程。(2)求以 B 为圆心,并且与直线l 相切的圆的标准方程。
11、求过点 ( 3,3)M 且被圆 2 2 4 21 0x y y 所截得的弦长为8 的直线方程。
1、已知函数 )(xf 为 R 上的偶函数,且当 0x 时, 22)( 2 xxxf ,
(1)求 )( xf )( Rx 的解析式;
(2)求 )( xf 的单调区间以及在 0,3 上的最值.
1、解: 时,当为偶函数, 0)( xxf 222)(2)()()( 22 xxxxxfxf
0,22
0,22)( 2
2
xxx
xxxxf
0,3)1(
0,3)1()( 2
2
xx
xxxf ,其图象如图所示:
,,,单调递增区间为:,,,的单调递减区间为: 101101)(xf
min max1 1 ( ) 3 3 ( ) 1.x f x x f x 当 或 时, ;当 时, 。
2、设函数 ,的定义域为集合 Mx
x
xf x327
1
1)( 0
NMCNMNMNM
Nxxg
R )()2()1(
223log)(
2
1
,,求、求集合求:
,的定义域为)(函数
解:(1)对于 )(xf ,由 3001
3
0
1
0327
0
01
xx
x
x
x
x
x
x
或得
3001| xxxM 或
对于 )(xg ,由 4230,2)23(log02)23(log
2
1
2
1 xxx ,得
—1
—3
1
23
2|,23
2 xxNx
(2) 3001| xxxNM 或 ,
23
2| xxNM
301| xxxxMC R 或或
323
201|)( xxxxxNMC R 或或或
3、函数 21)( x
baxxf
是定义在 )1,1( 上的奇函数,且
5
2)2
1( f 。
(1)确定函数 )(xf 的解析式;(2)用定义证明函数 )(xf 在 )1,1( 上是增函数;
(3)解不等式: 0)()1( tftf 。
(1)解: )(xf 是定义在(—1,1)上的奇函数, 0)0( bf ,
又 21
)(15
2
4
11
2)2
1( x
xxfa
a
f
,, ;
(2)证明:任取 11 21 xx ,则
)1)(1(
)()(
)1)(1(11
)()( 2
2
2
1
122112
2
2
2
1
2
211
2
122
2
1
1
2
2
2
12 xx
xxxxxx
xx
xxxxxx
x
x
x
xxfxf
11,0)1)(1(,0,11 21
2
2
2
11221 xxxxxxxx 又
0)()(,01 1221 xfxfxx
函数 )(xf 在 )1,1( 上是增函数;
(3)解:
)2
1,0(
,2
10
,111
)1,1()(
)()()1(
)(,0)()1(
即不等式解集为:
解得
上是增函数,在又
是奇函数,
t
tt
xf
tftftf
xftftf
某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每辆车的月租金每
增加 50 元时,未出租的车会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的每辆车每
月每辆需要维护费 50 元。
(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益是多少?
解:(1)当月租金为 3600 时,未出租的车有: 1250
30003600 (辆),
所以租出的车有 88 辆;
(2)设月租金定为 x ,则月收益为
21000162505050
3000)150)(50
3000100(
2
xxxxxy
307050)4050(50
1 2 x
307050)(4050 max xfx 时,当
答:略
对于函数 )(xf ,若存在实数 0x 使得 00 )( xxf ,则称 0x 为函数 )(xf 的不动点。已知函数
)0(1)1()( 2 abxbaxxf
(1)当 2,1 ba 时,求函数 )(xf 的不动点;
(2)对于任意实数 b,函数 )(xf 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;
(3)(理科)在(2)的条件下,若函数 )(xf 的图象上 A,B 两点的横坐标是函数 )(xf 的不动点,
且 A,B 两点关于直线
12
1
2
akxy 对称,求 b 的最小值。
.4
2
2
212
4
2
22
1
12
1
12
1012
1
22
12
1
212
1
22
3
1001616
0440)1(4
01)(2
31)(3)1(
min
2
2
2200
21
0
21
2
22
2
2
baaa
aaa
ab
aaa
b
a
bxyAB
aa
b
akxya
bxxx
ABxxBA
aaa
baabbbab
bbxaxxf
xfxxx
时,,即当且仅当
,
,又上,中点在又
中点的纵坐标,
中点的横坐标为:,则,两点横坐标分别为,)设(
;,’
恒成立,对任意的实数,即
恒有两个相异的实根,
,等价于方程:恒有两个相异的不动点)(
;,的不动点为:,解得由
如图,长方体 1111 DCBAABCD 中, 1 ADAB , 21 AA ,点 P 为 1DD 的中点。
(1)求证:直线 1BD ∥平面 PAC ;
(2)求证:直线 1PB 平面 PAC 。
解:(1)设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO,
由 P,O 分别是 1DD ,BD 的中点,故 PO// 1BD ,
所以直线 1BD ∥平面 PAC --(4 分)
(2)PC2=2,PB12=3,B1C2=5,所以△PB1C 是直角三角形。
1PB PC,
同理 1PB PA,所以直线 1PB 平面 PAC 。
4、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA 底面 ABCD,且 PA=AB=a.
(1)求证:BD 平面 PAC;
(2)求二面角 P—BD—A 的正切值.
(3)求三棱锥 P—BCD 的体积
解:(1)∵PA 底面 ABCD,∴ PA BD.
B C
DA
P
P
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
又 ∵底面 ABCD 是正方形,∴ BD AC
且 PA AC A ∴ BD AC 平面P
(2)设 AC 与 BD 交于点 O,∵ PO PAC平面 且由(1)得 BD PO
又∵ BD AO ∴ POA 即为二面角 P-BD-A 的平面角。
在 Rt PAO 中,PA=a,AO= 2
2 a ,∴tan POA = PA
AO =
2
2
a
a
= 2
(3). 1
3 BCDV PA S 2 31 1 1
3 2 6a a a
5、求圆心 C 在直线 2y x 上,且经过原点及点 M(3,1)的圆 C 的方程.
解:设圆心 C 的坐标为( ,2a a ),则| | | |OC OM ,即
2 2 2 2(2 ) ( 3) (2 1)a a a a ,解得 1a .
所 以 圆 心 (1,2)C , 半 径 5r . 故 圆 C 的 标 准 方 程 为 :
2 2( 1) ( 2) 5x y .
6、如图,已知三角形的顶点为 (2,4)A , (0, 2)B , ( 2,3)C ,求:
(Ⅰ)AB 边上的中线 CM 所在直线的方程;
(Ⅱ)求△ABC 的面积.
(Ⅰ)解:AB中点M的坐标是 (1,1)M ,
中线 CM 所在直线的方程是 1 1
3 1 2 1
y x
,即 2 3 5 0x y
(Ⅱ)解法一: 2 2(0 2) ( 2 4) 2 10AB ,
直线 AB 的方程是3 2 0x y ,
点 C 到直线 AB 的距离是
2 2
| 3 ( 2) 3 2 | 11
103 1
d
所以△ABC 的面积是 1 112S AB d .
解法二:设 AC 与 y 轴的交点为 D,则 D 恰为 AC 的中点,其坐标是 7(0, )2D ,
11
2BD , 11ABC ABD BDS S S △ △ △C
7、已知圆 C: 2 2 4x y ,直线 :l x y b .
(1)b 为何值时直线l 和圆相切,并求出切点坐标;(2)b 为何值时直线l 和圆相交,并求出弦长.
解: 2 2 4
x y b
x y
得 2 22 2 ( 4) 0x bx b
判别式 24 32b .
(1) 当 2 2b 时, 0 ,直线 l 和圆相切.因为切点一定在直线 y x 上,所以切点坐标为
( 2, 2) 或 ( 2, 2)
(2) 当 2 8b ,即 2 2 2 2b 时 0 ,直线l 和圆相交.
因为圆心到直线的距离为
2
b ,所以割线长为 2 2 22 2 ( ) 16 2
2
b b
已知圆 2 2:( 3) ( 4) 4C x y ,直线 1l 过定点 A(1,0).
(Ⅰ)若 1l 与圆相切,求 1l 的方程;
(Ⅱ)(理科)若 1l 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 1l 与 2 : 2 2 0l x y 的交
点为 N,求证: AM AN 为定值.
(Ⅰ)解:①若直线 1l 的斜率不存在,即直线是 1x ,符合题意.……………2 分
②若直线 1l 斜率存在,设直线 1l 为 ( 1)y k x ,即 0kx y k .
由题意知,圆心(3,4)到已知直线 1l 的距离等于半径 2,
即:
2
3 4 2
1
k k
k
………………………………………………………………4 分
解之得 3
4k .
所求直线方程是 1x ,3 4 3 0x y . …………………………………………… 6 分
(Ⅱ)解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 0kx y k
由 2 2 0
0
x y
kx y k
得 2 2 3( , )2 1 2 1
k kN k k
. ……………………………8 分
又直线 CM 与 1l 垂直,
由 14 ( 3)
y kx k
y xk
得
2 2
2 2
4 3 4 2( , )1 1
k k k kM k k
. …………………10 分
∴
2 2
2 2 2 2
2 2
4 3 4 2 2 2 3( 1) ( ) ( 1) ( )1 1 2 1 2 1
k k k k k kAM AN k k k k
2
2
2
2 | 2 1| 3 11 61 | 2 1|
k kkk k
为定值.…………………14 分
解法二:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 0kx y k
由 2 2 0
0
x y
kx y k
得 2 2 3( , )2 1 2 1
k kN k k
. ……………………………8 分
再由 2 2( 3) ( 4) 4
y kx k
x y
得 2 2 2 2(1 ) (2 8 6) 8 21 0k x k k x k k .
∴ 1 2
2
2
2 8 6
1
k kx x k
得
2 2
2 2
4 3 4 2( , )1 1
k k k kM k k
. ………………10 分
以下同解法一.
解法三:用几何法,如图所示,△AMC∽△ABN,则 AM AC
AB AN
,
可得 32 5 6
5
AM AN AC AB ,是定值.
24.证:(1)在△PBC 中,E、F 为 BC 和 PC 的中点,所以 EF∥BP.因此
EF PB
EF PBD EF PBD
PB PBD
平面 平面
平面
∥
∥ .
(2)因为 EF∥BP,PD⊥平面 ABCD,
所以∠PBD 即为直线 EF 与平面 ABCD 所成的角.
又 ABCD 为正方形,BD= 2 AB,
所以在 Rt△PBD 中, 2tan 2
PBPBD BD
.
所以 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2
2
.
25. 解:(1)因为 26 56y x *(1 5, )x x N 单增,当 5x 时, 74y (万元);
210 20y x *(5 12, )x x N 单减,当 6x 时, 90y (万元).所以 y 在 6 月份取最大值,
且 max 90y 万元.
(2)当 *1 5,x x N 时,
( 1)30 262 13 43
x xx
w xx
.
当 *5 12,x x N 时,
( 5)( 6)110 90( 5) ( 20) 6402 10 200
x xx
w xx x
.
所以 w
13 43
64010 200
x
x x
*
*
(1 5, )
(5 12, )
x x N
x x N
.
当1 5x 时, w 22;
当5 12x 时, 64200 10( ) 40w x x
,当且仅当 8x 时取等号.
从而 8x 时, w 达到最大.故公司在第 9 月份就应采取措施.