高二数学必修一、二解答题训练
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高二数学必修一、二解答题训练

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时间:2021-03-23

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资料简介
专题训练(必修 1—2) 1、已知函数 ( )f x 为 R 上的偶函数,且当 0x  时, 2( ) 2 2f x x x   , (1)求 ( )f x ( )x R 的解析式; (2)求 ( )f x 的单调区间以及  0,3x 时的最值. 2、设函数 1( ) 27 3 1 xf x M x     的定义域为集合 ,函数 1 2 ( ) log (3 2)g x x  的定义域为 N , (1) (2) ( )RM N M N M N C M N  求: 求集合 、 求 , , 3、已知函数 2 1( ) log .1 xf x x   (1)求 的定义域; (2)讨论 的奇偶性; (3)定义法证明函数 ( )f x 的单调性. )(xf )(xf 4、某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每辆车的月租金 每增加 50 元时,未出租的车会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的每辆车 每月每辆需要维护费 50 元。 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益是多少? 5、函数 2( ) 1 ax bf x x   是定义在 ( 1,1) 上的奇函数,且 1 2( )2 5f  。 (1)确定函数 ( )f x 的解析式;(2)用定义证明函数 ( )f x 在 ( 1,1) 上是增函数; (3)(理科)解不等式: ( 1) ( ) 0f t f t   。 6、如图,长方体 1111 DCBAABCD  中, 1 ADAB , 21 AA ,点 P 为 1DD 的中点。 (1)求证:直线 1BD ∥平面 PAC ; (2)求证:直线 1PB  平面 PAC 。 7、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA  底面 ABCD,且 PA=AB=a. (1)求证:BD  平面 PAC; (2)求二面角 P—BD—A 的正切值. (3)求三棱锥 P—BCD 的体积 8、如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,E、F 分别为 BC 和 PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 PBD; (2)如果 AB=PD,求 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值. B C DA P P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A 8、求圆心 C 在直线 2y x 上,且经过原点及点 M(3,1)的圆 C 的方程. 9、如图,已知三角形的顶点为 (2,4)A , (0, 2)B  , ( 2,3)C  ,求: (1)AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (2)求△ABC 的面积. 10、已知点 A(1,-1),B(5,1),直线l 经过点 A,且斜率为 4 3 , (1)求直线l 的方程。(2)求以 B 为圆心,并且与直线l 相切的圆的标准方程。 11、求过点 ( 3,3)M  且被圆 2 2 4 21 0x y y    所截得的弦长为8 的直线方程。 1、已知函数 )(xf 为 R 上的偶函数,且当 0x 时, 22)( 2  xxxf , (1)求 )( xf )( Rx  的解析式; (2)求 )( xf 的单调区间以及在 0,3 上的最值. 1、解: 时,当为偶函数, 0)(  xxf 222)(2)()()( 22  xxxxxfxf      0,22 0,22)( 2 2 xxx xxxxf      0,3)1( 0,3)1()( 2 2 xx xxxf ,其图象如图所示:       ,,,单调递增区间为:,,,的单调递减区间为: 101101)(xf min max1 1 ( ) 3 3 ( ) 1.x f x x f x     当 或 时, ;当 时, 。 2、设函数 ,的定义域为集合 Mx x xf x327 1 1)( 0    NMCNMNMNM Nxxg R  )()2()1( 223log)( 2 1 ,,求、求集合求: ,的定义域为)(函数  解:(1)对于 )(xf ,由 3001 3 0 1 0327 0 01              xx x x x x x x 或得  3001|  xxxM 或 对于 )(xg ,由 4230,2)23(log02)23(log 2 1 2 1  xxx ,得 —1 —3 1    23 2|,23 2 xxNx (2)  3001|  xxxNM 或 ,    23 2| xxNM   301|  xxxxMC R 或或    323 201|)( xxxxxNMC R 或或或 3、函数 21)( x baxxf   是定义在 )1,1( 上的奇函数,且 5 2)2 1( f 。 (1)确定函数 )(xf 的解析式;(2)用定义证明函数 )(xf 在 )1,1( 上是增函数; (3)解不等式: 0)()1(  tftf 。 (1)解: )(xf 是定义在(—1,1)上的奇函数, 0)0(  bf , 又 21 )(15 2 4 11 2)2 1( x xxfa a f     ,, ; (2)证明:任取 11 21  xx ,则 )1)(1( )()( )1)(1(11 )()( 2 2 2 1 122112 2 2 2 1 2 211 2 122 2 1 1 2 2 2 12 xx xxxxxx xx xxxxxx x x x xxfxf         11,0)1)(1(,0,11 21 2 2 2 11221  xxxxxxxx 又 0)()(,01 1221  xfxfxx 函数 )(xf 在 )1,1( 上是增函数; (3)解: )2 1,0( ,2 10 ,111 )1,1()( )()()1( )(,0)()1( 即不等式解集为: 解得 上是增函数,在又 是奇函数,      t tt xf tftftf xftftf   某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每辆车的月租金每 增加 50 元时,未出租的车会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的每辆车每 月每辆需要维护费 50 元。 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益是多少? 解:(1)当月租金为 3600 时,未出租的车有: 1250 30003600  (辆), 所以租出的车有 88 辆; (2)设月租金定为 x ,则月收益为 21000162505050 3000)150)(50 3000100( 2  xxxxxy 307050)4050(50 1 2  x 307050)(4050 max  xfx 时,当 答:略 对于函数 )(xf ,若存在实数 0x 使得 00 )( xxf  ,则称 0x 为函数 )(xf 的不动点。已知函数 )0(1)1()( 2  abxbaxxf (1)当 2,1  ba 时,求函数 )(xf 的不动点; (2)对于任意实数 b,函数 )(xf 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)(理科)在(2)的条件下,若函数 )(xf 的图象上 A,B 两点的横坐标是函数 )(xf 的不动点, 且 A,B 两点关于直线 12 1 2  akxy 对称,求 b 的最小值。 .4 2 2 212 4 2 22 1 12 1 12 1012 1 22 12 1 212 1 22 3 1001616 0440)1(4 01)(2 31)(3)1( min 2 2 2200 21 0 21 2 22 2 2           baaa aaa ab aaa b a bxyAB aa b akxya bxxx ABxxBA aaa baabbbab bbxaxxf xfxxx 时,,即当且仅当 , ,又上,中点在又 中点的纵坐标, 中点的横坐标为:,则,两点横坐标分别为,)设( ;,’ 恒成立,对任意的实数,即 恒有两个相异的实根, ,等价于方程:恒有两个相异的不动点)( ;,的不动点为:,解得由   如图,长方体 1111 DCBAABCD  中, 1 ADAB , 21 AA ,点 P 为 1DD 的中点。 (1)求证:直线 1BD ∥平面 PAC ; (2)求证:直线 1PB  平面 PAC 。 解:(1)设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO, 由 P,O 分别是 1DD ,BD 的中点,故 PO// 1BD , 所以直线 1BD ∥平面 PAC --(4 分) (2)PC2=2,PB12=3,B1C2=5,所以△PB1C 是直角三角形。 1PB  PC, 同理 1PB  PA,所以直线 1PB  平面 PAC 。 4、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA  底面 ABCD,且 PA=AB=a. (1)求证:BD  平面 PAC; (2)求二面角 P—BD—A 的正切值. (3)求三棱锥 P—BCD 的体积 解:(1)∵PA  底面 ABCD,∴ PA  BD. B C DA P P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A 又 ∵底面 ABCD 是正方形,∴ BD AC 且 PA AC A  ∴ BD AC 平面P (2)设 AC 与 BD 交于点 O,∵ PO PAC平面 且由(1)得 BD  PO 又∵ BD AO ∴ POA 即为二面角 P-BD-A 的平面角。 在 Rt PAO 中,PA=a,AO= 2 2 a ,∴tan POA = PA AO = 2 2 a a = 2 (3). 1 3 BCDV PA S  2 31 1 1 3 2 6a a a    5、求圆心 C 在直线 2y x 上,且经过原点及点 M(3,1)的圆 C 的方程. 解:设圆心 C 的坐标为( ,2a a ),则| | | |OC OM ,即 2 2 2 2(2 ) ( 3) (2 1)a a a a     ,解得 1a  . 所 以 圆 心 (1,2)C , 半 径 5r  . 故 圆 C 的 标 准 方 程 为 : 2 2( 1) ( 2) 5x y    . 6、如图,已知三角形的顶点为 (2,4)A , (0, 2)B  , ( 2,3)C  ,求: (Ⅰ)AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (Ⅱ)求△ABC 的面积. (Ⅰ)解:AB中点M的坐标是 (1,1)M , 中线 CM 所在直线的方程是 1 1 3 1 2 1 y x    ,即 2 3 5 0x y   (Ⅱ)解法一: 2 2(0 2) ( 2 4) 2 10AB       , 直线 AB 的方程是3 2 0x y   , 点 C 到直线 AB 的距离是 2 2 | 3 ( 2) 3 2 | 11 103 1 d       所以△ABC 的面积是 1 112S AB d   . 解法二:设 AC 与 y 轴的交点为 D,则 D 恰为 AC 的中点,其坐标是 7(0, )2D , 11 2BD  , 11ABC ABD BDS S S  △ △ △C 7、已知圆 C: 2 2 4x y  ,直线 :l x y b  . (1)b 为何值时直线l 和圆相切,并求出切点坐标;(2)b 为何值时直线l 和圆相交,并求出弦长. 解: 2 2 4 x y b x y      得 2 22 2 ( 4) 0x bx b    判别式 24 32b   . (1) 当 2 2b   时, 0 ,直线 l 和圆相切.因为切点一定在直线 y x 上,所以切点坐标为 ( 2, 2) 或 ( 2, 2)  (2) 当 2 8b  ,即 2 2 2 2b   时 0 ,直线l 和圆相交. 因为圆心到直线的距离为 2 b ,所以割线长为 2 2 22 2 ( ) 16 2 2 b b   已知圆 2 2:( 3) ( 4) 4C x y    ,直线 1l 过定点 A(1,0). (Ⅰ)若 1l 与圆相切,求 1l 的方程; (Ⅱ)(理科)若 1l 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 1l 与 2 : 2 2 0l x y   的交 点为 N,求证: AM AN 为定值. (Ⅰ)解:①若直线 1l 的斜率不存在,即直线是 1x  ,符合题意.……………2 分 ②若直线 1l 斜率存在,设直线 1l 为 ( 1)y k x  ,即 0kx y k   . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 1l 的距离等于半径 2, 即: 2 3 4 2 1 k k k     ………………………………………………………………4 分 解之得 3 4k  . 所求直线方程是 1x  ,3 4 3 0x y   . …………………………………………… 6 分 (Ⅱ)解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 0kx y k   由 2 2 0 0 x y kx y k        得 2 2 3( , )2 1 2 1 k kN k k    . ……………………………8 分 又直线 CM 与 1l 垂直, 由 14 ( 3) y kx k y xk       得 2 2 2 2 4 3 4 2( , )1 1 k k k kM k k      . …………………10 分 ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 2 2 2 3( 1) ( ) ( 1) ( )1 1 2 1 2 1 k k k k k kAM AN k k k k               2 2 2 2 | 2 1| 3 11 61 | 2 1| k kkk k       为定值.…………………14 分 解法二:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 0kx y k   由 2 2 0 0 x y kx y k        得 2 2 3( , )2 1 2 1 k kN k k    . ……………………………8 分 再由 2 2( 3) ( 4) 4 y kx k x y        得 2 2 2 2(1 ) (2 8 6) 8 21 0k x k k x k k        . ∴ 1 2 2 2 2 8 6 1 k kx x k     得 2 2 2 2 4 3 4 2( , )1 1 k k k kM k k      . ………………10 分 以下同解法一. 解法三:用几何法,如图所示,△AMC∽△ABN,则 AM AC AB AN  , 可得 32 5 6 5 AM AN AC AB      ,是定值. 24.证:(1)在△PBC 中,E、F 为 BC 和 PC 的中点,所以 EF∥BP.因此 EF PB EF PBD EF PBD PB PBD      平面 平面 平面 ∥ ∥ . (2)因为 EF∥BP,PD⊥平面 ABCD, 所以∠PBD 即为直线 EF 与平面 ABCD 所成的角. 又 ABCD 为正方形,BD= 2 AB, 所以在 Rt△PBD 中, 2tan 2 PBPBD BD    . 所以 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 2 . 25. 解:(1)因为 26 56y x  *(1 5, )x x N   单增,当 5x  时, 74y  (万元); 210 20y x  *(5 12, )x x N   单减,当 6x  时, 90y  (万元).所以 y 在 6 月份取最大值, 且 max 90y  万元. (2)当 *1 5,x x N   时, ( 1)30 262 13 43 x xx w xx       . 当 *5 12,x x N   时, ( 5)( 6)110 90( 5) ( 20) 6402 10 200 x xx w xx x            . 所以 w  13 43 64010 200 x x x    * * (1 5, ) (5 12, ) x x N x x N       . 当1 5x  时, w  22; 当5 12x  时, 64200 10( ) 40w x x     ,当且仅当 8x  时取等号. 从而 8x  时, w 达到最大.故公司在第 9 月份就应采取措施.

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