海淀区九年级第二学期期末练习
数 学 2018．5
学校 姓名 成绩
考
生
须
知
1．本试卷共 8页，共三道大题，28道小题，满分 100分。考试时间 120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共 16分，每小题 2分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．
1．若代数式
3
1x
有意义，则实数 x的取值范围是
A . 1x B. 1x
C. 1x D. 0x
2．如图，圆O的弦GH ， EF，CD， AB中最短的是
A . GH B. EF
C. CD D. AB
3．2018年 4月 18日，被誉为“中国天眼”的 FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉
冲星自转周期为 0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表
示应为
A. -25.19 10 B. -35.19 10 C. -5519 10 D. -6519 10
4．下列图形能折叠成三棱柱．．．的是
A B
C D
5．如图，直线DE经过点 A，DE BC∥ ， =45B °， 1=65 °，则 2 等于
A．60 °
B．65 °
C．70 °
D．75°
6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，
称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 AC高为 a．已知，冬至时北京的正午日光
入射角 ABC 约为 26.5 °，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即 BC的长）约为
A． sin 26.5a B．
tan 26.5
a
C． cos 26.5a D．
cos 26.5
a
7．实数 , ,a b c在数轴上的对应点的位置如图所示，若 a b ，
则下列结论中一定成立的是
A. 0b c B． 2a c
C. 1b
a
D. 0abc
8．“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复
习的单词个数的比值.右图描述了某次单词复习中 , , ,M N S T 四位同学的单词记忆效
率 y与复习的单词个数 x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词
个数最多的是
A．M B．N
C． S D．T
二、填空题（本题共 16分，每小题 2分）
9． 分解因式： 23 6 3a a ．
10．如图， AB 是⊙O的直径，C是⊙O上一点， 6OA ， 30B ，则
图中阴影部分的面积为 ．
11．如果 3m n ，那么代数式
n m m
m n n m
的值是 ．
12．如图，四边形 ABCD与四边形 1 1 1 1A B C D 是以O为位似中心的位似图形，满足 1 1=OA A A，E F， ， 1E ， 1F
分别是 AD BC， ， 1 1A D ， 1 1BC 的中点，则 1 1 =E F
EF
．
13．2017年全球超级计算机 500强名单公布，中国超级计算机“神威·太湖之光”和“天河二号”携手夺得前
两名．已知“神威·太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的 2.74倍．这两种超级计算机分别进行 100亿
亿次浮点运算，“神威·太湖之光”的运算时间比“天河二号”少 18.75秒，求这两种超级计算机的浮点运算速
度．设“天河二号”的浮点运算速度为 x亿亿次/秒，依题意，可列方程为 ．
14．袋子中有 20 个除颜色外完全相同的小球. 在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后
放回，将球摇匀. 重复上述过程 150 次后，共摸到红球 30 次，由此可以估计口袋中的红球个数是__________.
.
15．下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段 AB．
求作：以 AB为斜边的一个等腰直角三角形 ABC．
作法：如图，
（1）分别以点 A和点 B为圆心，大于
1
2
AB的长为
半径作弧，两弧相交于 P，Q两点；
（2）作直线 PQ，交 AB于点O；
（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线 PQ于点C；
（4）连接 AC，BC．
则 ABC△ 即为所求作的三角形．
请回答：在上面的作图过程中，① ABC△ 是直角三角形的依据是 ；② ABC△ 是等腰三角形的依据
是 ．
16．在平面直角坐标系 xOy中，点 ( 2, )A m 绕坐标原点O顺时针旋转90后，恰好落在右图中阴影区域（包括
边界）内，则m的取值范围是 .
三、解答题（本题共 68分，第 17~22题，每小题 5分；第 23~26小题，每小题 6分；第 27~28小题，每小题 7
分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：
0 2118 4sin 45 ( 2 2) ( )
2
．
18．解不等式
2 2
2 3
x xx
，并把解集在数轴上表示出来.
19．如图，四边形 ABCD中， 90C °，BD平分 ABC ， 3AD ，E为 AB 上一点， 4AE ， 5ED ，
求CD的长．
20．关于 x的一元二次方程 2 ( 3) 3 0x m x m .
（1）求证：方程总有实数根；
（2）请给出一个m的值，使方程的两个根中只有．．一个根小于4 .
21．如图，在四边形 ABCD中， AB CD ， BD交 AC于G， E是 BD的中点，连接 AE并延长，交CD于
点 F ， F 恰好是CD的中点.
（1）求
BG
GD
的值；
（2）若CE EB ，求证：四边形 ABCF 是矩形.
22．已知直线 l过点 (2, 2)P ，且与函数 ( 0)ky x
x
的图象相交于 ,A B两点，与 x轴、 y轴分别交于点 ,C D，
如图所示，四边形 ,ONAE OFBM 均为矩形，且矩形
OFBM 的面积为3.
（1）求 k的值；
（2）当点B的横坐标为3时，求直线 l的解析式及线段 BC 的
长；
（3）如图是小芳同学对线段 ,AD BC 的长度关系的思考示意
图.
记点 B的横坐标为 s，已知当 2 3s 时，线段 BC的长
随 s的增大而减小，请你参考小芳的示意图判断：当 3s
时，线段BC的长随 s的增大而 .（填“增
大”、“减小”或“不变”）
23．如图， AB是 O 的直径，M 是OA的中点，弦CD AB 于点M ，过点D作DE CA 交CA的延长线
于点 E .
（1）连接 AD，则 OAD = ；
（2）求证：DE与 O 相切；
（3）点F在BC上， 45CDF ，DF交 AB于点 N .若 3DE ，求 FN的长.
24．如图是甲、乙两名射击运动员的 10次射击测试成绩的折线统计图.
（1）根据折线图把下列表格补充完整；
运动员 平均数 中位数 众数
甲 8.5 9
乙 8.5
（2） 根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由.
25．小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目 收费标准
3 公里以内收费 13 元
基本单价 2.3 元/公里
…… ……
备注：出租车计价段里程精确到 500 米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入。
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程 3 公里以
上时，计价器每 500 米计价 1 次，且每 1公里中前 500 米计价 1.2 元，后 500 米计价 1.1 元.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为 x（单位：公里），相应的实付车费为 y（单位：元）.
（1）下表是 y随 x的变化情况
行驶里程数 x 0 0＜x＜3.5 3.5≤x＜4 4≤x＜4.5 4.5≤x＜5 5≤x＜5.5 …
实付车费 y 0 13 14 15 …
（2）在平面直角坐标系 xOy中，画出当0 5.5x 时 y随 x变化的函数图象；
（3）一次运营行驶 x公里（ 0x ）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中
yw
x
.
①当 3,3.4x 和3.5时，平均单价依次为 1 2 3, ,w w w ，则 1 2 3, ,w w w 的大小关系是____________；（用“＜”连接）
②若一次运营行驶 x公里的平均单价w不大于行驶任意 s（ s x ）公里的平均单价 sw ，则称这次行驶的里程数
为幸运里程数.请在上图中 x轴上表示出3 4 （不包括端点）之间的幸运里程数 x的取值范围.
26．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 ( 3,1)A ， ( 1,1)B ， ( , )C m n ，其中 1n ，以点 , ,A B C为顶点的平行
四边形有三个，记第四个顶点分别为 1 2 3, ,D D D ，如图所示.
（1）若 1, 3m n ，则点 1 2 3, ,D D D 的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；
（2）是否存在点C，使得点 1 2 3, , , ,A B D D D 在同一条抛物线上？若存
在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.
27．如图，在等边 ABC△ 中， ,D E分别是边 ,AC BC 上的点，
且CD CE , 30DBC ，点C与点 F 关于 BD对称，连接 ,AF FE ， FE交 BD于G .
（1）连接 ,DE DF ，则 ,DE DF 之间的数量关系是 ；
（2）若 DBC ，求 FEC 的大小; （用 的式子表示）
（2）用等式表示线段 ,BG GF 和 FA之间的数量关系，并证明.
28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 k，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点 1( , )a b ， 2( 1, )a b ，
2 1b b k 都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的 k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例
如，函数 2y x ，当 x取值 a和 1a 时，函数值分别为 1 2b a ， 2 1b a ，故 2 1 1b b k ，因
此函数 2y x 是限减函数，它的限减系数为 1 ．
（1）写出函数 2 1y x 的限减系数；
（2） 0m ，已知
1y
x
（ 1 , 0x m x ）是限减函数，且限减系数 4k ，求m的取值范围．
（3）已知函数 2y x 的图象上一点 P，过点 P作直线 l垂直于 y轴，将函数 2y x 的图象在点 P右侧的部
分关于直线 l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数 1k ，
直接写出 P点横坐标 n的取值范围．
海淀区九年级第二学期期末练习
数学参考答案及评分标准 2018．5
一、选择题（本题共 16分，每小题 2分）
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B A C B C C
二、填空题（本题共 16分，每小题 2分）
9． 23( 1)a 10．6π 11．4 12．
1
2
13．
100 100 18.75
2.74x x
14．4
15．①直径所对的圆周角为直角
②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
16．
5 3
2
m
三、解答题（本题共 68分，第 17~22题，每小题 5分；第 23~26小题，每小题 6分；第 27~28小题，每小题 7
分）
17. 解：原式=
23 2 4 1 4
2
= 2 3 .
18. 解：去分母，得 6 3( 2) 2(2 )x x x .
去括号，得 6 3 6 4 2x x x .
移项，合并得 5 10x .
系数化为 1，得 2x .
不等式的解集在数轴上表示如下：
19. 证明：∵ 3AD ， 4AE ， 5ED ，
∴ 2 2 2AD AE ED .
∴ 90A .
∴DA AB .
∵ 90C .
∴DC BC .
∵ BD平分 ABC ，
∴DC AD .
∵ 3AD ，
∴ 3CD .
20．（1）证明：依题意，得
2 2[ ( 3)] 4 1 3 ( 3)m m m .
∵
2( 3) 0m ，
∴方程总有实数根.
(2) 解：∵原方程有两个实数根 3，m，
∴取 4m ，可使原方程的两个根中只有．．一个根小于 4 .
注：只要 4m 均满足题意.
21．（1）解：
∵ AB∥CD，
∴ ∠ABE=∠EDC.
∵ ∠BEA=∠DEF，
∴ △ABE∽△FDE.
∴
AB BE
DF DE
.
∵ E是 BD的中点，
∴ BE=DE.
∴ AB=DF.
∵ F是 CD的中点，
∴ CF=FD.
∴ CD=2AB.
∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，
∴ △ABG∽△CDG.
∴
1
2
BG AB
GD CD
.
（2）证明：
∵ AB∥CF，AB=CF，
∴ 四边形 ABCF是平行四边形.
∵ CE=BE，BE=DE，
∴ CE=ED.
∵ CF=FD，
∴ EF垂直平分 CD.
∴ ∠CFA=90°.
∴ 四边形 ABCF 是矩形.
22．解：（1）
设点 B的坐标为（x，y），由题意得：BF y ，BM x .
∵ 矩形 OMBF的面积为 3，
∴ 3xy .
∵ B在双曲线
ky
x
上，
∴ 3k .
（2）
∵ 点 B的横坐标为 3，点 B在双曲线上，
∴ 点 B的坐标为（3，1）.
设直线 l的解析式为 y ax b .
∵ 直线 l过点 (2, 2)P ，B（3，1），
∴
2 2,
3 1.
a b
a b
解得
1,
4.
a
b
∴ 直线 l的解析式为 4y x .
∵ 直线 l与 x轴交于点 C（4，0），
∴ 2BC .
（3） 增大
23．解：（1） 60 ；
（2）连接OD，
∵CD AB ， AB是 O 的直径，
∴CM MD .
∵M 是OA的中点，
∴ AM MO .
又∵ AMC DMO ，
∴ AMC OMD△ △ .
∴ ACM ODM .
∴CA∥OD .
∵DE CA ，
∴ 90E .
∴ 180 90ODE E .
∴DE OD .
∴DE与⊙O相切．
（3）连接CF，CN，
∵OA CD 于M ，
∴M 是CD中点.
∴ NC ND .
∵ 45CDF ，
∴ 45NCD NDC .
∴ 90CND .
∴ 90CNF .
由（1）可知 60AOD .
∴
1 30
2
ACD AOD .
在Rt△CDE中， 90E ， 30ECD ， 3DE ，
∴ 6
sin30
DECD
.
在Rt△CND中， 90CND ， 45CDN ， 6CD ，
∴ sin 45 3 2CN CD .
由（1）知 2 120CAD OAD ，
∴ 180 60CFD CAD .
在Rt△CNF中， 90CNF ， 60CFN ， 3 2CN ，
∴ 6
tan60
CNFN
．
24．（1）补充表格：
运动员 平均数 中位数 众数
甲 8.5 9 9
乙 8.5 8.5 7 和 10
（2）答案不唯一，可参考的答案如下：
甲选手：和乙选手的平均成绩相同，中位数高于乙，打出 9环及以上的次数更多，打出 7环的次数较
少，说明甲选手相比之下发挥更加稳定；
乙选手：与甲选手平均成绩相同，打出 10环次数和 7环次数都比甲多，说明乙射击时起伏更大，但也
更容易打出 10环的成绩.
25．（1）
行驶里程数 x 0 0＜x＜3.5 3.5≤x＜4 4≤x＜4.5 4.5≤x＜5 5≤x＜5.5 …
实付车费 y 0 13 14 15 17 18 …
（2）如图所示：
（3）① 2 3 1w w w ；
②如上图所示.
26．解：（1） 1D （-3，3）， 2D （1，3）， 3D （-3，-1）
（2）不存在. 理由如下：
假设满足条件的 C点存在，即 A，B， 1D ， 2D ， 3D 在同一条抛物线上，则线段 AB的垂直平分线 2x
即为这条抛物线的对称轴，而 1D ， 2D 在直线 y n 上，则 1D 2D 的中点 C也在抛物线对称轴上，故
2m ，即点 C的坐标为（-2，n）.
由题意得： 1D （-4，n）， 2D （0，n）， 3D （-2，2 n ）.
注意到 3D 在抛物线的对称轴上，故 3D 为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是 22 2y a x n .
当 1x 时， 1y ，代入得 1a n .
所以 21 2 2y n x n .
令 0x ，得 4 1 2 3 2y n n n n ，解得 1n ，与 1n 矛盾.
所以 不存在满足条件的 C点.
27．（1）DE DF ；
（2）解：连接DE，DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴ 60C .
∵ DBC ，
∴ 120BDC .
∵点C与点F关于BD对称，
∴ 120BDF BDC ，DF DC .
∴ 120 2FDC .
由（1）知DE DF .
∴ F，E，C在以D为圆心，DC为半径的圆上.
∴
1 60
2
FEC FDC .
（3） BG GF FA .理由如下：
连接BF，延长 AF ，BD交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴ 60ABC BAC ， AB BC CA .
∵点C与点F关于BD对称，
∴ BF BC ， FBD CBD .
∴ BF BA .
∴ BAF BFA .
设 CBD ，
则 60 2ABF .
∴ 60BAF .
∴ FAD .
∴ FAD DBC .
由（2）知 60FEC .
∴ 60BGE FEC DBC .
∴ 120FGB ， 60FGD .
四边形 AFGB中， 360 120AFE FAB ABG FGB .
∴ 60HFG .
∴△FGH是等边三角形.
∴ FH FG ， 60H .
∵CD CE ，
∴DA EB .
在△AHD与△BGE中，
,
,
.
AHD BGE
HAD GBE
AD BE
∴△ △AHD BGE .
∴ BG AH .
∵ AH HF FA GF FA ，
∴ BG GF FA ．
28．解：（1）函数 2 1y x 的限减系数是 2；
（2）若 1m ，则 1 0m ，（ 1m ，
1
1m
）和（m，
1
m
）是函数图象上两点，
1 1 1 0
1 ( 1)m m m m
，
与函数的限减系数 4k 不符，∴ 1m ．
若
10
2
m ，（ 1t ，
1
1t
）和（ t，1
t
）是函数图象上横坐标之差为 1的任意两点，则0 t m ，
1 1 1
1 ( 1)t t t t
，
∵ ( 1) 0t t ，且 2 21 1 1 1 1( 1) ( ) ( )
2 4 2 4 4
t t t m ，
∴
1 1 4
1t t
，与函数的限减系数 4k 不符.
∴
1
2
m ．
若
1 1
2
m ，（ 1t ，
1
1t
）和（ t，1
t
）是函数图象上横坐标之差为 1的任意两点，则0 t m ，
1 1 1
1 ( 1)t t t t
，
∵ ( 1) 0t t ，且 21 1 1( 1) ( )
2 4 4
t t t ，
∴
1 1 1 4
1 ( 1)t t t t
，当
1
2
t 时，等号成立，故函数的限减系数 4k ．
∴m的取值范围是
1 1
2
m ．
（3） 1 1- n ．
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