专题 29 坐标系与参数方程（解答题）
1．在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
2
2
1
1
2
1
tx t
ty t
（t 为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 cos 3 sin 4 0 ＝ ．
（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最大值．
【试题来源】甘肃省 2021 届高三上学期第二次诊断考试（理）
【答案】（1） 2 2 1( 1)x y x ； 3 4 0x y ；（2）3．
【分析】（1）根据参数方程，消去参数，即可得到C 的普通方程；根据极坐标方程与直角
坐标方程的互化公式，可得 l 的直角坐标方程；（2）由（1）先设 C 的参数方程，根据点到
直线距离公式表示出点到直线的距离，进而可求出最值．
【解析】（1）由
2
2
2
1
1
2
1
tx t
ty t
（t 为参数），
因为
2
2
11 11
t
t
，且
22 2
2 2
2 2 2( )
1 4 11 1
t tx y t t
，
所以C 的普通方程为 2 2 1( 1)x y x ．
由 cos 3 sin 4 0 ，得 3 4 0x y ．
即直线l 的直角坐标方程为得 3 4 0x y ；
（2）由（1）可设 C 的参数方程为 cos
sin
x
y
（ 为参数， ），则 C 上的点
cos ,sin 到 3 4 0x y 的距离为 2cos 4cos 3sin 4 3
2 2
．
当
3
时， 2cos 43
取得最大值 6，故C 上的点到l 距离的最大值为 3．
【名师点睛】求圆、椭圆、双曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三
角函数，再借助三角函数的性质进行求解．需要掌握参数方程与普通方程的互化的规律，以
及三角函数的性质等．
2．数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C ： sin3 （ R， 0,2 ）
被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．
（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；
（2）射线 1l ， 2l 的极坐标方程分别为 0 ， 0 2
（ 0 0,2 ， 0 ）， 1l ， 2l 分
别交曲线C 于点 M ， N 两点，求 2 2
1 1
OM ON
的最小值．
【试题来源】河南省新乡市 2021 届高三第一次模拟考试（理）
【答案】（1） 1, 6A
， 51, 6B
， 31, 2C
；（2）4．
【分析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立 sin3
1
，解得sin3 1 ，求得 的值，进而
求得单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）代入极坐标方程，求得点 ,M N 所对应的极径
分别为 1 ， 2 ，得到 2 2,OM ON ，即可求得 2 2
1 1
| | | |OM ON
的最小值．
【解析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立 sin3
1
，解得sin3 1 ，
所以3 2 ( )2 k k Z ， 2 ( )6 3
k k Z ，
因为 0,2 ，取 k 0，1，2，得
6
， 5
6
， 3
2
，
从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为 1, 6A
， 51, 6B
， 31, 2C
．
（2）将 0 ， 0 2
代入C ： sin3 , 0,2R ，
点 M ， N 所对应的极径分别为 1 ， 2 ，所以 1 0sin3 ， 2 0cos3 ，
即 2 2
0sin 3OM ， 2 2
0cos 3ON ， 2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
| | | | sin 3 cos 3OM ON
2 2
2 2 0 0
0 02 2 2 2
0 0 0 0
sin 3 cos 31 1 sin 3 cos 3 2 4sin 3 cos 3 cos 3 sin 3
当且仅当 2
0tan 3 1 时，取得最小值 4．
3．在平面直角坐标系中 xOy 中，已知点 A(0，-1)，曲线 1C 的参数方程为 2 2cos 2sin
x t
y t
（t
为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为
2sin ，曲线 3C 的极坐标方程为 ( 0)6
．
（1）化曲线 1C 的参数方程为极坐标方程．
（2）设曲线 3C 分别交曲线 1C ， 2C 于点 PQ，求 APQ 的面积
【试题来源】四川省师范大学附属中学 2020-2021 学年高三上学期期中（理）
【答案】（1） 4cos ；（2） 3 3
2 4APQS
．
【分析】（1）消去参数t 得 2 22 4x y ，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求
得 1C 的极坐标方程．（2）设点 ,P Q 的极坐标方程为 1 2, , ,6 6
，分别求得 1 2, ，
结合面积公式，即可求解．
【解析】（1）由曲线 1C 的参数方程为 2 2cos
2sin
x t
y t
（t 为参数），
消去参数t 得 2 22 4x y ，即得 1C 的普通方程为 2 22 4x y ，
因为 sin , cosx y ，所以 1C 的极坐标方程为 2 4 cos 0 ，即 4cos ．
（2）设点 ,P Q 的极坐标方程为 1 2, , ,6 6
，
将
6
代入 4cos ，得 1 2 3 ，将
6
代入 2sin ，得 2 1 ，
所以点 0, 1A 到曲线 06
的距离 3sin 3 2d OA ，
所以 1 3 3
2 2 4APQS PQ d
．
4．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 2
2 3
x t
y t
(t 为参数)．以坐标原点为极点，
以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2
2
4
3cos 1
．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设点 A 在直线 l 上，点 B 在曲线 C 上，求 AB 的最小值．
【试题来源】江西省名校 2021 届高三上学期第二次联考（文）
【答案】（1）3 2 7 0x y ；
2
2 14
y x ；（2） 2 1313
．
【分析】（1）消参可得直线的普通方程，由 cos
sin
x
y
可求出曲线 C 的直角坐标方程．
（2）设点 B 的坐标为 cos ,2sin ，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式即可求解．
【解析】（1）消去参数t 得直线 :3 2 7l x y ，即3 2 7 0x y ，
曲线
2
2 2 2 2 2 2 2:3 cos 4,3 4, 1,4
yC x x y x
（2）曲线 C 的参数方程为 cos
2sin
x
y
，设点 (cos ,2sin )B ，点 A 在直线 l 上，
所以 3cos 4sin 7 5sin( ) 7
13 13
AB ，其中 3tan 4
，
所以 min
2 2 131313
AB ．
5．已知点 P 的极坐标为 π2, 2
，曲线C 的极坐标方程为 4cos ，过点 P 的直线l 交
曲线C 于 M ， N 两点．
（1）若在直角坐标系下直线l 的倾斜角为 ，求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求 PM PN 的最大值及对应的 值．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期 11 月月考（理）
【答案】（1） cos
2 sin
x t
y t
（t 为参数）； 2 2 4 0x y x ；（2）当 π
4
时，PM PN
取得最大值，最大值为 4 2 ．
【解析】（1）由题意可知点 P 在直角坐标系下的坐标为 0,2P ，
所以直线l 的参数方程为 cos
2 sin
x t
y t
（t 为参数），
由 4cos 得 2 4cos ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 4 0x y x ；
（2）将 cos
2 sin
x t
y t
（t 为参数）代入 2 2 4 0x y x ，
得到 2 4 sin cos 4 0t t ，设 M ， N 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ，
因为方程的两根 1t ，2t 满足 1 2 4 0t t ，且 224 sin cos 4 4 0 得 π0, 2
，
所以 1 2 1 2
π4 sin cos 4 2 sin 4PM PN t t t t
π0, 2
，
所以当 π
4
时， PM PN 取得最大值，最大值为 4 2 ．
【名师点睛】本题关键点是熟练掌握极坐标方程和普通方程的转化公式；熟练利用直线参数
方程中的参数t 的几何意义进行求解．
6．在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为
2
2
2
2 2
1
4
1
tx t
ty t
（t 为参数），以原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为
cos sin 1 0( )m m R ．
（1）求曲线 1C 和曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）已知 (1,0)P ，曲线 1C 与曲线 2C 交于 M，N 两点，若| | | | 15PM PN ，求 m 的值．
【试题来源】江西省赣州市部分重点中学 2021 届高三上学期期中考试（文）
【答案】（1） 2 2 4x y （ 2x ）， 1 0x my ；（2） 3 ．
【分析】（1）通过平方相加可消去参数 t ，即可得到曲线 1C 的直角坐标方程，通过公式
cosx ， siny ，即可得到曲线 2C 的直角坐标方程；（2）根据已知求得曲线 2C 的
标准参数方程，根据参数t 的几何意义，借助根与系数关系计算可得出结果．
【解析】（1）曲线 1C ： 2 2 4x y ( 2x )， 2
4 21x t
， 2x
由 cosx ， siny ，所以曲线 2C ： 1 0x my
（2）知点 P 在曲线 2C 上，设曲线 2C 的参数方程为 1 cos
sin
x t
y t
(t 为参数 [0, ) )
M、N 所对应的参数分别为 1t 、 2t ；
将参数方程代入曲线 1C 方程中得 2 2cos 3 0t t 1 2
1 2
2cos
3 0
t t
t t
，
1 2 1 2PM PN t t t t 24cos 12 15 ，
解得 3cos 2
， tan 3m ．
7．如图，在极坐标系Ox 中，正方形 OBCD 的边长为 1．
（1）分别求正方形 OBCD 的四条边的极坐标方程；
（2）若点 P 在边 BC 上，点Q 在边 DC 上，且
3POQ ，求 POQ△ 面积的取值范围．
【试题来源】河南省开封市 2021 届高三第一次模拟考试（理）
【答案】（1）答案见解析；（2） 12 3 3, 2POQS ．
【分析】（1）根据题中条件，可直接写出四条边对应的极坐标方程；（2）先设 POB ，
根据（1）中极坐标方程，得到 1
cosOP ，
1
sin 3
OQ
，表示出 POQ△ 的面
积，进而可求出结果．
【解析】（1）由题意知，边 OB 的极坐标方程是 0 0 1 ，
边 BC 的极坐标方程是 cos 1 0 4
，
边 CD 的极坐标方程是 sin 1 4 2
，
边OD 的极坐标方程是 0 12
．
（2）由题意，设 POB ，则| | cos 1OP ， 1| | cosOP ，
且| | sin 13OQ
，
1
sin 3
OQ
，则
1 1 1 1 3 1sin sin2 2 cos 3 4 1 3sin cos sin cos3 2 2
POQS OP OQ POQ
2
3 3 3
2sin cos 2 3cos sin 2 3(1 cos2 ) 2sin 2 33
，
因为 0, 6
，所以 3sin 2 ,13 2
， 12 3 3, 2POQS ．
【名师点睛】本题中求解三角形面积的取值范围的关键在于利用极坐标方程，得到 OP 和
OQ ，表示出三角形的面积，转化为求三角函数取值范围的问题，即可求解．
8 ． 设 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 4cos
3sin
x
y
（ 为 参 数 ）， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为
sin cos 8 ．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）设 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值，并求出距离取最小值时点
P 的坐标．
【试题来源】宁夏 2021 届高三上学期第四次月考（理）
【答案】（1）
2 2
116 9
x y ， 8x y ；（2） 3 2
2
， 16 9( , )5 5
．
【分析】（1）根据参数方程和极坐标方程的知识直接可得答案；（2）设点 P 的坐标为
(4cos ,3sin )P ，然后利用点到直线的距离公式和三角函数的知识可得答案．
【解析】（1）由题意，
2 2
: 116 9
x yC ， : 8 l x y ；
（2）设点 P 的坐标为 (4cos ,3sin )P ，点 P 到直线 l 的距离为 d，
| 4cos 3sin 8| | 5sin( ) 8|
2 2
d ，其中， 4sin 5
， 3cos 5
，
当sin( ) 1 时，d 取最小值 3 2
2
，此时 3sin cos 5
， 4cos sin 5
，
点 P 的坐标为 16 9( , )5 5
．
9．在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 cos
sin
x
y
( 为参数)．以原点 O 为极
点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin 24
．
（1）求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）设 P 为曲线 1C 上的动点，求点 P 到 2C 的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标．
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】（1）
2
2 13
x y ； 2 0x y ；（2） 2 2 ； 3 1,2 2P
【分析】（1）根据椭圆的参数方程即可得到 1C 的普通方程，利用 cosx ， siny
即可得到 2C 的直角坐标方程．（2）首先设 3 cos ,sinP ，利用点到直线的公式得到
2sin 23
2
d
，再利用三角函数的性质即可得到答案．
【解析】（1）对于曲线 1C 有 cos
3
sin
x
y
，所以 1C 的普通方程为
2
2 13
x y ．
对于曲线 2C 有 sin 24
， 2 cos sin 22
，
cos sin 2 ，即 2C 的直角坐标方程为 2 0x y ．
（2）联立 2
2
2 0
13
x y
x y
，整理可得 24 12 9 0x x ，
212 4 4 9 0 ，所以椭圆 1C 与直线 2C 无公共点，
设 3 cos ,sinP ，点 P 到直线 2 0x y 的距离为
2sin 23 cos sin 2 3
2 2
d
，
当sin 13
时， d 取最大值为 2 2 ，此时点 P 的坐标为 3 1,2 2
．
10．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 5 cos
3 3 5 sin
x
y
（ 为参数）．以
坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为
6cos ．
（1）求曲线 1C 的极坐标方程以及曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线 1 2,C C 交于 ,M N 两点，求直线 MN 的直角坐标方程及 MN 的长．
【试题来源】宁夏 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）曲线 1C 的极坐标方程： 2 6 sin 36 0 ；曲线 2C 的直角坐标方程
2 2 6 0x y x ；（2）线 MN 的直角坐标方程 6 0x y ， 3 2MN ．
【分析】（1）根据参数方程与普通方程的转化方式和极坐标方程与直角坐标方程的转换方法
化简可得；（2）根据（1）联立方程，即可得公共弦所在直线 MN 的方程，再由圆的弦长公
式，即可求出 MN 的长．
【解析】（1）依题意， 3 5 cos
3 3 5 sin
x
y
即 3 5 cos
3 3 5 sin
x
y
，
所以曲线 22
1 : 3 45C x y ，故 2 2 6 36x y y ，
即曲线 1C 的极坐标方程为 2 6 sin 36 0 ；
曲线 2C : 6cos 即 2 6 cos ，即 2 2 6 0x y x ，
则曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 6 0x y x ；
（2）联立
2 2
2 2
6 36
6 0
x y y
x y x
，两式相减可得 6 x y ，
即直线 MN 的直角坐标方程为 6 0x y ；
又圆 22
1 : 3 45C x y 的圆心为 0,3 ，半径为 3 5r ，
圆心 0,3 到直线 6 x y 的距离为 0 3 6 9 221 1
d
，
所以弦长 2 2 812 2 45 3 22MN r d ．
【名师点睛】参数方程化为普通方程时，消去参数即可；普通方程化为参数方程时，需要熟
记常见的几种曲线的参数方程；极坐标与直角坐标的互化问题，只需熟记极坐标与直角坐标
的互化公式即可．
11．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 3cos
1 3sin
x
y
( 为参数)，以原点 O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin 2 cos 0t ．
（1）求直线l 与曲线 C 的普通方程；
（2）若直线l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且 AB 4 ，求t ．
【试题来源】宁夏固原市隆德县 2021 届高三上学期期末考试（理）
【答案】（1）曲线C 的普通方程为 2 22 1 9x y ，直线 l 的普通方程为 2 0x y t ；
（2） 8 或 2．
【 分 析 】（ 1 ） 利 用 2 2cos sin 1 消 去 参 数 可 得 曲 线 C 的 普 通 方 程 ， 将
cos , sinx y 代入直线方程可得直线l 的普通方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式建立关系可求出．
【解析】（1）由 2 3cos
1 3sin
x
y
得 2 3cos
1 3sin
x
y
，
平方相加利用 2 2cos sin 1 消去参数可得 2 22 1 9x y ，
故曲线C 的普通方程为 2 22 1 9x y ，
将 cos , sinx y 代入直线方程得 2 0y x t ，
故直线l 的普通方程为 2 0x y t ；
（2）可知曲线 C 是以 2,1 为圆心，3 为半径的圆，
则圆心到直线的距离
22
2 2 1 3
52 1
t td
，
2
2 32 3 45
tAB
，解得 8t = - 或 2．
12．在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 6sin ，点 P 的极坐标为 2, 4
，以极
点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求曲线 C 的直角坐标方程和点 P 的直角坐标；
（2）已知直线
21 2:
21 2
x t
l
y t
（t 为参数），若直线 l 与曲线 C 的交点分别是 A、B，求
PA PB 的值．
【试题来源】安徽省淮南市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟（文）
【答案】（1） 22 3 9x y ； 1,1 ；（2）4．
【分析】（1） 6sin 两边同时乘以 ，由 cosx ， siny 可得直角坐标方程
以及点 P 的直角坐标．（2）将直线的参数方程代入 C 方程，利用参数t 的几何意义即可求解．
【解析】（1）由 6sin ，得 2 6 sin ，
又 cosx ， siny ，所以 2 2 6x y y ，
即曲线 C 的直角坐标方程为 22 3 9x y ，点 P 的直角坐标为 1,1 ．
（2）把直线 l 的方程代入 C 方程，整理得 2 3 2 4 0t t ，
2
3 2 4 1 ( 4) 0 ，设 A、B 对应的参数分别是 1t 、 2t ，则 1 2 4t t ，
于是 1 2 1 2 4PA PB t t t t .
13．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
33 5
41 5
x t
y t
( t 为参数)．在以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为 2 6 sin 5 0 ．
（1）求l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；
（2）已知点 ( 3 1)M ， ，直线l 与圆C 相交于 A､ B 两点，求| | | |MA MB ．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）直线l 的普通方程为 4 3 9 0x y ，圆C 的直角坐标方程为 2 2( 3) 4x y ；
（2） 21．
【分析】（1）根据直线l 的参数方程消去参数，即可得出直线 l 的普通方程；根据极坐标与
直角坐标的互化公式，即可得出曲线的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程，由参数t 的几何意义即知， 1 2MA MB t t ，根据根与系数关系即可
得出结果．
【 解析】（ 1） 将直 线 l 的 参数 方程
33 5
41 5
x t
y t
消 去参 数 t 得 直线 l 的 普通 方程 为
4 3 9 0x y ，将 2 2 2x y 和 siny 代入到 2 6 sin 5 0 中，
则圆C 的直角坐标方程为 2 2 6 5 0x y y ，即 2 2( 3) 4x y ；
（2）将l 的参数方程
33 5
41 5
x t
y t
(t 为参数)代入到圆C 的直角坐标方程 2 2( 3) 4x y ，
得 2 10 21 0t t ，设这个方程的两个实根分别为 1t ､ 2t ，
则由参数t 的几何意义即知， 1 2 21MA MB t t ．
14．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 cos 1,
sin ,
x
y
（ 为参数）．若以原
点O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标
方程为 2 sin 14
．
（1）求出曲线 C 的极坐标方程；
（2）若射线 1 与曲线C 、直线l 分别交于 A，B 两点，当 1 ,4 3
时，求 OA OB
的取值范围．
【试题来源】云南省西南名校联盟 2021 届高三 12 月高考适应性月考卷（理）
【答案】（1） 2cos ；（2） 6 2 2| | | | 2 2OA OB
， ．
【分析】（1）先写出曲线 C 的普通方程，根据
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
，
，
，
代入C 的普通方程即可；（2）
将 1 分别代入曲线 C 与直线l 的极坐标方程，可得 AOA ， BOB 代入即可．
【解析】（1）由条件可得 cos 1x ， siny ，
又 2 2cos sin 1 ，所以 2 2( 1) 1x y ，即 2 2 2 0x y x 为曲线 C 的普通方程，
将
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
，
，
，
代入 C 的普通方程，可得 2 2 cos 0 ，
即 2cos 为曲线C 的极坐标方程．
（2）将 1 分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，
可得 1| | 2cosAOA ， 1 1
1
1 1| | π 2(sin cos )2sin 4
BOB
，
所以 1
11 1
2cos 1| | | | 2 tan 12(sin cos )
OA OB
．
又 1
π π
4 3
， ，所以 1tan (1 3) ， ，所以 6 2 2| | | | 2 2OA OB
， ．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三
角函数关系式的变换，难度不大，能够正确写出极径表达式是关键．
15．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos
2sin
x
y
（ 为参数），以坐标原
点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin 16
．
（1）求 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）若 1C 与 2C 相交于 A， B 两点，设 1, 3P ，求 PA PB ．
【试题来源】2021 届百师联盟高三一轮复习联考（三）全国卷 I （文）
【答案】（1）
2
2 14
yx ； 3 2 0x y ；（2） 12
13PA PB ．
【分析】（1）消去参数 即可得到 1C 的普通方程，将 cosx ， siny 代入即可得
2C 的直角坐标方程；（2）由直线参数方程的几何意义即可求得 PA PB ．
【解析】（1）由 1C ： cos
2sin
x
y
，得
2
2 14
yx ，
由 2C ： sin 16
得 3 1sin cos 12 2
，
将 cosx ， siny 代入可得 3 2 0x y ；
（2）经检验 1, 3P 在曲线 2C 上，则曲线 2C 的参数方程可写为
31 2
13 2
x t
y t
（t 为参
数），代入曲线 1C ，得 213 20 3 12 0 t t ，
设 A， B 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ，
则由根与系数关系得 1 2
12
13
t t ，故 1 2
12
13PA PB t t ．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
12
12
x m m
y m m
( m 为参数)，以坐标原
点 O 为 极 点 ， x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为
cos( ) 24
．
（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于点 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和点 P 的圆的直角坐标
方程．
【试题来源】四川省宜宾市 2021 届高三上学期第一次诊断考试（文）
【答案】（1） :l 2 0x y ， :C 2 2 8x y ；（2） 2 25 25( )3 9x y ．
【分析】（1）参数方程进行平方相减消参，可得出曲线的普通方程，再根据极坐标与普通方
程的转换规则，可得到直线的普通方程．（2）根据直线与曲线相交可联立方程，得到 P 点
坐标．然后设出圆心坐标，再根据圆经过极点和点 P，列出关系式可求出圆心和半径，最后
写出圆的方程．
【解析】（1）曲线 C 的参数方程为
12
12
x m m
y m m
(m 为参数)，
两式平方相减得曲线 C 的普通方程为 2 2 8x y ．
直线 l 的极坐标方程为 cos( ) 24
，则 (cos cos sin sin ) 24 4
转换为直角坐标方程为 2 0x y ；
（2）由
2 2 8
2 0
x y
x y
得 3
1
x
y
，所以点 P 的直角坐标为 (3,1) ，
设圆心为 ( ,0)a ，则 2 2( 3) 1a a ，解得 5
3a ，
所以，圆的直角坐标方程为 2 25 25( )3 9x y ．
【名师点睛】（1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于 cos , sinx y ．
（2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；
求圆的方程可根据圆心 0 0,x y 和半径 r ，得出圆的方程 2 2 2
0 0x x y y r ．
17．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 是圆心在 0,2 ，半径为 2 的圆，曲线 2C 的参数方
程为
2 2 cos
2 2 sin 4
x t
y t
（t 为参数且 0 2t ），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 1C 的极坐标方程；
（2）若曲线 2C 与坐标轴交于 A、B 两点，点 P 为线段 AB 上任意一点，直线OP 与曲线 1C
交于点 M （异于原点），求 OM
OP 的最大值．
【试题来源】四川省泸州市 2021 届高三第一次诊断性考试（理）（一模）试题
【答案】（1） 4sin ；（2） 2 1 ．
【分析】（1）求出曲线 1C 的直角坐标方程，根据直角坐标与极坐标的转换关系可得出曲线 1C
的极坐标方程；（2）求出点 A、 B 的坐标，求出线段 AB 的极坐标方程，设 P 、Q 的极坐
标分别为 1,P 、 2 ,Q ，求出 1 、 2 关于 的表达式，利用三角恒等变换思想结
合正弦函数的有界性可求得 OM
OP 的最大值．
【解析】（1）曲线 1C 的直角坐标方程为 22 2 4x y ，即 2 2 4 0x y y ，
所以曲线 1C 的极坐标方程为 2 4 sin ，即 4sin ；
（2）曲线 2C 的参数方程为
2 2 cos
2 2 sin 4
x t
y t
，
因为曲线 2C 与两坐标轴相交，所以曲线 2C 交 x 轴于点 2,0A 、交 y 轴于点 0,2B ，
所以，线段 AB 的方程为 2 0 0 2x y x ，
则线段 AB 的极坐标方程为 cos sin 2 0 0 2
，
设点 P 、Q 的极坐标分别为 1,P 、 2 ,Q ，
点 P 在线段 AB 上，可得 1 1cos sin 2 ，可得 1
2
sin cosOP
，
点Q 在曲线 1C 上，则 2 4sinOM ，
2sin cos4sin 2sin 2sin cos sin 2 cos2 12
OM
OP
2 sin 2 14
， 0 2
，可得 324 4 4
，
当 2 4 2
时，即当 3
8
时， OM
OP 取得最大值 2 1 ．
【名师点睛】在已知直角坐标方程求曲线的交点、距离、线段长度等几何问题时，如果不能
直接用直角坐标解决，或用直角坐标解决较为麻烦，可将直角坐标方程转化为极坐标方程解
决．
18．已知圆 C 的参数方程为 1 3cos
3sin
x
y
（ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( )4 R ．
（1）写出点 C 的极坐标及圆 C 的极坐标方程；
（2）点 AB 分别是圆 C 和直线 l 上的点，且
3ACB ，求线段 AB 长的最小值．
【试题来源】福建省漳州市高三毕业班第二次调研（文）（可编辑 PDF 版）
【答案】（1） (1,0) ， 2 2 cos 8 0 ；（2） 3 3
2
．
【分析】（1）由参数方程结合 2 2cos sin 1 写出圆 C 的方程直角坐标方程，即可知点
C 的极坐标，由直角坐标与极坐标关系写出圆 C 的极坐标方程；（2）在 ABC 中，由余弦
定理得
2
2 3 27| | | | 2 4AB BC
，利用点线距即可得| |BC 的范围，应用二次函数的性质
即可求线段 AB 的最小值．
【 解 析 】（ 1 ） 由 参 数 方 程 知
1cos 3
sin 3
x
y
， 2 2cos sin 1 知 圆 C 的 方 程 为
2 2( 1) 9x y ，所以点 C 的极坐标是 (1,0) ，又 cos , sinx y ，
所以圆 C 的极坐标方程为 2 2 cos 8 0 ．
（2）在 ABC 中， 2 2| | 9 | | 2 3 | | cos 3AB BC BC
23 27| | 2 4BC
．
由题意知直线 l 为 y x ，点 C 到直线 l 的距离 |1 0 | 2
22
d ，
所以 2| | ,2BC
，故当 3| | 2BC 时，线段 AB 的长取得最小值 3 3
2
．
【 名 师 点 睛 】 由 参 数 方 程 结 合 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 可 得 普 通 方 程 ， 应 用
cos , sinx y 将方程转化为极坐标方程；由余弦定理得到| |AB 关于| |BC 的函数，
根据点线距离求得| |BC 的范围，应用函数性质即可求| |AB 的最小值．
19．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C 的参数方程为 2cos
2 2sin
x
y
( 为参数)，以
坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4cos ．
（1）求曲线 1C 与曲线 2C 两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线 1l 过点 1,2P 且与直线l ： 2 sin 16
平行，直线 1l 与曲线 1C 相交于
A，B 两点，求 1 1
PA PB
的值．
【试题来源】江西省名校 2021 届高三上学期第二次联考（理）
【答案】（1）
4
( R )；（2） 15
3
．
【分析】（1）将曲线 1C 的参数方程化为普通方程，将曲线 2C 的极坐标方程化为直角坐标方
程，两个方程相减即可得两曲线交点所在直线的方程，化为极坐标方程即可；
（2）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程求出斜率，即可得直线 1l 的参数方程的标准形
式，代入曲线 1C 的普通方程得关于 t 的一元二次方程，设 A，B 两点的参数为 1t ， 2t ，
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 t t
PA PB t t t t
即可求解．
【解析】（1）由 2cos
2 2sin
x
y
( 为参数)，消去参数 ，
得曲线 1C 的普通方程为 2 2( 2) 4x y ，由 4cos ，得 2 4 cos ，
得曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 4x y x ，即 2 2( 2) 4x y ．
所以两方程相减可得交线为 y x ，所以直线的极坐标方程为
4
R ．
（2）由l ： 2 sin 16
，得 3 sin cos 1 ，
所以直线 l 的直角坐标方程： 3 1x y ，
直线 l 的斜率为 3
3
，所以直线 1l 的斜率为 3
3
，倾斜角为 5
6
，
所以直线 1l 的参数方程为
31 2
12 2
x t
y t
(t 为参数)，
将直线 2l 的参数方程代入曲线 1C ， 2 2( 2) 4x y 中，得 2 3 3 0t t ．
设 A，B 两点的参数为 1t ， 2t ，所以 1 2 3t t ， 1 2 3t t ，则 1t ， 2t 异号．
所以 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
3
t t t t
PA PB t t t t
2
1 2 1 24 15
3 3
t t t t ．
【名师点睛】将参数方程化为普通方程消参的 3 种方法：
（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参；
（2）利用三角恒等式消去参数；
（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数．
20．在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 1 cos
sin
x
y
( 为常数)，以 O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆 C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是 2 sin( ) 3 33
，射线 OM ：
3
与圆 C 的交点为O P、 ，
与直线l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．
【试题来源】西藏拉萨那曲第二高级中学 2021 届高三上学期第二次月考（理）
【答案】（1） 2cos ；（2） 2 ．
【分析】（1）消参化为普通方程后，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得结果；（2）解
极坐标方程组可得 ,P Q 的坐标，根据极径的几何意义可求得结果．
【解析】（1）利用 2 2cos sin 1 ，把圆 C 的参数方程 1 cos
sin
x
y
( 为参数)化为
2 21 1x y ，即 2 2 2 0x y x ，所以 2 2 cos 0 ，即 2cos ．
（2）设 1 1( , ) 为点 P 的极坐标，由
1 1
1
2cos
3
，解得
1
1
1
3
．
设 2 2( , ) 为点 Q 的极坐标，由
2 2 2
2
sin 3 cos 3 3
3
，解得
2
2
3
3
．
因为 1 2 ，所以 1 2 2| |PQ ．所以 2PQ ．
21．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 tan 2 R ．以极点为原点，极轴为 x 轴
的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为 2sin
2 2cos
x
y
( 为参数)．
（1）请写出直线l 的参数方程；
（2）求直线l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标．
【试题来源】河南省 2021 届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】（1）
5
5
2 5
5
x t
y t
(t 为参数)；（2） 0,0 与 8 16,5 5
．
【分析】（1）设直线l 的倾斜角为 ，则 tan 2 0 2
，再根据直线的参数方程公
式得解；（2）先求出曲线C 的直角坐标方程为 22 2 4x y ，再联立直线方程得解 ．
【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为 tan 2 R ，以极点为原点，极轴为 x 轴的
正半轴建立平面直角坐标系．则直线l 的直角坐标方程为 2y x ①
设直线l 的倾斜角为 ，则 tan 2 0 2
，所以 2 5sin 5
， 5cos 5
，
则直线l 的参数方程为
5
5
2 5
5
x t
y t
(t 为参数)．
（2）因为曲线 C 的参数方程为 2sin
2 2cos
x
y
( 为参数)．
则曲线C 的直角坐标方程为 22 2 4x y ②，
联立①②解方程组得 0
0
x
y
或
8
5
16
5
x
y
．故点 P 的直角坐标为 0,0 与 8 16,5 5
．
【名师点睛】解决参数方程问题，常用的方法是（1）将已知和未知的都化成直角坐标，再
解答；（2）直接利用参数方程解答求解．
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 3 cos ,
3sin
x
y
（ 为参数）．以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2sin ．
（1）写出曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）设点 A 的极坐标为 2,0 ，直线 π0, ,3
R 与曲线 1C ， 2C 在第一象
限分别交于点 B，C，求 ABC 面积的最大值．
【试题来源】山西省 2021 届高三上学期八校联考（文）
【答案】（1） 2 3cos ； 2 2 2 0x y y ；（2）1．
【分析】（1）先消去参数求出普通方程，再代入 2 2 2x y ， cos x ，可求出 1C 的
极坐标方程，代入 siny ， 2 2 2x y 可求得 2C 的直角坐标方程；（2）联立直线与
1C ， 2C 可得 2sin ,B ， 2 3 cos ,C ，可得 π2sin 2 16ABCS ，由此可
求出最值．
【解析】（1）已知曲线 1C 的参数方程为 3 3 cos ,
3sin
x
y
（ 为参数），
2 2
1 : 3 3C x y ，即 2 2 2 3x y x ，由 2 2 2x y ， cos x ，
得 2 2 3 cos ，两边同除 ，得曲线 1C 的极坐标方程为 2 3cos ．
曲线 2 : 2sinC ，两边同乘 ，得 2 2 sin ．
因为 siny ， 2 2 2x y ，化为直角坐标方程为 2 2 2 0x y y ．
（2）将直线 与曲线 1C 和 2C 联立可得 2sin ,B ， 2 3 cos ,C ，
所以 2sinOB ， 2 3 cosOC ，所以 AOB AOC ，
所以 1 1sin sin2 2ABC AOC AOBS S S OA OC AOC OA OB AOB
22 3 cos sin 2sin 3sin 2 cos2 1 π2sin 2 1 16
，
当 π
6
时取到最大值为 1．
【 名 师 点 睛 】 本 题 解 题 的 关 键 是 正 确 理 解 极 坐 标 的 意 义 ， 将 面 积 化 为
π2sin 2 16ABCS ，利用三角函数的性质求解．
23． 在平 面 直 角坐 标 系 xOy 中 ，点 P 是 曲线 C 上 的动 点 ， 曲线 C 的 参数 方 程 为
2cos
2sin
x
y
(0 2 ) ， (2,0)A ， AP 的中点为 T，记点 T 的轨迹为曲线 1C ，以 O 为
极点，x 轴非负半轴为极轴．并取相同的单位长度建立极坐标系．
（1）求 1C 的极坐标方程；
（2）设曲线 2C ：
2 2
19 4
x y 经伸缩变换
1 ,3
,2
x x
yy
后得到曲线 3C ，直线 3
3y x 与 1C ，
3C 在第一象限的交点分别为 M，N，求| |MN ．
【试题来源】山西省运城市河津中学 2021 届高三上学期阶段性测评（文）
【答案】（1） 2cos ；（2） 3 1 ．
【分析】（1）首先求得曲线C 的普通方程，再利用相关点法求曲线 1C 的普通方程，并利用
极坐标公式，转化为曲线 1C 的极坐标方程；（2）首先利用伸缩公式求曲线 3C 方程，并转化
为极坐标方程，以及 3
3y x 的极坐标方程，联立极坐标方程后，得到弦长．
【解析】（1）由 2cos ,(0 2 )2sin
x
y
，得曲线 C 的普通方程为 2 2 4x y ．
设 1 1, , ( , )P x y T x y ，则 1 12 ,2 2
x yx y ，即 1 12 2, 2x x y y ，代入 2 2 4x y ，
得 2 2(2 2) (2 ) 4x y ，所以 2 2( 1) 1x y ，所以曲线 1C 的极坐标方程为 2cos ．
（2）将 3 ,
2 ,
x x
y y
，代入 2C 得 2 2 1x y ，所以 3C 的方程为 2 2 1x y ，
因为 1C 的极坐标方程为 32cos ,C 的极坐标方程为 1 ，
直线 3
3y x 在第一象限的极坐标方程为 ( 0)6
，所以| | 1ON ．
又| | 2cos 36OM ，所以| | | | | | 3 1MN OM ON ．
【名师点睛】本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：（1）直角坐标系下的弦
长公式 22
1 2 1 21 4AB k x x x x 或是 2
1 2 1 22
11 4y y y yk
；
（2）利用直线参数方程t 的几何意义可知 1 2AB t t ；
（3）极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长 1 2AB ．
24．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐
标方程为 cos 16
，曲线 C 的极坐标方程为 3
（1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程
（2）直线 l 与 y 轴交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，求|MP|+|MQ|的值
【试题来源】贵州省 2021 届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】（1） 3 2 0x y ； 2 2 9x y ；（2） 4 2 ．
【分析】（1）将l 的极坐标方程化为 3 1cos sin 12 2
，将 cos
sin
x
y
代入可得l 和
曲线 C 的普通方程．（2）在 3 2 0x y 中，令 0x ，得 (0 2)M ， ，可得出l 的参数方程，
代入 2 2 9x y 中整理为 2 2 3 5 0t t ，设 P，Q 两点所对应的参数为 1 2t t， ，由参数的
几何意义可得所求的值．
【解析】（1）将 l 的极坐标方程化为 3 1cos sin 12 2
，
即l 的普通方程为 3 2 0x y ， 3 可化为普通方程： 2 2 9x y ．
（2）在 3 2 0x y 中，令 0x ，得 (0 2)M ， ，
因为 3k ，所以倾斜角为 2 π3
，所以l 的参数方程可设为
1
2
32 2
x t
y t
，
，
（t 为参数），
代入 2 2 9x y 中整理为 2 2 3 5 0t t ，
设 P，Q 两点所对应的参数为 1 2t t， ，所以 1 2 2 3t t ， 1 2 5 0t t ，
所以 1 2t t， 异号，所以 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | ( ) 4 4 2MP MQ t t t t t t t t ．
【名师点睛】在解决参数方程、极坐标方程的问题时，关键在于明确运用直线参数方程中的
t 和极坐标方程中的 几何意义．
25．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为
1
2
31 2
x t
y t
(t 为参数)，以坐标原点O 为
极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4sin ．
（1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）点 P 的直角坐标为 (0, 1) ，若曲线 1C 和 2C 相交于 ,A B 两点，求 1 1
PA PB
的值．
【试题来源】宁夏 2021 届高三上学期第四次月考（文）
【答案】（1） 3 1 0x y ， 2 2 4 0x y y ；（2） 15
3
．
【分析】（1）把参数方程
1 ,2
3 12
x t
y t
消去参数t 得 3 1 0x y ，极坐标方程 4sin ，
两边同乘以 ，化简得 2 2 4 0x y y ；（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程中，
利用参数的几何意义知 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 t t t t
PA PB t t t t t t
，再把根与系数关系代入，
即可求得结果．
【解析】（1）由
1
2
3 12
x t
y t
消去参数 t 得曲线 1C 的普通方程为 3 1 0x y ，
由 2C 的极坐标方程为 4sin ，两边同乘以 ，得 2 4 sin ，
将 cos
sin
x
y
代入，得曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0x y y ；
（2）设 1 1 2 2
1 3 1 3, 1 , , 12 2 2 2A t t B t t
，将
1
2
3 12
x t
y t
代入 2 2 4 0x y y 得
2 3 3 0t t ， 1 2 1 23, 3t t t t ，
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 15
3
t t t t
PA PB t t t t t t
．
【 名 师 点 睛 】 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 互 化 的 方 法 ， 即 四 个 公 式 ：
2 2 , tan yx y x
， cos , sinx y
利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是
（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数 t 的一元二次方程；
（2）利用根与系数关系写出 1 2t t ， 1 2t t ；
（3）利用弦长公式 2
1 2 1 2 1 24AB t t t t t t 代入计算．
26．以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的参数方程
为 2 cos
2 sin
x t
y t
(t 为参数)．
（1）若曲线 C 在点(1，1)处的切线为 l，求 l 的极坐标方程；
（2）若点 A 的极坐标为 (2 2, )4
，且当参数 0,t 时，过点 A 的直线 m 与曲线 C 有两
个不同的交点，试求直线 m 的斜率的取值范围．
【试题来源】2021 年高考数学（理）一轮复习学与练
【答案】（1） sin 24
；（2） 2 3,2 2
【分析】（1）将圆的方程化为平面直角坐标方程 2 2 2x y ，求出过圆上点 1,1P 的切线
方程，再化为极坐标方程．（2） 当参数 0,t 时，曲线表示 2 2 2x y 的上半部分，求
出直线 m 与半圆 2 2 2 0x y y )相切的斜率，然后数形结合可得答案．
【解析】（1）因为 2 cos
2 sin
x t
y t
，所以 2 2 2x y ，又点(1，1)在圆上，设 1,1P
则 1OPk ，所以圆在点 1,1P 处的切线 l 的斜率为 1
所以切线方程为 1 1 1y x ，即 2x y ，
化为极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝2，即 sin 24
．
（2）当参数 0,t 时， 2 cos
2 sin
x t
y t
表示 2 2 2x y 的上半部分．
点 A 的极坐标为 (2 2, )4
，则点 A 的直角坐标为(2，2)，设直线 m：y＝k(x－2)＋2，
直线 m 与半圆 2 2 2 0x y y )相切时
2
2 2 2
1+
k
k
，
所以 k2－4k＋1＝0，所以 2 3k 或 2 3k (舍去)．
设点 2,0B ，则 2 0 2 2
2 2ABk
，
如图当直线 m 在直线 AB 与切线之间时满足条件．
故直线 m 的斜率的取值范围为 2 3,2 2 ．
27．已知直线l 的参数方程为
2
x t
y t
(t 为参数)，若以直角坐标系 xOy 的O 点为极点，Ox
方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos ．
（1）求直线l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线 C 交于 A， B 两点，设点 0, 2P ，求 PA PB ．
【试题来源】四川省凉山州 2020-2021 学年高三第一次诊断性检测（理）
【答案】（1）
4
， 2 2 2 0x y x ；（2）3 2 ．
【分析】（1）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，根据斜率求解出倾斜角，将曲线C 的
极坐标方程左右同乘 ，再根据 cos , sinx y 求解出C 的直角坐标方程；（2）先
将直线l 的参数方程化为标准形式，再将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，根据参
数t 的几何意义求解出 PA PB 的值．
【解析】 1 将直线 : (2
x tl ty t
为参数)化为直角坐标系方程为 2 0x y
直线的斜率为1，即直线的倾斜角为
4
，
由曲线C 的极坐标方程： 2cos 变形得 2 2 cos ， 2 2 2 0x y x
所以曲线C 的直角坐标系方程为 2 2 2 0x y x ．
2 将直线l 化为标准参数方程为
2
2
22 2
x t
y t
(t为参数)
代入 2 2: 2 0C x y x 中，整理得 2 3 2 4 0t t ， 18 16 2 0,
设 ,A B 所对应的参数分别是 1 2,t t ， 1 2 3 2 0t t ， 1 2 4 0t t ， 1 20, 0t t ，
1 2 1 2 3 2PA PB t t t t ．
【名师点睛】直线参数方程的三个应用：已知直线l 经过点 0 0 0,M x y ，倾斜角为 ，点
,M x y 为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为 0
0
cos
sin
x x t
y y t
（t 为参数）．
（1）若 1 2,M M 是直线l 上的两个点，对应的参数分别为 1 2,t t ，则 0 1 0 2 1 2M M M M t t
，
2
1 2 1 2 1 2 1 24M M t t t t t t ；
（2）若线段 1 2M M 的中点为 3M ，点 1 2 3, ,M M M 对应的参数为 1 2 3, ,t t t ，则 1 2
3 2
t tt ；
（3）若直线l 上的线段 1 2M M 的中点为 0 0 0,M x y ，则 1 2 1 20, 0t t t t ．
28．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为 1 sin cos
2 sin cos
x
y
（ 为参数），以坐
标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为
πsin 24
．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点 0,2P ，若直线l 与曲线C 相交于 A， B 两点，求 PA PB 的值．
【试题来源】四川省成都市 2020-2021 学年高三上学期第一次诊断性检测（文）
【答案】（1） 2 21 2 2x y ； 2 0x y ；（2） 2 ．
【分析】（1）曲线 C 的参数方程可化为 1 sin cos
2 sin cos
x
y
，然后两式分别平方求和即
可消去参数 得到普通方程；将 πsin 24
展开，利用 cosx ， siny
处理即可；（2）写出直线l 的参数方程，设在直线l 的参数方程中点 A， B 所对应的参数分
别为 1t ， 2t ，将直线的参数方程与曲线 C 的普通方程联立，然后利用 1 2PA PB t t
求解．
【解析】（1）由曲线 C 的参数方程，
得 2 2 2 21 2 sin cos sin cosx y ．
因为 2 2sin cos sin cos 2 ，
所以曲线C 的普通方程为 2 21 2 2x y ．
由 πsin 24
得， sin cos 2 ．
因为 cos x ， sin y ，所以直线l 的直角坐标方程为 2 0x y ．
（2）设直线l 的参数方程为
2
2
22 2
x t
y t
（t 为参数，t R ），设在直线l 的参数方程中点
A， B 所对应的参数分别为 1t ， 2t ，
将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得 2 2 1 0t t ， 0 ，
则有 1 2 2t t ， 1 2 1t t ．所以 1 2 1 2 2PA PB t t t t ．
29．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 1C 的极坐标方程为
sin 2 24
， 0 2
，曲线 2C 的参数方程为
2 1
2 1
x t t
y t t
(t 的参数)．
（1）将曲线 1C 的极坐标方程､ 2C 的参数方程化为普通方程．
（2）设 1C ， 2C 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】（1） 1C ： 4( 0)x y y ， 2C ： 2 2( 1) ( 1) 8x y （2） 4cos
【分析】（1）由极坐标与直角坐标转化公式求解，消元 t，可得曲线的普通方程；
（2）求出点 (2,2)P ，设所求圆圆心的直角坐标为 ( ,0)a ，可解的圆的直角坐标方程，化为极
坐标即可．
【解析】（1） sin 2 24
Q ， sin cos cos sin 2 24 4
， 0 2
，
(04 4)x y x ，即 1C ： 4(0 4)x y x
由
2 1
2 1
x t t
y t t
可得
21 ,
: 21 ,
x t t
y t t
，消去参数t ，可得 2 2( 1) ( 1) 8x y ，
即 2C 普通方程为 2 2( 1) ( 1) 8x y ；
（2）由 2 2
4 4 2{( 1) ( 1) 8 ( )( 2) 8 2
x y x y x
x y x y x y y
，即 (2,2)P ，
设所求圆圆心的直角坐标为 ( ,0)a ，其中 a >0．则 2 2 2( 2) (0 2)a a ，解得 2a ，
所求圆的半径 2r = ，所求圆的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y ．
即 2 2 4x y x ，所求圆的极坐标方程为 4cos ．
【名师点睛】首先利用圆上的点 (2,2)P ，求出圆心和半径，得到圆的直角坐标方程是解题关
键，利用极坐标公式转化为圆的极坐标方程，属于中档题．
30．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 过定点 3,0P ，倾斜角为 0 2
，曲线C 的
参数方程为
1
1
2 2
x t t
ty t
（t 为参数）；以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）已知直线l 交曲线C 于 M ， N 两点，且 10
3PM PN ，求l 的参数方程．
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】（1） 2 2 2 2cos 4 sin 4 ；（2）
23 2
2
2
x t
y t
（t 为参数） ．
【分析】（1）由
1
1
2 2
x t t
ty t
，消去 t，得到普通方程，再由 cos
sin
x
y
代入求得极坐标
方程．（2）设l 的参数方程为 3 cos
sin
x t
y t
（t 为参数），代入 2 24 4x y ，由根与系数
关系得到 1 2t t ，然后由 1 2
10
3PM PN t t 求解．
【解析】（1）由
1
1
2 2
x t t
ty t
，得
1
12
x t t
y t t
，
因为
2 2
2 2
2 2
1 1 1 12 2 4t t t tt t t t
，
所以 22 2 4x y ，即 2 24 4x y ，又 cos
sin
x
y
，所以 2 2 2 2cos 4 sin 4 ，
即曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos 4 sin 4 ；
（2）设l 的参数方程为 3 cos
sin
x t
y t
（t 为参数），代入 2 24 4x y 整理得，
2 2 2cos 4sin 6 cos 5 0t t ，设方程的两根分别为 1t ， 2t ，
则 1 2 2 2
5
cos 4sint t
，则 1 2 2 2
5 10
cos 4sin 3PM PN t t ，
解得 2cos 2
，因为 0 2
，所以
4
．
故l 的参数方程为
23 2
2
2
x t
y t
（t 为参数）．
31．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为
1
x cos
y sin
（ 为参数），以坐标原点O
为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 36sin
．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）射线OP 的极坐标方程为
6
，若射线OP 与曲线 C 的交点为 A(异于点O )，与直
线l 的交点为 ,B 求线段 AB 的长．
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】（1） 22 1 1x y ， 3 2 3 0x y ；（2）1．
【分析】（1）利用 2 2cos sin 1 消参后得到曲线C 的普通方程，以及利用 cos x ，
sin y ，转化为直线l 的直角坐标方程；（2）
6
分别代入曲线 C 和直线l 的极坐标
方程，求得 ，再利用公式 1 2AB 求解．
【解析】 1 由
1
x cos
y sin
可得 2 2 2 2 1( 1)x y cos sin ，
所以曲线C 的普通方程为 22 1 1x y ，由 3,6sin
所以 3 1 3 02 2sin cos ，所以直线l 的直角坐标方程为 3 2 3 0x y ．
2 曲线C 的方程可化为 2 2 2 0x y y ，所以曲线C 的极坐标方程为 2sin ，
由题意设 1 2, , ,6 6
A B ，将
6
代入 12 ,sin 1，
将
6
代入 ( ) 36sin ，可得 2 2 ，所以 1 2 1AB ．
32．在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点Q
的极坐标为 (8,0) ，动点 P 的极坐标为 ( , ) ．
（1）若 2, 3
，求点 P 的直角坐标及 OPQ△ 的面积；
（2）在 OPQ△ 中，若 1
2OPQ POQ ，求顶点 P 的轨迹的极坐标方程．
【试题来源】云南省 2021 届高三第五次复习检测（理）
【答案】（1） (1, 3)P ， 4 3OPQS ；（2） 8 16cos ， 2 2,0 0,3 3
．
【解析】（1）当 2 ，
3
时， 1cos 2 12x ， 3sin 2 32y ，
所以，点 P 的直角坐标为 (1, 3) ， 1 1 8 3 4 32 2OPQ PS OQ y ．
（2）设顶点 P 的极坐标为 , ，
由题意， 1 1
2 2OPQ POQ ， 3
2OQP ，
在 OPQ△ 中，由正弦定理得
8
3sinsin 22
，
即 sin 8sin2 2
，化简得 8 16cos ，
由三角形的内角的性质得 20, 3
，即 2 2,0 0,3 3
，
故顶点 P 的轨迹的极坐标方程为 8 16cos ， 2 2,0 0,3 3
．
33．已知曲线C 的极坐标方程是 1 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角
坐标系，直线l 的参数方程为
1 ,2
32 2
tx
y t
(t 为参数)．
（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线 C 经过伸缩变换 2x x
y y
得到曲线 C ，设曲线 C 上任一点为 ( , )M x y ，求
2 3x y 的最小值．
【试题来源】吉林省 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）l ： 3 2 3 0x y ，C ： 2 2 1x y ；（2） 4 ．
【分析】（1）由
1 ,2
32 2
tx
y t
消去参数t 化简即可，由 1 及 cos , sinx y 代入
化简即可；（2）根据变换得
2
2: 14
xC y ，设 (2cos ,sin )M ，代入结合三角恒等变换
可得 4
3
时取得最小值．
【解析】（1）由
1 ,2
32 2
tx
y t
消去参数 t 得 3 2 3 0x y
所以直线l 的直角坐标方程为 3 2 3 0x y ，
由 1 及 cos , sinx y 得 2 2 1x y ，
所以曲线C 的直角坐标方程为 2 2 1x y ；
（2）由 2x x
y y
得 2
xx
y y
代入 2 2 1x y 得
2
2 14
x y ，所以曲线
2
2: 14
xC y ，
因为 M 为曲线C 上任一点，故可设 (2cos ,sin )M ，
所以 2 3 2cos 2 3sin 4sin 6x y
，
当且仅当 3
6 2
即 4
3
时取得最小值 4 ．
34．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 cos
sin
x
y
（ 为参数）．以坐标
原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为
cos 43
．
（1）求曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程；
（2）射线 2 ( 0)3
和 ( 0)3
分别与曲线 C 交于点 ,A B ，与直线 l 交于点
,D C ，求四边形 ABCD 的面积．
【试题来源】上学期江西省新余市 2021 届高三上学期期末质量检测（文）
【答案】（1）
2
2 12
x y ； 3 8 0x y ；（2） 54 3
7
．
【解析】（1）由 2 cos
sin
x
y
，由 cos , sin
2
x y ，且 2 2cos sin 1 ，
消去参数 ，得
2
2 12
x y ．
由直线的参数方程 cos 43
将 cos
sin
x
y
代上式，化简得，
直线l 的直角坐标方程为 3 8 0x y ．
（2）由（1）知，曲线C 的方程为，
2
2 12
x y
将 cos
sin
x
y
代入上式，得
2 2
2 2cos sin 12
将
3
代入上式，解得 2 14
7
，所以 2 14| | 7OB ，
将 2
3
代入上式，解得 2 14
7
，所以 2 14| | 7OA ．
将
3
代入 cos 43
，解得 4 ，即| | 4OC ．
将 2
3
代入 cos 43
，解得 8 ，即 8OD ．
所以四边形 ABCD 的面积 1 1 54 3| | | | sin | | | | sin2 3 2 3 7S OD OC OA OB ．
35．在直角坐标系 xoy 中，已知点 (2,0)M ，曲线 1C 的参数方程为 cos
sin
x t
y t
(t 为参数)，以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 0 ( 0) ，
点 Q 是 1C 与 2C 的公共点．
（1）当 0 3
时，求直线 MQ 的极坐标方程；
（2）当 0
2
3
时，记直线 MQ 与曲线 1C 的另一个公共点为 P ，求| | | |MP MQ 的值．
【试题来源】安徽省黄山市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】（1） cos 3 sin 2 0 ；（2）3．
【解析】（1）曲线 1C 的普通方程是 2 2 1x y ，当 0 3
时，
点Q 的坐标为 1 3,2 2
，直线 MQ 的普通方程为 3 2 0x y ，
所以直线 MQ 的极坐标方程为 cos 3 sin 2 0 ；
（2）当 0
2
3
时，点 Q 的坐标为 1 3,2 2
，所以 MQ 的斜率为 3
5k ，
所以直线 MQ 的参数方程为
5 72 ,14
21 ,14
x t
y t
(t 为参数)，
代入 2 2 1x y 并化简得 2 10 7 3 07t t ，
设它的两根为 1 2,t t ，则 1 2| | | | 3MP MQ t t ．
【名师点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义．其中第二
问解题的关键在于根据题意写出直线 MQ 的参数方程为
5 72 ,14
21 ,14
x t
y t
(t 为参数)，进而利
用直线参数方程几何意义求解．
36．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为
2
2
1 2
1
x t t
y t t
（t 为参数），以坐标
原 点 O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为
cos 24
．
（1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）设点 P 是曲线 1C 与 2C 的公共点，求圆心在极轴上，且经过极点和点 P 的圆的极坐标
方程．
【试题来源】山西省太原市 2021 届高三上学期期末（理）
【答案】（1） 2y x ， 2 0x y ；（2）答案见解析．
【分析】（1）先将 y 平方可得 2 2
2
1 2y t t
，再与 x 相减消t ，可得 1C 普通方程
将 cos 24
展开得 cos sin 2 0 ，用 cos
sin
x
y
代换 , ，可得
2C 的直角坐标方程．（2）联立曲线 1C 与 2C 的方程，得到交点 P 的坐标，设出圆心坐标，
写出圆的方程，代入 P 的坐标，求出圆心坐标和圆的方程．
【解析】（1）先将 y 平方可得 2 2
2
1 2y t t
，与再与 x 相减可得 2y x ，
故曲线 1C 的普通方程为 2y x ，因为 cos 24
，所以 cos sin 2 0 ，
由 cos
sin
x
y
，可得曲线 2C 的直角坐标方程为 2 0x y ；
（2）将曲线 1C 与 2C 的方程联立得 2
2 0x y
y x
，解得 4
2
x
y
或 1
1
x
y
，
所以 P 的直角坐标为 1, 1 或( )4,2 ；
设所求圆的圆心坐标为 ,0 0a a ，则其方程为 2 22 0x ax y ，
当 P 的坐标为( )4,2 时，代入圆的方程中， 20 8 0a 可得 5
2a ，
则所求圆的直角坐标方程为 2 25 0x x y ，故极坐标方程为 5cos ；
当 P 的坐标为 1, 1 时，代入圆的方程中， 2 2 0a 可得 1a ，
则所求圆的直角坐标方程为 2 22 0x x y ，故极坐标方程为 2cos ．
37．在极坐标系中， 0,0O ， 6, 2A
， 6 2, 4B
，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，己知直线 1 的参数方程为 1 cos
2 sin
x t
y t
(t 为参数， R )，
且点 P 的直角坐标为 1,2 ．
（1）求经过 O，A，B 三点的圆 C 的直角坐标方程；
（2）求证：直线 l 与（1）中的圆 C 有两个交点 M，N，并证明 PM PN 为定值．
【试题来源】贵州省贵阳市普通中学 2021 届高三上学期期末监测考试（文）
【答案】（1） 2 2 6 6 0x y x y ；（2）证明见详解，定值为 1．
【解析】（1）由已知 O，A，B 的极坐标和极直互化公式 x cos
y sin
得 O，A，B 的直角坐
标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，所以∠OAB 为直角，所以经过 O，A，B 三点的圆 C 的圆
心为(3，3)，且经过原点 O，所以圆 C 的方程为 2 2 6 6 0x y x y ；
（2）将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程，并整理得 2 2 4cos sin 1 0t t ，
此方程的判别式 2 2
2 4cos sin 4 1 1 2 4cos sin 4 0 ，
所以此方程有两个不等实根，所以直线 l 与（1）中的圆 C 有两个交点．
设两个交点 M，N 所对应的参数值分别为 1 2,t t ，则 1 2,t t 是该方程的两个实数根，
所以 1 2 1t t ，由直线 l 的参数方程和点 P 的坐标可知， PM PN = 1 2 1 2 1t t t t ．
【名师点睛】本题考查点的极坐标与直角坐标的转化，考查圆的方程的求法，考查直线的参
数方程及其应用，注意到
△
OAB 为直角三角形，可以快速确定圆 C 的圆心坐标，利用圆的
一般方程和圆心坐标的关系，并根据圆经过原点可快速写出圆的一般方程；掌握直线参数方
程的几何意义，可以方便的证明有关距离的积与和的问题．注意直线 l： 0
0
cos
sin
x x t
y y t
(t
为参数， R ， 0 0,M x y ）上的任意一点 P 的参数 t 的几何意义是有向线段 MP 的数
量，可以看做以 M 为原点的直线 l 所表示的数轴上点 P 的坐标，常用的有线段 1 2PP 中点 0P
的 参 数 1 2
0 2
t tt ， 距 离 公 式 1 2 1 2PP t t ， 线 段 长 度 之 和
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
, 0
, 0
t t t tMP MP t t t t t t
，长度之积 1 2 1 2 1 2· ·MP MP t t t t ．
38．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程 1 4cos
1 2sin
x
y
（ 为参数）为参数在变
换 : 2
x x
y y
的作用下曲线 C 变换为曲线 C ．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos 24
．
（1）求曲线C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 的对称中心为 P，直线 l 与曲线C 的交点为 A，B，求 PAB△ 的面积．
【试题来源】宁夏六盘山市高级中学 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1） 2 21 2 16x y ； 2x y ；（2） 3 23
2
．
【分析】（1）先由变换 : 2
x x
y y
得曲线 1 4cos: 2 4sin
xC y
，（ 为参数），再消参得普
通方程．将 cosx ， siny 代入即可得到直线 l 的直角坐标方程．（2）由（1）得
C 得圆心 1,2P ，求得圆心 1,2P 到直线 l 的距离，再由几何法求得弦长 AB，从而求得
PAB△ 的面积．
【解析】（1）曲线 C 的参数方程 1 4cos
1 2sin
x
y
，（ 为参数）经过变换 : 2
x x
y y
得
1 4cos: 2 4sin
xC y
，（ 为参数）消参得普通方程为 2 21 2 16x y ．
cos 24
，即 cos sin 2 ，
将 cosx ， siny 代入即可得到直线 l 的直角坐标方程为 2x y ．
（2）由C 得圆心 1,2P ，则圆心 1,2P 到直线 l 的距离为 1 2 2 3
2 2
d ，
所以 9 232 16 22 2AB ，所以 PAB△ 的面积为 1 23 3 3 2322 2 22
S ．
39．在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
11 2
3
2
x t
y t
（t 为参数），以坐标原点 O 为
极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2
2 2
6
3sin 2cos
．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点 1,0P ，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点 A，B ，求 1 1
PA PB
的值．
【试题来源】安徽省池州市 2020-2021 学年高三上学期期末（理）
【答案】（1） 3 3 0x y ；
2 2
13 2
x y ；（2） 1
2
．
【分析】（1）根据直线l 的参数方程消去参数，即可得出直线l 的普通方程；根据极坐标与
直角坐标的互化公式，即可得出曲线的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，根据点 ( 1,0)P 在曲线C 的内部，
得到 1 2
1 2
1 1 PB PA t t
PA PB PA PB t t
，利用参数的方法，即可得出结果．
【 解 析 】（ 1 ） 由
11 2
3
2
x t
y t
（ t 为 参 数 ） 消 去 参 数 t 可 得 直 线 l 的 普 通 方 程 为
3 3 0x y ．
由 2
2 2
6
3sin 2cos
得 2 2 2 23 sin 2 cos 6 ，即 2 23 2 6y x ，
整理可得曲线C 的直角坐标方程为
2 2
13 2
x y ．
（2）将直线l 的参数方程
11 2
3
2
x t
y t
（t 为参数）代入椭圆C ：
2 2
13 2
x y 中，
整理得 211 2 4 04 t t ，显然 0 ，设点 A、 B 对应的参数分别为 1t 、 2t ．
所以 1 2
8
11t t ， 1 2
16
11t t ，故 1 2
1 2
1 1 1
2
PB PA t t
PA PB PA PB t t
．
【名师点睛】过点 0 0( , )M x y ，倾斜角为 的直线l 的参数方程为 0
0
cos
sin
x x t
y y t
(t 为参
数)，且t 的几何意义为 t 是直线上任一点 ( , )p x y 到 0 0( , )M x y 的距离，设 A，B 是直线l 上
任意两点，则有 1 2MA MB t t ， 1 2| | | | | | | |MA MB t t ， 1 2MA MB t t ．
40．在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 cos
sin
x
y
( 为参数)，直线l 与曲线C
交于 A， B 两点．以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）若OA OB ，求 2 2
1 1
OA OB
．
【试题来源】陕西省 2020-2021 学年高三上学期教学质量检测测评卷一（文）
【答案】（1） 2
2
2
1 sin
；（2） 3
2
【分析】（1）先计算出曲线的普通方程，然后根据 cos , sinx y 代入化简即可
（2）根据（1）的条件，假设 1 1 2 2, , ,A B ，依据OA OB ，可得 2 1 2
，
然后计算 2 2
1 2
1 1
，简单计算，可得结果．
【解析】（1）曲线 C 的参数方程是 2 cos
sin
x
y
（ 为参数），
消去参数 ，可得曲线 C 的普通方程为
2
2 12
x y
又 cos , sinx y ，
2 2
2 2cos sin 12
，
则 2 2 2 2cos 2 sin 2 ，即 2
2
2
1 sin
（2）设 1 1,A ， ,B 2 2 ，由OA OB ，可得 2 1 2
由（1）可知 2 2
2
2
1 2
1
22 2,1 sin 1 sin
则
2 2
2 2 1 1
1 2
2 2 2 2
1 2
2 sin sin1 sin 1 sin1 1 1 1 2
| | | | 2 2 2OA OB
2 2
1 12 sin cos 3
2 2
【名师点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程相互转化，牢记 cosx ，
siny ， 2 2 2x y 是解题的关键，考查学生的运算能力，属中档题．
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