专题 27 抛物线（解答题）
1．设抛物线 2: 4y x 的焦点为 F ，直线 : 0l x my n 经过 F 且与 交于 A､ B 两点．
（1）若 8AB ，求 m 的值；
（2）设O 为坐标原点，直线 AO 与 的准线交于点 C ，求证：直线 BC 平行于 x 轴．
【试题来源】上海市长宁区 2021 届高三上学期一模
【答案】（1） 1m ；（2）证明见解析．
【分析】（1）点 1,0F 代入 : 0l x my n 得到 1n ，直线和抛物线联立根据弦长公式
得到一个等式，解出 m ；（2）根据题意写出各点坐标，然后寻找坐标间的关系，以证明 BC
平行于 x 轴．
【解析】设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
（1）由题意 1,0F ， F 代入 : 0l x my n 得 1n ，
直线l 的方程 1x my 代入 2 4y x 得， 2 4 4 0y my ，
所以 1 2 4y y m ， 1 2 4y y ，
2 2
1 2 1 2A yB x x y 22
1 2 1 21 4m y y y y 24 1 8m ，
解得 1m ；
（2）抛物线 2 4y x 的准线方程为 1x
设 31,C y ，由 OA的方程为 1
1
yy xx
，得 1
3
1 1
4yy x y
，
由（1）知 1 2 4y y ，即 2
1
4y y
，所以 3 2y y ， BC 平行于 x 轴．
【名师点睛】弦长公式： 2 22
1 2 1 2 1 2 1 22
1= 1 4 1 4AB k x x x x y y y yk
．
2．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 经过点 06,P y ，F 为抛物线的焦点，且| | 10PF ．
（1）求 0y 的值；
（2）点 Q 为抛物线 C 上一动点，点 M 为线段 FQ 的中点，试求点 M 的轨迹方程．
【试题来源】【南昌新东方】江西省南昌三中 2020-2021 学年高三上学期 11 月第一次月考（理）
【答案】（1） 4 6 ；（2） 2 8 16y x ．
【分析】（1）根据题意，由| | 10PF ，可得 6 102
p ，解得 8p ，再由点 06,P y ，
代入即可得解；（2） 2: 16C y x ，设 1 1( , )Q x y ， ( , )M x y ，根据点 M 为线段 FQ 的中点，
可得 1
1
4 2
2
x x
y y
，由点 Q 为抛物线 C 上，代入即可得解，
【解析】（1）由抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 经过点 06,P y 可得 2
0 12y p ，
又| | 10PF ，可得 6 102
p ，解得 8p ， 0 4 6y ；
（2）由（1）知 2: 16C y x ，则 (4,0)F ，设 1 1( , )Q x y ， ( , )M x y ，
根据点 M 为线段 FQ 的中点，可得 1
1
4 2
2
x x
y y
，即 1
1
2 4
2
x x
y y
，
由点 Q 为抛物线 C 上，所以 2(2 ) 16(2 4)y x ，
整理可得点 M 的轨迹方程为 2 8 16y x ．
3．已知曲线C 上每一点到直线l ： 3
2x 的距离比它到点 1 ,02F
的距离大 1．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若曲线 C 上存在不同的两点 P 和Q 关于直线l ： 2 0x y 对称，求线段 PQ 中点
的坐标．
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校 2020-2021 学年高三 12 月联考
【答案】（1） 2 2y x ；（2） 1, 1 ．
【分析】（1）由题意结合抛物线的定义可得轨迹方程．（2） 设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，线
段 PQ 的中点 M 的坐标为 0 0,x y ，由对称可求出直线 PQ 的斜率，则可设 y x b ，
与抛物线方程进行联立，结合根与系数关系即可求出 0 1y ，结合 0 0,M x y 在直线l 上
即可求出横坐标．
【解析】（1）由题意可知，曲线C 上每一点到直线 1
2x 的距离等于该点到点 1 ,02F
的
距离，所以曲线C 是顶点在原点， x 轴为对称轴， 1 ,02F
为焦点的抛物线，
所以曲线C 的轨迹方程为 2 2y x ．
（2）设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，线段 PQ 的中点 M 的坐标为 0 0,x y ．
因为点 P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段 PQ ，则直线 PQ 的斜率为 1 ．
设其方程为 y x b ，由 2 2
y x b
y x
，消去 x ，整理得 2 2 2 0y y b ．
由题意， 1 2y y ，从而 4 4 1 ( 2 ) 8 4 0b b ①，所以 1 2 2y y ，
所以 1 2
0 12
y yy ．又 0 0,M x y 在直线 l 上，所以 0 1x ，则点 M 坐标为 1, 1 ，
此时 0b ，满足①式．故线段 PQ 的中点 M 的坐标 1, 1 ．
4．已知动圆过定点 (0,2)A ，且在 x 轴上截得的弦长为 4．
（1）求动圆圆心 M 的轨迹方程 C；
（2）设不与 x 轴垂直的直线 l 与轨迹 C 交手不同两点 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ．若
1 2
1 1 2
x x
，
求证：直线 l 过定点．
【试题来源】重庆市 2021 届高三上学期九月份适应性月考
【答案】（1） 2 4x y （2）证明见解析
【解析】（1）设动圆圆心为 ( , )M x y ，则 2 2 2( 2) 4 x y y ，化简得 2 4x y ；
（2）易知直线 l 的斜率存在，设 :l y kx b ，则由
2 4x y
y kx b
，得 2 4 4 0x kx b ，
由根与系数关系有： 1 2 4x x k ， 1 2 4x x b ．从而 1 2 1 2
1 1 2 2 x x x xx x
，
即 4 8 k b ，则 1
2
b k ，则直线 1 1: 2 2
l y kx k k x ，
故直线过定点 1 ,02
．
5．已知抛物线 2: 2 ( 0)E x py p 的焦点为 ,F 点 Р 在抛物线 E 上，点 Р 的横坐标为 2,且
2PF ．
（1）求抛物线 E 的标准方程；
（2）若 ,A B 为抛物线 E 上的两个动点(异于点 P )，且 AP AB ，求点 B 的横坐标的取值
范围．
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】（1） 2 4x y ；（2） ( , )6 10 ， ．
【解析】 1 依题意得 0, ,2
pF
设 0 02, , 2 2
pP y y ，
又点 Р 是 E 上一点，所以 4 2 2 2
pp
，得 2 4 4 0p p ，即 2p ，
所以抛物线 E 的标准方程为 2 4x y ．
2 由题意知 2,1P ， 设
2 2
1 2
1 2, ,, ,4 4
x xA x B x
则
2
1
1
1
1 14 22 4AP
x
k xx
，因为 1 2x ，所以
1
4
2ABk x
，
AB 所在直线方程为
2
1
1
1
4
4 2
xy x xx
，联立 2 4x y ．
因为 1x x ，得 1 1( 2 16( 0) )x x x ，即 2
1 12 2 16 0x x x x ，
因为 22 4 2 16) 0(x x ，即 2 4 60 0x x ，故 10x 或 6x
经检验，当 6x 时，不满足题意．
所以点 B 的横坐标的取值范围是 ( , )6 10 ， ．
6．如图所示， A ， B 是焦点为 F 的抛物线 2 4y x 上的两动点，线段 AB 的中点 M 在定
直线 3
4x 上．
（1）求 FA FB 的值；
（2）求 AB 的最大值．
【试题来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】（1） 7
2
；（2） 2 3 ．
【分析】（1）由抛物线定义有 1 2FA FB x x p ，结合已知条件即可求 FA FB ；
（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公
式即可求 AB 的最大值．
【解析】（1）由题意知 2p ，抛物线对称轴方程 1x ．
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 1 2 3
2 4
x x ，则 1 2
7
2FA FB x x p ；
（2）点 A和 B 在抛物线 2 4y x 上，有 2
1 14y x ， 2
2 24y x ，
两式相减得 1 2 1 2 1 24y y y y x x ，令 3( , )4M m ，所以 1 2
1 2
2y y
x x m
，即 2
ABk m
，
所以设直线 AB 的方程为 2 3
4y m xm
，即
2 3
2 2 4
m mx y ，
代入抛物线方程得 2 22 2 3 0y my m ，
所以 2 2 24 8 12 12 4 0m m m ，得 20 3m ， 1 2 2y y m ， 2
1 2 2 3y y m ，
所以
2 2
2
1 21 1 12 44 4
m mAB y y m
2
2 2 2 1 494 3 2 4m m m
，
所以当 2 0m 时， max 2 3AB .
【名师点睛】求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物
线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程
应用根与系数关系以及弦长公式．
7．已知抛物线 E ： 2 2 0y px p 的焦点为 F ，过点 F 作圆 C ： 2 2 9( 2) 2x y 的
两条切线 1l ， 2l 且 1 2l l ．
（1）求抛物线 E 的方程；
（2）过点 F 作直线l 与 E 交于 A ， B 两点，若 A ， B 到直线3 4 20 0x y 的距离分别
为 1d ， 2d ．求 1 2d d 的最小值．
【试题来源】陕西省 2020-2021 学年高三上学期教学质量检测测评卷一（文）
【答案】（1） 2 4y x ；（2）122
15
；
【分析】（1）求出圆 C 的圆心和半径，设与圆 C 的切点为 ,M N ，由切线长定理可得四边
形CMFN 为正方形，然后求出 p ，进而得到抛物线方程；（2）设直线l 的方程为 1x my ，
与抛物线的方程联立，运用根与系数关系和中点坐标公式，求得线段 AB 的中点坐标，并求
出其到直线3 4 20 0x y 的距离，再由二次函数的最值和梯形的中位线定理可求得结果．
【解析】（1）圆 C ： 2 2 9( 2) 2x y 的圆心 ( 2,0) ，半径 3 2
2r
抛物线 E ： 2 2 0y px p 的焦点 02
pF
， ，
设两条切线 1l ， 2l 与圆C 的切点为 ,M N ，则 CM CN r ，
又 1 2l l ，则四边形CMFN 为正方形，
3 22 2 32CF r ，即 2 32
p ，解得 2p ，
所以抛物线的方程为 2 4y x ；
（2）由（1）知 10F ， ，设直线 l 的方程为 1x my ，
联立
2 4
1
y x
x my
，得 2 4 4 0y my ，由根与系数关系得 1 2
1 2
4
4
y y
y y m
2
1 2 1 2 1 22 2 4 2x x my my m y y m
设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，线段 AB 的中点为 2(2 1,2 )Q m m ，
Q 到直线3 4 20 0x y 的距离为 d ，由梯形的中位线定理可得 1 2 2 d d d ，
又 2 223 2 1 4 2 20
2 616( ) 613 3
5 1
6 8 23
55 5
m m m m m
d
当 2
3m 时， d 取得最小值 61
15
，所以 1 2d d 的最小值为122
15 .
8．已知点 F 为曲线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点，点 M 在曲线C 运动，当点 M 运动到 x 轴
上方且满足 MF x 轴时，点 M 到直线 4l y x p : 的距离为 7 2 ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）设过点 F 的直线与曲线C 交于 ,A B 两点，则在 x 轴上是否存在一点 P ，使得直线 PA
与直线 PB 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【试题来源】江西省 2021 届高三 8 月月考（理）
【答案】（1） 2 8y x ；（2） 2,0P
【分析】（1）求出 ,2
pM p
，再利用点到直线的距离公式求出 4p ，即可求解．
（2）由（1）可知 2,0F ，设直线 AB 为 2x my ，联立方程组 2
2
8
x my
y x
，利用根
与系数关系可得 1 2 8y y m ， 1 2 16y y ，假设存在 ,0P a ，由 0PA PBk k 即可求解．
【解析】（1）由题意可得 ,2
pM p
，点 M 到直线 4l y x p : 的距离为 7 2
即 42 7 2
2
p p p
，解得 4p ，所以曲线C 的方程为 2 8y x ．
（2）由（1）可得 2,0F ，不妨设直线 AB 为 2x my ，
联立方程组 2
2
8
x my
y x
，消去 x 可得 2 8 16 0y my ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 1 2 8y y m ， 1 2 16y y ，
假设存在 ,0P a ，使直线 PA 与直线 PB 关于 x 轴对称，
则 0PA PBk k ，即 1 2 1 2
1 2 1 2
02 2
y y y y
x a x a my a my a
，
整理可得 1 2 1 22 2 0my y a y y ，
所以 32 2 8 0m a m ，解得 2a ，所以 2,0P ．
9．已知抛物线 2 2x py ( 0p )上点 P 处的切线方程为 1 0x y ．
（1）求抛物线的方程；
（2）设 1 1( )A x y， 和 2 2( )B x y， 为抛物线上的两个动点，其中 1 2y y ，且 1 2 4y y ，线段
AB 的垂直平分线l 与 y 轴交于点C ，求 ABC 面积的最大值．
【试题来源】综合练习模拟卷 03-2021 年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）
【答案】（1） 2 4x y ；（2）8 ．
【解析】（1）设点
2
0
0( )2
xP x p
， ，由 2 2x py 得
2
2
xy p
，求导得 xy p
，
因为抛物线 2 2x py 上点 P 处的切线斜率为1，切线方程为 1 0x y ，
所以 0 1x
p
，且
2
0
0 1 02
xx p
，解得 2p ，所以抛物线的方程为 2 4x y ；
（2）设线段 AB 中点 0 0( )M x y， ，则 1 2
0 2
x xx ， 1 2
0 22
y yy ，
2 2
2 1
02 1
1 2
2 1 2 1
14 4 ( )4 2AB
x x
xy yk x xx x x x
，所以直线 l 的方程为 0
0
22 ( )y x xx
，
即 02 ( 4 ) 0x x y ，所以l 过定点 (0 )4， ，即点C 的坐标为 (0 )4， ，
联立
0
0
2
2 ( )2
4
xy x x
x y
2 2
0 02 2 8 0x xx x ，
得 2 2
0 04 4(2 8) 0x x 02 2 2 2x ，
2 2
2 2 20 0
1 2 0 0 0| | 1 | | (1 )(32 4 ) (4 )(8 )4 4
x xAB x x x x x ，
设 4(0 )C ， 到 AB 的距离 2
0| | 4d CM x ，
所以 2 2 2
0 0
1 1| | (4 ) (8 )2 2ABCS AB d x x
2 2 2 3
0 0 0
1 1 1 1 24( 4)( 4)(16 2 ) ( ) 82 2 2 2 3x x x ，
当且仅当 2 2
0 04 16 2x x ，即 0 2x 时取等号，所以 ABCS 的最大值为8 ．
10．已知抛物线 2: 2 0C y px p 上一点 0 ,2P x 到焦点 F 的距离 02PF x ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 P 引圆 2 2 2: 3 0 2M x y r r 的两条切线 PA PB、 ，切线 PA PB、
与抛物线C 的另一交点分别为 A B、 ，线段 AB 中点的横坐标记为 t ，求 t 的取值范围．
【试题来源】云南省昆明市官渡区第一中学 2020 届高三上学期开学考试（理）
【答案】（1） 2 4y x （2）见解析
【解析】（1）由抛物线定义，得 0 2
pPF x ，由题意得
0 0
0
2 2
2 4
0
px x
px
p
解得
0
2
1
p
x
所以，抛物线的方程为 2 4y x ．
（2）由题意知，过 P 引圆 2 2 23 (0 2)x y r r 的切线斜率存在，
设切线 PA 的方程为 1 1 2y k x ，则圆心 M 到切线 PA 的距离 1
2
1
2 2
1
kd r
k
，
整理得， 2 2 2
1 14 8 4 0r k k r ．
设切线 PB 的方程为 2 1 2y k x ，同理可得 2 2 2
2 24 8 4 0r k k r ．
所以， 1 2,k k 是方程 2 2 24 8 4 0r k k r 的两根， 1 2 1 22
8 , 14k k k kr
．
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y 由 1
2
1 2
4
y k x
y x
得， 2
1 14 4 8 0k y y k ，
由根与系数关系知， 1
1
1
8 42 ky k
，所以 1
1 2
1 1
4 2 4 2 4 2ky kk k
，
同理可得 2 14 2y k ．设点 D 的横坐标为 0x ，
则 2 22 2
2 11 2 1 2
0
4 2 4 2
2 8 8
k kx x y yx
22 2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 2 3k k k k k k k k ．
设 1 2t k k ，则 2
8 4, 24t r
，
所以， 2
0 2 2 3x t t ，对称轴 1 22t ，所以 09 37x
11．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 2 的直线交抛物线于 ,P Q
两点， 10PQ ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 (3,0) 的直线l 与抛物线C 相交于 ,A B 两点，已知 ( 3,0)M ，且以线段 AM为直
径的圆与直线 3x 的另一个交点为 N ，试问在 x 轴上是否存在一定点，使得直线 BN 恒
过此定点．若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由．
【试题来源】安徽省怀远一中、蒙城一中、、颍上一中、涡阳一中 2020 届高三 5
月五校联考（理）
【答案】（1） 2 8y x ；（2）存在，定点为 0,0 ．
【解析】（1）焦点 ,02
pF
，则直线 PQ 为 2 2
py x
，
联立
2
2 2
2
py x
y px
，消去消 y 可得
2
24 6 04
px px ， 恒成立，
设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，则 1 2
3
2
px x ，
1 2
3 102
pPQ x x p p ，解得 4p ，
所以抛物线C 的方程为 2 8y x ．
（2）设直线 AB 为 3x my ，联立方程 2
3
8
x my
y x
，
消 x 可得 2 8 24 0y my ， 264 24 4 0m ，
设 3 3,A x y ， 4 4,B x y ，则 3 4 8y y m ，不妨设点 3,N t ，
以线段 AM为直径的圆与直线 3x 的另一个交点为 N ，
则 MN AN ，又 MN x 轴，所以 AN 平行 x 轴，设
2
,8
tA t
，则 3y t ，
所以
2
38
t mt ，即
2
4
3 2488 8
t
y m t tt t
，
所以
2
4
4 2
72
8
yx t
，即 2
72 24,B t t
，
所以直线 BN 为
2
24
3 372 33
t tty t x x
t
，
令 0y ，解得 0x ，所以直线 BN 恒过此定点 0,0 ．
12．设点 F 为抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点， , ,A B C 三点在抛物线上，且四边形 ABCF
为平行四边形，当 B 点到 y 轴距离为 1 时， 5BF ．
（1）求抛物线的方程；
（2）平行四边形 ABCF 的对角线 AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；
若不经过定点，请说明理由．
【试题来源】湖北省华大新高考联盟 2020 届高三下学期 4 月教学质量测评（文）
【答案】（1） 2 16y x ；（2）过定点， (2,0)
【解析】（1）如图所示：
依题意 1Bx ，由抛物线定义1 52
p ，所以 8p ．
所以抛物线方程为 2 16y x ．
（2）（方法一）设直线 :AC x ty m ，
设 1 1,A x y ， 2 2,C x y ， 0 0,B x y ， (4,0)F ，
所以 1 14,FA x y ， 0 04,FB x y ， 2 24,FC x y ，
依题意 FA FC FB ，所以 1 2 0
1 2 0
4 4 4,
,
x x x
y y y
即 0 1 2
0 1 2
4,
,
x x x
y y y
联立 2
,
16 ,
x ty m
y x
得 2 16 16 0y ty m ，
所以 2(16 ) 4 16 0t m ，即 24 0t m ， 1 2 16y y t ， 1 2 16y y m ，
所以 2
1 2 1 2 (16 ) 2 16 2x x ty m ty m t t m t m ．
所以
2
0
0
16 2 4,
16 ,
x t m
y t
而 2
0 016y x ，
所以 2 2(16 ) 16 16 2 4t t m ，所以 2m ．即直线 : 2AC x ty ，
令 0y ，则 2x ，所以直线 2x 恒过定点 (2,0) ．
（方法二）设 1 1,A x y ， 2 2,C x y ，
2
0
0,16
yB y
，则 BF 中点为
2
0
0
416 ,2 2
y
yD
，
所以 1 2 0
2 2
y y y ，即 1 2 0y y y ．又 2
1 116y x ， 2
2 216y x ，所以 2 2
1 2 1 216y y x x ．
当 1 2x x 时， 1 2
1 2
1 2
16y y y yx x
，所以
0
16
ACk y
，
所以直线
2
0 0
0
16 64: 2 32
y yAC y xy
，即
0
16 ( 2)y xy
，
令 2x ，则 0y ，所以直线 AC 过定点 (2,0) ．
当 1 2x x 时，根据抛物线对称性，四边形 ABCF 为菱形，
所以直线 : 2AC x ，所以过定点 (2,0) ．综上直线 AC 恒过定点 (2,0) ．
13．设抛物线 2: 2 0E x py p 的焦点为 F ，点 A是 E 上一点，且线段 AF 的中点坐标
为 1,1 ．
（1）求抛物线 E 的标准方程；
（2）若 B ，C 为抛物线 E 上的两个动点（异于点 A），且 BA BC ，求点C 的横坐标的
取值范围．
【试题来源】广西 2020 届高三（7 月份）高考数学（文）第十次适应性试题
【答案】（1） 2 4x y ；（2） , 6 10, U ．
【解析】（1）依题意得 0, 2
pF
，设 0 0,A x y ，由 AF 的中点坐标为 1,1 ，得
0
0
1 2
21 2
x
py
，
即 0 2x ， 0 2 2
py ，所以 4 2 2 2
pp
，得 2 4 4 0p p ，即 2p ，
所以抛物线 E 的标准方程为 2 4x y ；
（2）由题意知 2,1A ，设
2
1
1, 4
xB x
，
2
2
2 , 4
xC x
，则
2
1
1
1
1 14 22 4BA
x
k xx
，
因为 1 2x ，所以
1
4
2BCk x
， BC 所在直线方程为
2
1
1
1
4
4 2
xy x xx
，
联立
2
1
1
1
2
4
4 2
4
xy x xx
x y
，
因为 1x x ，得 1 1 2 16 0x x x ，即 2
1 12 2 16 0x x x x ，
因为 22 4 2 16 0x x ，即 2 4 60 0x x ，故 10x 或 6x ．
经检验，当 6x 时，不满足题意；所以点C 的横坐标的取值范围是 , 6 10, U ．
14．已知 O 是坐标系的原点，F 是抛物线 2: 4C x y 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，
B 两点，弦 AB 的中点为 M， OAB 的重心为 G．
（1）求动点 G 的轨迹方程；
（2）设（1）中的轨迹与 y 轴的交点为 D，当直线 AB 与 x 轴相交时，令交点为 E，求四边
形 DEMG 的面积最小时直线 AB 的方程．
【试题来源】浙江省 2020 届高三下学期 5 月高考质检
【答案】（1） 23 2
4 3y x ；（2） 30 110y x ．
【分析】（1）求得焦点 0,1F ，显然直线 AB 的斜率存在，设 : 1AB y kx ，代入抛物线
的方程，运用根与系数关系和三角形的重心坐标，运用代入法消去 k，即可得到所求轨迹方
程；（2）求得 D，E 和 G 的坐标， DG 和 ME 的长，以及 D 点到直线 AB 的距离，运用四
边形的面积公式，结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线 AB 的方程．
【解析】（1）焦点 0,1F ，显然直线 AB 的斜率存在，
设 : 1AB y kx ，联立 2 4x y ，消去 y 得， 2 4 4 0x kx ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， ,G x y ，则 1 2 4x x k ， 1 2 4x x ，
所以 2
1 2 1 21 1 4 2y y kx kx k ，所以 2
4
3
4 2
3
kx
ky
，
消去 k，得重心 G 的轨迹方程为 23 2
4 3y x ；
（2）由已知及（1）知， 20, 3D
， 1 ,0E k
， 0k ， 2Mx k ， 4
3G
kx ，
因为 2
3
OD OG
OF OM
，所以 / /DG ME ，(注：也可根据斜率相等得到)，
2 41 3
kDG k ， 2 21 11 2 1 2ME k k k kk k
，
D 点到直线 AB 的距离
2 2
1
13
1 3 1
d
k k
，
所以四边形 DEMG 的面积 2
2
1 4 1 1 1 10 11 22 3 6 33 1
kS k k kk kk
1 10 3026 3 9
，当且仅当10 1
3 k k
，即 30
10k 时取等号，
此时四边形 DEMG 的面积最小，所求的直线 AB 的方程为 30 110y x ．
15．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 过点 (4,4)D
（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标与准线方程；
（2）直线l 与抛物线C 交于不同的两点 E ，F 过点 E 作 x 轴的垂线分别与直线OD ，OF 交
于 A， B 两点，其中O 为坐标原点．若 A为线段 BE 的中点，求证：直线l 恒过定点．
【试题来源】四川省江油市 2020-2021 学年度高三 7 月份第二次考试（文）
【答案】（1）抛物线 C 的方程为 2 4y x ，其焦点坐标为 (1,0) ，准线方程为 1x （2）
证明见解析；
【分析】（1） 点 (4,4)D 代入求得 p ，即可的抛物线方程求得结果．（2） 由题意知直线l 斜
率存在且不为零，设直线l 方程为 ( 0)x my b b ，与抛物线方程联立，设 1 1,E x y ，
2 2,F x y ，根据已知由OD ： y x ， OF ： 2
2
yy xx
，及过点 E 作 x 轴的垂线求得 ,A B
的坐标，根据 A为线段 BE 的中点，借助根与系数关系化简即可证得结论．
【解析】（1）由抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 过点 (4,4)D ，
得 2p ，所以抛物线 C 的方程为 2 4y x ，其焦点坐标为 (1,0) ，准线方程为 1x ．
（2）由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 方程为 ( 0)x my b b ，
直线l 与抛物线C 的交点为 1 1,E x y ， 2 2,F x y ．
由
2 4 ,
.
y x
x my b
得 2 4 4 0( 0)y my b ，
由根与系数关系，得 1 2 4y y m ， 1 2 4y y b ．
由已知得直线 OD 的方程为 y x ，所以 1 1,A x x ，
由已知得直线 OF 方程为 2
2
yy xx
，所以 2 1
1
2
, y xB x x
．
因为 A是线段 BE 的中点，所以 2 1
1 1
2
2 0y xy xx
①，
将 2
1 14y x ， 2
2 24y x ，代入①式，并化简得 1 2
1 2 2
y yy y ② ，
把 1 2 4y y m ， 1 2 4y y b 代入②式，化简得 2b m
所以直线l 的方程为 2 ( 2)x my m m y ，故直线l 恒过定点 (0,2) ．
16．已知抛物线 2: 4E y x 的焦点为 F，准线为 l ，过焦点 F 的直线交抛物线 E 于 A、B．
（1）若 1AA 垂直 l 于点 1A ，且 1 6AFA ，求 AF 的长；
（2）O 为坐标原点，求 OAB 的外心 C 的轨迹方程．
【试题来源】 2020 届高三下学期 5 月月考（理）
【答案】（1） 4
3
；（2） 2 58 2x y ．
【分析】（1）由抛物线的定义得 1AF AA ，利用已知条件先求 1A F 的长，再求 AF 的长即
可；（2）设 2 2,2 , , , ,A a a B b b C x y ，直线 : 1AB x ty t R ，联立直线与抛物线
的方程消 x ，利用根与系数关系，得到 2 2 4
2 2 4
a b t
a b
，易得 ,OA OB 的中垂线方程联立可得
,x y 关于t 的式子，消t 即可求解．
【解析】（1）由 1AF AA ， 1 6AA F ，得 1 1 6AA F A FO ，
1
1
1
4 3 42,3 3cos cos6 6
A FpA F AF ，故 1
4
3A F ；
（2）设 2 2,2 , , , ,A a a B b b C x y ，直线 : 1AB x ty t R ，
由 2
1
4
x ty
y x
，得 2 4 4 0y ty ，由根与系数关系得 2 2 4
2 2 4
a b t
a b
，
即有 2 2 22 4 21
a b t a b tab
，
易得 ,OA OB 的中垂线方程联立可得
3
3
2 4
2 4
a ay x a
b by x b
，
可得
2 2 2 2 3
2 52 2 , 22 2 2 2 4 4 2
a b ab a a b ab a a b tx t y a
，
外心C 的轨迹方程为 2 58 2x y ．
17．已知抛物线 2: 2 ( 0)T x py p 的焦点为 F，B，C 为抛物线 C 上两个不同的动点，(B，
C 异于原点)，当 B，C，F 三点共线时，直线 BC 的斜率为 1， 2BC ．
（1）求抛物线 T 的标准方程；
（2）分别过 B，C 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 M，N，若 MNP BCFS S ，求 BC 中点 P 的轨
迹方程．
【试题来源】重庆市 2020 届高三下学期第九次教学质量检测（理）
【答案】（1） 2y x= ；（2） 2 12 2y x ．
【 分 析 】（ 1 ） 设 直 线 BC 的 方 程 为
2
py x ， 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 ， 设
1 1 2 2, , ,B x y C x y ，从而求得 BC 的长，即可解出 p 的值，得出抛物线 T 的标准方程；
（2）设 1 1 2 2, , ,B x y C x y ，求出 ,M N 的坐标，表示出 MNFS 以及直线 BC 的方程，令
直线 BC 与 y 轴交于点 H，则 1 20,H x x ，表示出 BCFS ，利用 MNP BCFS S 即可求出轨
迹．
【解析】（1）设直线 BC 的方程为
2
py x ，
则
2 2
2
2 02
2
py x x px p
py x
，设 1 1 2 2, , ,B x y C x y ，
则 1 2
1| | 1 1 | | 2 2BC x x p ，所以抛物线 T 的标准方程为 2y x= ．
（2）令 1 1 2 2, , ,B x y C x y ， 1(0, )4F ，则 1 2,0 , ,0M x N x ，则 1 2
1 1
2 4MNFS x x ，
直线 BC 的方程为 2 1
1 1 1 2 1 2
2 1
y yy y x x y x x x x xx x
，令直线 BC 与 y 轴交
于点 H，则 1 20,H x x ，所以 1 2
1| | | |4HF x x ， 1 2
1 | || |2BCFS HF x x
所以 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1| |2 4 2 4 4 2x x HF x x x x x x 或 0(舍)，
令 BC 中点为 0 0 ,P x y ，则
1 2
0
2 2
2 2 21 2 1 2
0 0 1 2 1 2 0
2
2 2 2 12 2
x xx
y y x xy x x x x x y
，
所以中点轨迹方程 2 12 2y x ．
18．已知抛物线 2: 2 ( 0)T x py p 的焦点为 F，B､C 为抛物线 T 上两个不同的动点，当 B，
C 过 F 且与 x 轴平行时，BC 长为 1．
（1）求抛物线 T 的标准方程；
（2）分别过 B，C 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 M，N，若 2MNF BCFS S ，求 BC 中点的轨迹
方程．
【试题来源】重庆市 2020 届高三下学期第九次质检（文）
【答案】（1） 2x y ；（2） 2 12 8y x 或 2 32 8y x ．
【分析】（1） 0, 2
pF
，由于 //BC x 轴，可知 B，C 两点纵坐标为
2
p ，代入 2 2x py ，即
可求得 B，C 两点横坐标，从而求得 BC 的长，即可解出 p 的值，得出抛物线 T 的标准方程；
（2）设 2 2
1 1 2 2, , ,B x x C x x ，设 BC 与 y 轴交于点 0,Q m ，将两个三角形的面积 OF 、QF 、
1 2x x 表示出来，可得 2OF QF ，用 m 表示，即可解出 Q 点的坐标，设BC的中点 ,R x y ，
利用 B C Q R、 、 、 四点共线，利用 //QR BC
，即可求出轨迹方程．
【解析】（1）由题意当 BC 过 F 且与 x 轴平行时，有 ( , )2
pB p ， ( , )2
pC p ，
则 2 1BC p ，所以抛物线 T 的方程为 2x y ；
（2）设 2 2
1 1 2 2, , ,B x x C x x ，设 BC 与 y 轴交于点 0,Q m ，
则 1 2
1 | |2MNFS OF x x ， 1 2
1 | |2BCFS QF x x
故由 2MNF BCFS S 得 2OF QF ，
所以 1 12 | |4 4m ， 3
8m 或者 1
8m ，即 1(0, )8Q 或 3(0, )8Q ，
设 BC 的中点 ,R x y ，则 1 2 2BCk x x x ，
①当 1(0, )8Q 时，由 //QR BC
得 2 12 8x y ，所以 2 12 8y x
②当 3(0, )8Q 时，同理可得 2 32 8y x ，
故 BC 中点的轨迹方程为 2 12 8y x 或 2 32 8y x
19．已知抛物线 2: 2 0C y px p 的内接等边三角形 AOB 的面积为 3 3 （其中 O 为坐
标原点）．
（1）试求抛物线C 的方程；
（2）已知点 1,1 , ,M P Q 两点在抛物线C 上， MPQ 是以点 M 为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线 PQ 恒过定点；
②过点 M 作直线 PQ 的垂线交 PQ 于点 N ，试求点 N 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种
曲线．
【试题来源】2020 届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三三诊模拟考试（文）
【答案】（1） 2y x ；（2）①证明见解析；② 2 2 3 1 0( 1)x y x x ，是以 MH 为直径
的圆（除去点 (1, 1) ．
【解析】（1）解依题意，设 ,A AA x y ， ,B BB x y ，
则由 OA OB ，得 2 22 2A A B Bx px x px ，即 2 0A B A Bx x x x p ，
因为 0Ax ， 0Bx ，所以 2 0A Bx x p ，故 A Bx x ， A By y ，
则 A， B 关于 x 轴对称，所以 AB x 轴，且 30AOx ，所以 3tan30 3
A
A
y
x
．
因为
2
2
A
A
yx p
，所以 2 3Ay p ，所以 2 4 3AAB y p ，
故 2 23 4 3 12 3 3 34AOBS p p ， 1
2p ，
故抛物线C 的方程为 2y x ．
（2）①由题意可设直线 PQ 的方程为 x my a ， 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，
由 2
x my a
y x
，消去 x ，得 2 0y my a ，
故 2 4 0m a ， 1 2y y m ， 1 2y y a ．
因为 90PMQ ，所以 0MP MQ ．即 1 2 1 21 1 1 1 0x x y y ．
整理得 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0x x x x y y y y ，
22 2
1 2 1 2 1 2 1 23 2 0y y y y y y y y ，即 2 2 3 2 0a m a m ，
得
2 23 1
2 2a m
，所以 3 1
2 2a m 或 3 1
2 2a m
．
当 3 1
2 2a m ，即 2a m 时，直线 PQ 的方程为 1 1x my a m y ，
过定点 1,1 ，不合题意舍去．故直线 PQ 恒过定点 2, 1H ．
②设 ,N x y ，则 MN NH ，即 0MN NH ，
得 1 2 1 1 0x x y y ，即 2 2 3 1 0 1x y x x ，
即轨迹是以 MH 为直径的圆（除去点 1, 1 ）．
20．设抛物线 E ： 2 2 0y px p 焦点为 F ，准线为 l ， A为 E 上一点，已知以 F 为圆
心， FA 为半径的圆 F 交l 于 B 、 D 点．
（1）若 60BFD ， BFD△ 的面积为 4 3
3
，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若点 A在第一象限，且 A、B 、F 三点在同一直线 1l 上，直线 1l 与抛物线 E 的另一个
交点记为C ，且CF FA ，求实数 的值．
【试题来源】黑龙江省 2020 届高三高考数学（文）四模试题
【答案】（1） 2p ，圆 F 为 2 2 161 3x y ；（2） 1
3
．
【分析】（1）依题意可得 BFD△ 为正三角形，且 2
3
pBF ，根据 BFD△ 的面积，即可
求出 p ，从而得到圆 F 的方程；（2）依题意可得直线 AB 的倾斜角为
3
或 2
3
，由对称性
可知，设直线l ：
23
y px ， 1 1,A x y ， 2 2,C x y ，联立直线与抛物线方程消元列出根
与系数关系，由CF FA ，即可得到 214
3
，解得即可；
【解析】（1）焦点到准线 l 的距离为 p ，
因为 BF FD ， 60BFD ，所以 BFD△ 为正三角形．
所以 2
3
pBF ， ,2 3
p pB
，所以 21 4sin 60 32 3BFDS BF △ ， 2p ，
所以圆 F 为 2 2 161 3x y ．
（2）若 A、 F 、 B 共线，则 AF BF DF ，
2BDA ，
所以 1
2AD AF AB ，
6DBA ，所以直线 AB 的倾斜角为
3
或 2
3
，
由对称性可知，设直线l ：
23
y px ， 1 1,A x y ， 2 2,C x y ，CF FA ，
联立
1 2 12 2
2 22
1 2 1
2 122 0 33 32
py p y y yx py y p
y y p yy px
，
所以 214
3
， 23 10 3 0 ， 3 或 1
3
，
又 AF BF p ， 1 2
px ， 0 1 ，所以 1
3
．
21．已知动圆 Q 经过定点 0,F a ，且与定直线 :l y a 相切（其中 a 为常数，且 0a ）．记
动圆圆心 Q 的轨迹为曲线 C．
（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线？
（2）设点 P 的坐标为 0, a ，过点 P 作曲线 C 的切线，切点为 A，若过点 P 的直线 m 与
曲线 C 交于 M，N 两点，证明： AFM AFN ．
【试题来源】广西柳铁一中 2021 届高三 9 月联考（文）
【答案】（1） 2 4x ay ，它是以 F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线；（2）证明见解析．
【分析】（1）设 ,Q x y ，由题意得 22x y a y a ，化简即得解；（2）不妨设
2
, 04
tA t ta
，先证明 //AF x 轴，再利用根与系数关系证明 0FM FNk k 即得解．
【解析】（1）设 ,Q x y ，由题意得 22x y a y a ，化简得 2 4x ay ，
所以动圆圆心 Q 的轨迹方程为 2 4x ay ，它是以 F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线．
（2）不妨设
2
, 04
tA t ta
．因为
2
4
xy a
，所以
2
xy a
，
从而直线 PA 的斜率为
2
4
0 2
t a ta
t a
，解得 2t a ，即 2 ,A a a ，
又 0,F a ，所以 //AF x 轴．要使 AFM AFN ，只需 0FM FNk k ．
设直线 m 的方程为 y kx a ，代入 2 4x ay 并整理，得 2 24 4 0x akx a ．
所以 2 216 1 0a k ，解得 1k 或 1k ．设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
则 1 2 4x x ak ， 2
1 2 4x x a ．
2 1 1 21 2
1 2 1 2
FM FN
x y a x y ay a y ak k x x x x
2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 22x kx a x kx a a x xkx x x x
2
2 42 04
a akk a
．
故存在直线 m，使得 AFM AFN ，
此时直线 m 的斜率的取值范围为 , 1 1, ．
22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 2,0F ， 2,3M ，动点 P 满足 1
2 OF MP PF ．
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）过点 1,0D 作直线 AB 交C 于 A， B 两点，若 AFDV 的面积是 BFD△ 的面积的 2
倍，求 AB ．
【试题来源】河北省张家口市邢台市衡水市 2021 届高三上学期摸底联考（新高考）
【答案】（1） 2 8y x ；（2） 3 17
2
．
【分析】（1）设 ,P x y ，求得 , ,MP OF PF
的坐标，结合 1
2 OF MP PF ，化简、整
理，即可求得抛物线的方程；（2）设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，不妨设 1 20, 0y y ，由
2AFD BFDS S△ △ ，求得 1 22y y ，设直线 AB 的方程为 1x my ，联立方程组，结合根
与系数的关系得 1 2 8y y m ， 1 2 8y y ，进而求得 1 2, ,y y m ，利用弦长公式即可求解．
【解析】（1）设 ,P x y ，因为 2,0F ， 2,3M ，
则 2, 3MP x y ， 2,0OF ， 2 ,PF x y ．
由 1
2 OF MP PF ，可得 2 22 2x x y ，化简得 2 8y x ，
即动点 P 的轨迹C 的方程为 2 8y x ．
（2）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
由题意知 1
1
2AFDS FD y △ ， 2
1
2BFDS FD y △ ，
易知 1 2 0y y ，不妨设 1 20, 0y y ，
因为 2AFD BFDS S△ △ ，所以 1 22y y ，所以 1 22y y ． ①
设直线 AB 的方程为 1x my ，
联立
2 8
1
y x
x my
消去 x ，得 2 8 8 0y my ，则 264 32 0m ，
可得 1 2 8y y m ， 1 2 8y y ②
由①②联立，解得 1 2
14, 2, 4y y m ，
所以 2
1 2
1 3 171 1 4 ( 2)16 2AB m y y ．
23．已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点为 1,0F ．
（1）求C 的方程；
（2）设 P 为C 的准线上一点，Q 为直线 PF 与C 的一个交点且 F 为 PQ 的中点，求Q 的
坐标及直线 PQ 的方程．
【试题来源】2020 届全国普通高校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试
【 答 案 】（ 1 ） 2 4y x ；（ 2 ） 点 1,2 3P 或 1, 2 3 ； 3 3 3 0x y 或
3 3 0x y ．
【分析】（1）根据焦点坐标可求出抛物线方程；（2）设点 P 坐标，根据中点坐标和抛物线
方程，由点斜式方程可得答案．
【解析】（1）由题可设抛物线方程为 2 2y px ，因为焦点（−1，0）可得 12
p
所以 2p ，所以 2 4y x ；
（2）设点 P 坐标为 11, y ， 2 2,Q x y ，
因为 F 为 PQ 中点，所以 21 12
x ，所以 2 3x
因为Q 在抛物线上，将 2 3x 代入得 2 2 3y ，
所以 3,2 3Q 或 3, 2 3 ，
当 2 2 3y 时，由 1 2 02
y y 得 1 2 3y ；
当 2 2 3y 时，由 1 2 02
y y 得 1 2 3y ；
所以点 1,2 3P 或 1, 2 3 ；所以 2 1
2 1
3PQ
y yk x x
所以直线方程 3 3 3 0x y 或 3 3 0x y
24．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的
光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线 2: 2 ( 0)C x py p ，
一平行于 y 轴的光线从上方射向抛物线上的点 P ，经抛物线 2 次反射后，又沿平行于 y 轴
方向射出，若两平行光线间的最小距离为 8．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若直线 :l y x m 与抛物线C 交于 A，B 两点，以点 A为顶点作 ABN ，使 ABN
的外接圆圆心T 的坐标为 493, 8
，求弦 AB 的长度．
【试题来源】江苏省两校（、兴化中学）2020-2021 学年高三上学期第二次适应性
联考
【答案】（1） 2 8x y ；（2）10 2 ．
【解析】（1）设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，
因为 0, 2
pF
，设直线 PQ 方程为
2
py kx ， k R ，
由
2 2
2
x py
py kx
，得 2 22 0x pkx p ，所以 1 2 2x x pk ， 2
1 2x x p ，
则两平行光线距离 2 2 2
1 2 4 4 2d x x p k p p ，
所以 2 8p ，故抛物线方程为 2 8x y ．
（2）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， A， B 中点 0 0,M x y
由
2 8x y
y x m
，得 2 8 8 0x x m ， > 0 > 2m ，
所以 1 2
0 42
x xx ， 0 4y m ，
因为 MT AB ， 所以 1MT ABk k ，即
494 8 1 14 3
m
，解得 9
8m ，
所以 2
18 9 0 1x x x ， 2 9x ，所以 2
1 21 1 10 2AB x x ．
25．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为 1
2y ， F 为抛物线C 的焦点，点 P 为
直线 1 23
y x 上任意一点，以 P 为圆心， PF 为半径的圆与抛物线C 的准线交于 A、 B
两点，过 A、 B 分别作准线的垂线交抛物线 C 于点 D 、 E ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）证明：直线 DE 过定点，并求出定点的坐标．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市 2020 届高三数学（理）第三次质检试题
【答案】（1） 2 2x y ；（2）证明见解析，定点 1, 23M
．
【分析】（1）设抛物线 C 的标准方程为 2 2 0x py p ，根据抛物线的准线方程可求得
p 的值，由此可求得抛物线 C 的方程；（2）设点 P 的坐标为 ,t s ，求出圆的方程，与直线
1
2y 方程联立，可得出关于 t 、 s 的二次方程，并设点
2
1
1, 2
xD x
、
2
2
2 , 2
xE x
，可
列出根与系数关系，并求得直线 DE 的方程，进而可求得直线 DE 所过定点的坐标．
【解析】（1）设抛物线C 的标准方程为 2 2 0x py p ，
依题意， 1 12 2
p p ，抛物线C 的方程为 2 2x y ；
（2） 10, 2F
，设 ,P t s ，则 1 23s t ，
2
2 2 1 5
3 2PF t t
，
于是圆 P 的方程为
2
2 2 2 1
2x t y s t s
，
令 1
2y ，得 2 2 2 0x tx s ，①
设
2
1
1, 2
xD x
、
2
2
2 , 2
xE x
，由①式得 1 2 2x x t ， 1 2
22 43x x s t ，②
直线 DE 的斜率为
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2DE
x x
x xk tx x
，则直线 DE 的方程为
2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
12 2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x x xy x x x y x ，
代入②式就有 1 12 23 3y tx t y t x
，
因为上式对t R 恒成立，故
1 10,3 3
2 0 2
x x
y y
，即直线 DE 过定点 1, 23M
．
26．已知圆 2 2 1:( 1) 4M x y ，动圆 N 与圆 M 相外切，且与直线 1
2x 相切．
（1）求动圆圆心 N 的轨迹 C 的方程．
（2）已知点 1 1( , ), (1,2)2 2P Q ，过点 P 的直线l 与曲线C 交于两个不同的点 ,A B（与Q
点不重合），直线 ,QA QB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【试题来源】黑龙江省 2021 届高三（上）期中（理）
【答案】（1） 2 4y x ；（2）是， 8
3
．
【分析】（1）根据题意分析可得 N 到直线 1x 的距离等于 N 到 (1,0)M 的距离，由抛物
线的定义可知， N 的轨迹 C 为抛物线，其方程为 2 4y x ；（2） 设直线 l 的方程为
1 1( )2 2x m y ，点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，直线 ,QA QB 的斜率分别为 1k 和 2 1 2,k k k ，
联立直线和抛物线方程，利用根与系数关系得 1 2y y 和 1 2y y ，根据斜率公式得 1k 和 2k ，利
用 1 2y y 和 1 2y y 化简 1 2k k 即可得到定值．
【解析】（1）设 N 直线 1
2x 的距离为 d ，因为动圆 N 与圆 M 相外切，所以 1
2MN d ，
所以 N 到直线 1x 的距离等于 N 到 (1,0)M 的距离，
由抛物线的定义可知， N 的轨迹C 为抛物线，其焦点为 (1,0)M ，准线为 1x ，
所以抛物线C 的方程为 2 4y x ．
（2）设直线l 的方程为 1 1( )2 2x m y ，即 2 2 1 0x my m
因为 ,A B 与Q 点不重合，所以 3
5m
设直线 ,QA QB 的斜率分别为 1k 和 2 1 2,k k k ，点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
联立 2
2 2 1 0,
4 ,
x my m
y x
消去 x 并整理得 2 4 2 2 0y my m ，
则 1 2 4y y m ， 1 2 2 2y y m ，
由 2(4 ) 4(2 2 ) 0m m ，解得 1m 或 1
2m ，且 3
5m ．
可得
1 1 1
1
1 1
1
2 2 2( 2)
11 2 3(2 1) 12
y y yk x my mmy m
，同理可得 2
2
2
2( 2)
2 3
yk my m
，
所以 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2( 2) 2( 2) 2[4 3( 1)( ) 4( 3)]
2 3 2 3 4 2 ( 3)( ) ( 3)
y y my y m y y m
my m my m m y y m m y y m
2
2 2 2
2[4 (2 2 ) 3( 1)4 4( 3)] 8( 5 2 3) 8
4 (2 2 ) 2 ( 3)4 ( 3) 3( 5 2 3) 3
m m m m m m m
m m m m m m m m
，
故直线 ,QA QB 的斜率之和为定值 8
3
．
【名师点睛】利用斜率公式转化为 ,A B 两个点的纵坐标之和与纵坐标之积，再根据根与系
数关系代入化简是解题关键，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
27．已知抛物线 2 2 0y px p 的焦点为 F ， x 轴上方的点 2,M m 在抛物线上，且
5
2MF ，直线l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA ，MB 的
斜率分别为 1k ， 2k ．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知 1 2 2k k ，l ： y kx b ，求b 的值．
【试题来源】江苏省南京市玄武高级中学 2020-2021 学年高三上学期 11 月学情检测
【答案】（1） 2 2y x ；（2） 1 ．
【分析】（1）根据抛物线的定义，可得 22
pMF ，求得 p 的值，即可得到抛物线的
方程；（2）由（1）得出点 2,2M ，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立方程组由根与系数的
关系，求得
2
1 2 1 22 2
2 2 ,kb bx x x xk k
，再结合 1 2 2k k ，列出方程，求得 b 的值，
即可求解．
【解析】（1）由题意，抛物线 2 2 0y px p ， x 轴上方的点 2,M m 在抛物线上，
根据抛物线的定义，可得 522 2
pMF ，解得 1p ，
所以抛物线的方程为 2 2y x ．
（2）由（1）可知，点 M 的坐标为 2,2 ，设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
联立方程组 2 2
y kx b
y x
，得整理 2 2 22 2 0k x kb x b ，
则 1 2 2
2 2kbx x k
，
2
1 2 2
bx x k
， ①
因为 1 2
1 2
1 2
2 2 22 2
y yk k x x
，
即 1 2 2 1 1 22 2 2 2 2 2 2kx b x kx b x x x ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 8 2 4 8kx x k x x b x x x x b x x x x ，
1 2 1 22 2 2 2 4 0k x x k b x x b ，
将①代入得， 2 2 2 1 0b b k b ，即 1 2 2 0b b k
解得 1b 或 2 2b k ，当 1b 时，直线 l 为 1y kx ，此时直线恒过 0, 1 ；
当 2 2b k 时，直线 l 为 2 2 2 2y kx k k x ，此时直线恒过 2,2 （舍去）
所以 1b ．
【名师点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，
即确定题目中核心变量（通常为变量 k ）；②利用条件找到 k 过定点的曲线 0( ),F x y 之间
的关系，得到关于 k 与 ,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
（2）由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况
探索出定点，再证明该定点与变量无关．
28．已知直线 2y x 与抛物线 2 2y px 相交于 A，B 两点，满足OA OB ．定点 4,2C ，
4,0D ， M 是抛物线上一动点，设直线 CM ， DM 与抛物线的另一个交点分别是 E ，
F ．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：当 M 点在抛物线上变动时（只要点 E 、 F 存在且不重合），直线 EF 恒过一个
定点；并求出这个定点的坐标．
【试题来源】湖北省十一校考试联盟 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】（1） 2 2y x ；（2）证明见解析；定点 4,4 ．
【分析】（1）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，联立 2y x 与 2 2y px 消元后利用根与系数关
系得 1 2x x ， 1 2x x ，由OA OB 可得 1 2 1 2 0OA OB x x y y ，即可求出 p 的值，进而
得出抛物线方程；（2）设 M 、 E 、 F 坐标由C 、 M 、 E 共线可得 M 、 E 的坐标关系，
同理可得 F 、M 的坐标关系，进而求出直线 EF 的方程，将 E 、F 坐标代入即可得到直线
EF 恒过定点的坐标．
【解析】（1）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，将 2y x 代入 2 2y px ，得 22 2x px ，
化简得 2 4 2 4 0x p x ，所以 1 2 4x x ， 1 2 4 2x x p ；
因此： 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 4y y x x x x x x p ，
又OA OB ，所以 1 2 1 2 0x x y y ；得 1p ，抛物线的方程 2 2y x ．
（2）设 M 、 E 、 F 坐标分别是
2
0
0,2
y y
，
2
1
1,2
y y
，
2
2
2,2
y y
，
由C 、 M 、 E 共线，得 EM CMk k ，即
1 0 0
2 22
0 01
2
42 2 2
y y y
y yy
，
整理可得 0 1 0 12 8y y y y ，所以 0
1
0
2 8
2
yy y
，
同理：由 D 、 M 、 F 共线，得 2
0
8y y
，
所以直线 EF 的方程为 2 1
1 1 12 2
2 1 1 2
2
2 2
y yy y x x x xy y y y
，
整理可得 1 2 1 2 2y y y y y x ，
将 0
1
0
2 8
2
yy y
， 2
0
8y y
代入直线 EF 方程得 2
02 2 4 4 8 2 8 0x y y x y ，
所以
0
4 0
2 8 0
x y
x
y
，方程组有解 4x y 所以直线 EF 恒过定点 4,4 ，
29．已知曲线 C 是顶点为坐标原点 O，且开口向右的抛物线，曲线 C 上一点 A（x0，2）到
准线的距离为 5
2
，且焦点到准线的距离小于 4．
（1）求抛物线 C 的方程与点 A 的坐标；
（2）若 MN，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的 C 的弦，求四边形 MPNQ 的面积的最小值．
【试题来源】云南省西南名校联盟 2021 届高三 12 月高考适应性月考卷（理）
【答案】（1）抛物线 C 的方程为 2 2y x ， (2 2)A ， ；（2）12．
【分析】（1）设抛物线标准方程，利用点 A 在抛物线上，及其到准线的距离求解参数 p 即
得结果；（2）先设直线 MN 的方程并与抛物线联立，利用根与系数关系弦长 MN ，再利用
垂直关系设 PQ 的方程并与抛物线联立，利用根与系数关系弦长 PQ ，计算面积
1 | | | |2S MN PQ ，结合基本不等式求最值即可．
【解析】（1）设抛物线的方程为 2 2 ( 0)y px p ，
因为点 A 在抛物线上，所以 04 2px ，得 0
2x p
，
所以点 A 到准线的距离为 0
2 5
2 2 2
p px p
，即 2 5 4 0p p ，
解得 4p 或 1p ，又焦点到准线的距离为 p ， 4p ，故 1p ， 0
2 2x p
，
所以抛物线 C 的方程为 2 2y x ， (2 2)A ， ．
（2）设 MN： 1x my ，代入抛物线的方程可得 2 2 2 0y my ，
设 1 1( )M x y， ， 2 2( )N x y， ，则 1 2
1 2
2
2
y y m
y y
，
，
所以 2 2 2 2
1 2 1 21 ( ) 4 2 (1 )( 2)MN m y y y y m m ．
因为 PQ MN ，所以 PQ： 1 1x ym
，
同理，用 1
m
代换上式的 m ，可得 2 2
1 1| | 2 1 2PQ m m
，
所以四边形 MPNQ 的面积 2 2
2 2
1 1 1| | | | 2 (1 )( 2) 1 22S MN PQ m m m m
2 2
2 2
1 12 (1 ) 1 ( 2) 2m mm m
2 2
2 2
1 12 2 5 2m mm m
．
因为 2
2
1 2m m
，当且仅当 2 1m 时，等号成立．
故 2
2
12 4 2m m
= ， 2
2
15 2 9 3m m
，当且仅当 2 1m 时，等号成立．
所以 2 2 3 12S ，当且仅当 2 1m 时，等号成立．
所以当 1m 时，四边形 MPNQ 的面积取得最小值为 12．
30．已知抛物线 2: 2C y px 的焦点为 1,0F ，斜率为 k 的直线 1l 过点 0, 0P m m ，
直线 1l 与抛物线C 相交于 A， B 两点．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）直线 2l 过点 0, 0P m m ，且倾斜角与 1l 互补，直线 2l 与抛物线C 交于 M ， N 两
点，且 FAB 与 FMN 的面积相等，求实数 m 的取值范围．
【试题来源】浙江省金华市义乌市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】（1） 2 4y x ；（2） 0,1 1, 2 ．
【分析】（1）由抛物线C 的焦点为 1,0F ，得到 12
p ，求得 2p ，进而得到抛物线的
方程；（2）令 1 : ( )l x t y m ， 2 : ( )l x t y m ，联立方程组，结合根与系数的关系及弦
长 公 式 ， 求 得 2 2| | 4 1AB t t at ， 得 到 ABCS 和 FMNS ， 根 据 面 积 相 等 ， 得 到
2
2
1 02t m
，进而求得实数 m 的取值范围．
【解析】（1）由题意，抛物线 2: 2C y px 的焦点为 1,0F ，
可得 12
p ，解得 2p ，所以抛物线的方程为 2 4y x ．
（2）根据题意，令 1 : ( )l x t y m ， 2 : ( )l x t y m ，
联立方程组 2
( )
4
x t y m
y x
，整理得 2 4 4 0y ty tm ，
可得 4 , 4A B A By y t y y tm ，所以 2 2 2| | 1 4 1A BAB t y y t t at ，
2 2 2
2
1 |1 |4 1 2 12 1ABC
mtS t t mt t mt mt
t
△ ，
用 t 代t ，可得 2
2 | 1|=FMNS t mt mt ，
所以 2 22 | 1| 2 | 1|t mt mt t mt mt ，化简得 2
2
1 02t m
，
又由
2
2
0
0
t mt
t mt
，可得 2 2t m ，所以 2 2
2
1
2t mm
，解得 0 2m ，
又由 FAB 、 FMN 构成直线 1l 、 2l 不过 1,0 点，即 1m ，
所以实数 m 的取值范围 0,1 1, 2 ．
【名师点睛】对于直线与圆锥曲线的最值与范围问题：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、
圆锥曲线的定义、图形、几何性质来求解；
（2）函数取值法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可建立目标函数，再求
这个函数的最值，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换
元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围．
31．已知点 P 是抛物线C ： 21
2y x 上的一点，其焦点为点 F ，且抛物线C 在点 P 处的切
线l 交圆 O ： 2 2 1x y 于不同的两点 A， B ．
（1）若点 2,2P ，求 AB 的值；
（2）设点 M 为弦 AB 的中点，焦点 F 关于圆心 O 的对称点为 'F ，求 'F M 的取值范围．
【试题来源】四川省泸县第四中学 2020-2021 学年高三上学期开学考试（理）
【答案】（1） 2 5
5AB （2） 2 3 3 2 2 1,2 2
【分析】（1）利用导数求出过点 2,2P 的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半
径、弦长的关系求解即可；（2）设点 0 0,P x y ，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方
程，由根与系数关系求出中点 M 的坐标，由两点间距离公式表示出
4 2
0 0
2
0
' 1 1
2 1
x xF M x
，
令 2
0 1t x 换元，利用函数的单调性即可求出取值范围．
【解析】设点 0 0,P x y ，其中 2
0 0
1
2y x ．
因为 'y x ，所以切线l 的斜率为 0x ，于是切线l ： 2
0 0
1
2y x x x ．
（1）因为 2,2P ，于是切线l ： 2 2y x ．故圆心 O 到切线l 的距离为 2
5
d ．
于是
2
2 2 2 52 1 2 1 55
dAB
．
（2）联立
2 2
2
0 0
1
1
2
x y
y x x x
得 2 2 3 4
0 0 0
11 1 04x x x x x ．设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
,M x y ．则
3
0
1 2 2
0 1
xx x x
， 23 2 4
0 0 0
14 1 1 04x x x
．
解得 2
02 2 2 2 2 2x ，又 2
0 0x ，于是 2
00 2 2 2x ．
于是
3
01 2
2
02 2 1
xx xx
x
，
2
2 0
0 0 2
0
1
2 2 1
xy x x x
x
．
又C 的焦点 10, 2F
，于是 ' 10, 2F
．
故
2 2
3 2
0 0
2 2
0
'
0
1
22 1 2 1
F x x
x x
M
6 4 2
0 0 0
2 22 00
1 11
2 14 1
x x x
xx
．
令 2
0 1t x ，则1 3 2 2t ．于是
2
' 1 3 3 1 3 32 2F t t tt tM ．
因为 3t t
在 1, 3 单调递减，在 3,3 2 2 单调递增．
又当 1t 时， ' 1
2F M ；当 3t 时， ' 2 3 3
2F M ；
当 3 2 2t 时， ' 2 2 1 1
2 2F M ．
所以 'F M 的取值范围为 2 3 3 2 2 1,2 2
．
32．已知 M 是抛物线 2: 4C y x 上一点，F 是抛物线 C 的焦点， 4MF ．
（1）求直线 MF 的斜率；
（2）已知动圆 E 的圆心 E 在抛物线 C 上，点 2,0D 在圆 E 上，且圆 E 与 y 轴交于 A，B
两点，令| |DA m ，| |DB n ，求 n m
m n
最大值．
【试题来源】云南省红河州 2020 届高三高考数学（理）一模试题
【答案】（1） 3 ；（2） 2 2 ．
【分析】（1）利用点 M 到焦点 F 距离等于到准线的距离解出点 M 的横坐标，继而得到纵
坐标，然后计算直线 MF 的斜率；（2）设出动圆的圆心，表示出圆的标准方程，解出圆 E 与
y 的交点坐标，得出 DA 和 DB ，然后求其最大值．
【解析】（1）设 0 0,M x y ，因为| | 4MF ，所以 0 1 4x ，所以 0 3x ，
(3, 2 3)M 且 1,0F ，所以直线 MF 的斜率为 2 3 33 1
；
（2）设圆心
2
( , )4
bE b ，圆 E 的方程为
2 2
2 2 2 2( ) ( ) ( 2)4 4
b bx y b b ，
化解得
2
2 2 22 4 02
bx y x by b ，令 0x 得 2 22 4 0y by b ，
即 2 2 0y b y b ，所以 2y b 或 2y b ，
不妨设 0, 2A b ， 0, 2B b ，
2 2| | 4 ( 2) 4 8m DA b b b ， 2 2| | 4 ( 2) 4 8n DB b b b ，
2 2 2 2
22 2
4 8 4 8
8 (4 )
n m n m b b b b
m n mn b b
2 4 2 2
44 4
2 16 64 16 162 2 1 6464 64
b b b b
bb b
2
2
16 162 1 2 1 2 264 82b bb b
，
当且仅当 2
2
64b b
，即 2 2b 时，取“=”，所以 n m
m n
的最大值为 2 2 ．
33．已知曲线C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 F (1，0)的距离小 1，
（1）求曲线C 的方程；
（2）过 F 作弦 PQ RS、 ，设 PQ RS、 的中点分别为 A B、 ，若 0PQ RS ，求| |AB
uuur 最小
时，弦 PQ RS、 所在直线的方程；
（3）在（2）条件下，是否存在一定点T ，使得 AF TB FT ？若存在，求出T 的坐标，
若不存在，试说明理由．
【试题来源】广东省实验中学 2021 届高三上学期第一次阶段考试
【答案】（1） 2 4y x ；（2） 1 0x y 或 1 0x y ；（3）存在，T (3，0)．
【分析】（1）根据曲线C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 F (1，0)的距离小 1，得到 M 到
(1, 0)F 的 距 离 等 于 到 直 线 1x 的 距 离 ， 然 后 利 用 抛 物 线 的 定 义 求 解 ．（ 2 ） 设
: ( 1)PQl y k x 与 2 4y x 联立，求得 A 的坐标，然后再由 0PQ RS 求得 B 的坐标，
然后利用两点间距离求解．（3）将 AF TB FT 变形为 AT TB ，即 , ,A T B 三点共
线，然后将问题转化为探求直线 AB 是否过定点求解．
【解析】（1）因为曲线C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 F (1，0)的距离小 1，
所以 M 到 (1, 0)F 的距离等于到直线 1x 的距离，
所以曲线C 是以 F 为焦点、直线 1x 为准线的抛物线，所以抛物线的方程为 2 4y x ．
（2）设 : ( 1)PQl y k x ，代入 2 4y x 得 22 2 22( 2) 0k x k x k ，
由根与系数关系得
2
1 2 1 22
2( 2) , 1kx x x xk
，
2
1 2
2 2
2 212A
x x kx k k
， 2( 1)A Ay k x k
， 2
2 2(1 , )A k k
，
0PQ RS
， PQ RS ，只要将 A点坐标中的 k 换成 1
k
，得 2(1 2 , 2 )B k k ，
2 2 2 4 2
2 4 2
2 2 4 4(1 (1 2 )) ( 2 ) 4 4 4AB k k k kk k k k
，
（当且仅当 1k 时取“=”）
所以， | |AB
uuur 最小时，弦 PQ RS、 所在直线的方程为 ( 1)y x ，即 1 0x y 或
1 0x y ．
（3） AF TB FT AF FT TB AT TB
，即 , ,A T B 三点共线，
是否存在一定点T ，使得 AF TB FT ，即探求直线 AB 是否过定点 ，
由（2）知，直线 AB 的方程为 2
2
2
22
2 ( 2 1)22 1 ( 1)
k ky k x k
k k
即 2(1 ) ( 3)k y k x ，直线 AB 过定点(3，0)，
故存在一定点T (3，0)，使得 .AF TB FT
34．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，过点 2,0P 的直线交抛物线 C 于 1 1,A x y 和
2 2,B x y 两点．
（1）当 1 2 4x x 时，求直线 AB 的方程；
（2）若过点 P 且垂直于直线 AB 的直线l 与抛物线 C 交于 ,C D 两点，记 ABF 与 CDF 的
面积分别为 1 2,S S ，求 1 2S S 的最小值．
【试题来源】2020 届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合（理）
【答案】（1） 2x ；（2）12．
【分析】（1） 设直线方程为 2x my ，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系求
解得 0m 即可．（2） 联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系表达 1 2,S S ，再根据基
本不等式的方法求最小值即可．
【解析】 （1）由直线 AB 过定点 2,0P ，可设直线方程为 2x my ．
联立 2
2
4
x my
y x
消去 x ，得 2 4 8 0y my ，
由根与系数关系得 1 2 1 24 , 8y y m y y ，
所以 2
1 2 1 2 1 22 2 4 4 4 4 4x x my my m y y m m m ．
因为 1 2 4x x ．所以 24 4 4m ，解得 0m ．
所以直线 AB 的方程为 2x ．
（2）由（1），知 ABF 的面积为
1 1 2 1 2
1 1 1 12 2 2APF BPFS S S PF y PF y y y
2 2
1 2
2
2
2
1
1 1 14 4 4 8 16 32 2 22 2 2y y y y m m m ．
因为直线 CD 与直线 AB 垂直，
且当 0m 时，直线 AB 的方程为 2x ，则此时直线l 的方程为 0y ，
但此时直线l 与抛物线 C 没有两个交点，
所以不符合题意，所以 0m ．因此，直线 CD 的方程为 1 2x ym
．
同理， CDF 的面积 2 2
12 2S m
．
所以 2 2
1 2 2 2
1 24 2 2 4 5 2S S m mm m
2
2
24 5 2 2 4 5 2 2 12m m
，
当且仅当 2
2
22m m
，即 2 1m ，亦即 1m 时等号成立．
35．已知抛物线 2: 2 0C y px p 的焦点为 F ，点 F 到直线 1 0x y 的距离为 2 ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）点O 为坐标原点，直线 1l 、 2l 经过点 1,0M ，斜率为 1k 的直线 1l 与抛物线C 交于 A 、
B 两点，斜率为 2k 的直线 2l 与抛物线 C 交于 D 、 E 两点，记 MA MB MD ME ，
若 1 2
1
2k k ，求 的最小值．
【试题来源】河南省 2020 届高三（6 月份）高考数学（文）质检试题
【答案】（1） 2 4y x ；（2） 的最小值为144 ．
【分析】（1）利用抛物线的焦点到直线 1 0x y 的距离为 2 可求得正实数 p 的值，进
而可得出抛物线C 的方程；（2）设点 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，将直线 1l 的方程与抛物线 C 的
方程联立，列出根与系数关系，利用弦长公式求得 MA MB ，同理可求得 MC MD ，由
此可得出 的表达式，利用基本不等式可求得 的最小值．
【解析】（1）抛物线的焦点 F 的坐标为 ,02
p
，
点 F 到直线 1 0x y 的距离为 12 2
2
p
，因为 0p ，所以 2p ．
所以抛物线C 的方程为 2 4y x ；
（2）设点 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，
联立方程
2
1
4
1
y x
y k x
，消去 y 后整理为 2 2 2 2
1 1 12 4 0k x k x k ，
由题意得
1
22 4
1 1
0
2 4 4 0
k
k k
，所以 11 0k 或 10 1k ，
所以
2
1
1 2 2
1
1 2
4 2
1
kx x k
x x
，又 2
1 11 1MA k x ， 2
1 21 1MB k x ，
所以， 2 2
1 1 2 1 1 2 1 21 1 1 1 1MA MB k x x k x x x x
22
12 1
1 2 2
1 1
4 14 21 2
kkk k k
．同理， 2
2
2
2
4 1k
MD ME k
．
所以 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
16 1 1 16 1k k k k k k
MA MB MC MD k k k k
2 2
1 2
1 2
516 5 94 64 2 64 1441 4 4
4
k k
k k
．
（当且仅当
1
2
2
2
2
2
k
k
或
1
2
2
2
2
2
k
k
取等号），所以 的最小值为144 ．
36．已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 上一点 M ,9m 到其焦点下的距离为 10．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设过焦点 F 的的直线l 与抛物线 C 交于 ,A B 两点，且抛物线在 ,A B 两点处的切线分别
交 x 轴于 ,P Q 两点，求 AP BQ 的取值范围．
【试题来源】广西 2020 届高三数学（理）考试二试题
【答案】（1） 2 4x y （2） 2,
【解析】（1）已知 ,9M m 到焦点 F 的距离为 10，则点 M 到准线的距离为 10．
因为抛物线的准线为
2
py ，所以9 102
p ，
解得 2p ，所以抛物线的方程为 2 4x y ．
（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为 k ，因为 0,1F ，则l ： 1y kx ．
设
2
1
1, 4
xA x
，
2
2
2, 4
xB x
，由 2
1{ 4
y kx
x y
消去 y 得， 2 4 4 0x kx ，
所以 1 2 4x x k ， 1 2 4x x ．
由于抛物线C 也是函数 21
4y x 的图象，且 1' 2y x ，则 PA ：
2
1
1 1
1
4 2
xy x x x ．
令 0y ，解得 1
1
2x x ，所以 1
1 ,02P x
，从而 2 2
1 1
1 44AP x x ．
同理可得， 2 2
2 2
1 44BQ x x ，
所以 2 2 2
1 2 1 2
1 4 (4 )16AP BQ x x x x
2 22 2
1 2 1 2 1 2
1 16 416 x x x x x x 22 1 k ．
因为 2 0k ，所以 AP BQ 的取值范围为 2, ．
37．已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点到直线 :l y x 的距离为 2
8
．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）如图，若 1 ,02N
，直线l 与抛物线 C 相交于 ,A B 两点，与直线l 相交于点 M ，
且| | | |AM MB ，求 ABN 面积的取值范围．
【试题来源】吉林省通化市 2020 届高三高考数学（文）七模试题
【答案】（1） 2x y ；（2） 10, 4
．
【分析】（1）写出抛物线的焦点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，解方程可得 p 的
值，即得抛物线的方程；（2）设 ( , )( 0)M m m m ，直线 : ( )( 1)l y m k x m k ，
1 1 2 2, , ,A x y B x y ．将直线 l 的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得
2k m ．求出点 N 到直线 AB 的距离 d ，根据弦长公式求出 AB ，故 ABN 的面积
1 | |2ABNS AB d ，可求面积的取值范围．
【解析】（1）抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点坐标为 0, 2
p
，
焦点到直线 :l y x 的距离为 2
8
， 2 2 12 ,4 8 22
p
p p ．
抛物线C 的方程为 2x y ．
（2）由题意可设 ( , )( 0)M m m m ，直线 : ( )( 1)l y m k x m k ，
将直线l 的方程代入抛物线的方程 2x y ，消去 y ，得 2 0x kx km m ．
直线l 与抛物线C 相交于 ,A B 两点， 2 24( ) 4 4 0k km m k km m ．
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2x x k ．
| | | |,AM MB M 是线段 AB 的中点， 1 2 2 , 2kx mx m ，
代入 2 4 4 0k km m ，解得 0 1m ．
又 1k ， 2 1m ， 1
2m ， 10 2m 或 1 12 m ．
直线l 的方程为 22 2y mx m m ．
点 N 到直线 AB 的距离
2 2
2 2
2 2
1 4 1 4
m m m m m
d
m m
，又 2
1 2 2x x m m ，
22 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 4 1 4 4 1 4 2AB m x x m x x x x m m m ，
2 21 | | 22ABNS AB d m m m m ． 令 2t m m ，则 32ABNS t ．
10 2m 或 1 12 m ， 10 2t
3 12 0, 4t
，即 10, 4ABNS ． ABN△ 面积的取值范围为 10, 4
．
38．设抛物线 C： 2 2x py （ 0p ）过点 2,1 ．
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）若直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点，分别以点 M、N 为切点作曲线 C 的切线相交于点 P，
且两条切线垂直，求三角形 MNP 面积的最小值．
【试题来源】2020 届河北省承德市围场卉原中学高三模拟自测联考（理）
【答案】（1） 2 4x y ；（2）4．
【分析】（1）将点 2,1 代入抛物线即可求得；（2）设直线方程为 y kx b ，代入抛物线，
写出根与系数关系，将三角形 MNP 的面积用 k 表示出来，即可求出最值．
【解析】（1）抛物线 C： 2 2x py （ 0p ）过点 2,1 ，则 4 2p ，得 2p ．
曲线 C 的标准方程为 2 4x y ；
（2）依题知直线 l 存在斜率，设方程为 y kx b ，
设 l 与曲线 C 相交于点 1 1,M x y ， 2 2,N x y （ 1 2x x ）
联立方程
2 4x y
y kx b
可得 2 4 4 0x kx b ，
2
1 2
1 2
16 16 0
4
4
k b
x x k
x x b
由 2 4x y ，得 21
4y x ， 1
2y x ． 1
1
2MPk x ， 2
1
2NPk x ，
两切线垂直， 1 2
1 14 x x ，即 1 2 4x x ，得 1b
l 方程为 1y kx ， 2 2 21 16 16 4 1MN k k k ．
联立 MPl ： 2
1 1
1 1
2 4y x x x ， NPl ： 2
2 2
1 1
2 4y x x x
得 1 2 22P
x xx k ， 1Py ．点 P 坐标为 2 , 1k ．
点 P 到直线 l 的距离为
2
2
2 2
1
k
d
k
．
2
2 2 2
2
2 21 1 4 1 4 1 12 2 1PMN
k
S MN d k k k
k
△
，
易知当 2 0k 时， PMNS△ 的面积最小，且为 4，即 min 4PMNS △ ．
39．已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点为 F ，Q 是抛物线上的一点， 2 2,1FQ
．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 0,4P x 的直线l 与抛物线C 交于 M 、 N 两点，且 P 为线段 MN 的中点．若线
段 MN 的中垂线交 y 轴于 A ，求 AMN 面积的最大值．
【试题来源】2020 届高三下学期 6 月模拟（文）
【答案】（1） 2 4x y ；（2） 40 159
．
【解析】（1）设 Q 点的坐标为 ( , )x y ，依题意的 0, 2
pF
，
因为 2 2,1FQ
，即 , 2 2,12
px y
， 2 2x ， 12
py ，
2 2, 12
pQ
代入抛物线方程可得，8 2 12
pp
即 2 2 8 0p p 4p （舍去）或 2p ；所以抛物线的方程为 2 4x y ；
（2）由题意可得，直线l 的斜率存在．
所以设直线l 的方程为 y kx m ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，
联立 2 4
y kx m
x y
，消去 y 理得 2 4 4 0x kx m ，
由根与系数的关系得
1 2
1 2
2
4
4
16( ) 0
x x k
x x m
k m
因为 0( ,4)P x 是线段 MN 的中点，所以有 1 2 04 2x x k x ，即 0 2x k ①
1 2 1 2( ) 2 8y y k x x m ，即 24 2 8k m ， 24 2m k ②
MN 中垂线的方程为 0
14 ( )y x xk
令 0x 得 0
0
1 24 ( ) 4 4 6x ky xk k k
，所以点 (0,6)A ．
设点 A 到直线l 的距离为 d ，则 2
| 6 |
1
md
k
．
弦长 2 2
1 2 1 2| | 1 ( ) 4MN k x x x x 2 24 1 k k m
所以， 1 | |2AMNS MN d
2 2
2
1 | 6 |4 12 1
mk k m
k
22 | 6 |k m m
由②式可得 2 22 4 2 2AMNS k k
2 24 4 | 1|k k
令 24t k ，则 2t ；
又 216( ) 0k m ，由②式得到 24 0k 即 0t ， 0 2t ，
换元 2 3( ) 4 (5 ) 4(5 ),(0 2)f t t t t t t ，
则 2 15 15( ) 4(5 3 ) 12 3 3f t t t t
，
150, 3t
时， ( ) 0f t ，则 ( )f t 单调递增；
15 ,23t
时， ( ) 0f t ，则 ( )f t 单调递减．
故函数 max
15( ) 3f t f
40 159
，此时， 15
3t ，所以 2 154 3k 得 21
3k ，
则 2 24 2 3m k ，直线l 的方程 21 2
3 3y x ．
所以 AMN 面积的最大值为 40 159
．
40．已知抛物线 C 的顶点在原点 O ，准线为 1
2x ．
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）点 A， B 在C 上，且OA OB ， OD AB ，垂足为 D ，直线OD 另交C 于 E ，当
四边形OAEB 面积最小时，求直线 AB 的方程．
【试题来源】湖南省湖湘名校教育联合体 2021 届高三入学考试
【答案】（1） 2 2y x ；（2） 33 1 24y x ．
【解析】（1）设抛物线C 的标准方程为 2 2 0y px p ，
由抛物线的准线方程为 1
2x ，可得 1
2 2
p ，解得 1p ，
故抛物线C 的标准方程为 2 2y x ．
（2）先证直线 AB 过定点 2,0 ．
设直线 AB 的方程为 x ty m ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
由OA OB ，可得OA OB ，所以 1 2 1 2 0x x y y ，
可得
2 2
1 2
1 2 02 2
y y y y ，解得 1 2 4y y ，
联立方程组 2 2
x ty m
y x
，整理得 2 2 2 0y ty m ，可得 1 2 2y y m ，
所以 2 4m ，解得 2m ，故直线 AB 过定点 2,0 ．
由已知再设直线 AB 的方程为 2y k x ，则直线 OD 的方程为 1 y xk
，
联立方程组
2
1
2
y xk
y x
，可得 2
2
1 2x xk
，解得 22Dx k ，所以 22 , 2E k k ，
所以 4 2 24 4 2 1OE k k k k
联立方程组
2
2
2
y k x
y x
，整理得 2 2 4 0y yk
，所以 1 2
2y y k
，又由 1 2 4y y ，
所以
2 2 2
2
1 2 1 22 2 2
1 1 2 2 1 4 11 4 1 16 k kAB y y y yk k k k
，
所以 22 2
4 2
2 2
1 4 11 12 2 4 9 62OAEB
k k
S AB OE k kk k
，
设 2 14 9 6f t t t t
2 0t k ，则 2
2 2
1 8 118 9
t t t
f t t t t
，
由 10 1f t t ， 2,3
1 33
16t ，
易知 f t 在 1 330, 16
递减，在 1 33 ,16
上递增，
因此 f t 在 1 33
16t 取最小值，从而面积取得最小值，此时 33 1
4k ，
故直线 AB 的方程为 33 1
4y 2x ．
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