专题 19 随机变量及其分布（客观题）
一、单选题
1．已知随机变量 X 服从正态分布 1,4N ， 2 0.3P X ， 0P X
A． 0.2 B． 0.3
C． 0.7 D． 0.8
【试题来源】广西桂林、崇左、贺州市 2019-2020 学年高三下学期第二次联合调研考试（理）
【答案】B
【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出 0 2P X P X ，进而可得出结果．
【解析】 1,4X N ，所以， 0 2 0.3P X P X ．故选 B．
2．设随机变量 的分布列如下
1 2 3 4 5 6
P 1a 2a 3a 4a 5a 6a
其中 1 2 6, , ,a a a 构成等差数列，则 1 6a a 的
A．最大值为 1
9 B．最大值为 1
36
C．最小值为 1
9 D．最小值为 1
36
【试题来源】北京市 2021 届高三入学定位考试
【答案】B
【分析】根据随机变量的分布列的概率和是 1 和等差数列的性质，得到 1 6
1
3a a ，利用
基本不等式可求得答案．
【解析】 1 2 3 4 5 6 1a a a a a a ， 1 6
1
3a a ，
2
1 6
1 6
1
2 36
a aa a
，
当且仅当 1 6
1
6a a 时取等，故选 B．
【名师点睛】本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值
的问题，涉及的知识点比较多．
3．设 1 10 ,02 2a b ，随机变量的分布
1 0 1
P 1
2 a b
则当 a 在 10, 2
内增大时，
A． ( )E 增大， ( )D 增大 B． ( )E 增大， ( )D 减小
C． ( )aE 减小， ( )D 增大 D． ( )E 减小， ( )D 减小
【试题来源】陕西省榆林市 2020-2021 学年高三上学期第一次高考模拟测试（理）
【答案】D
【分析】求得 ,a b 之间的关系，再求出 ,E D 讨论其单调性即可判断．
【解析】由因为分布列中概率之和为 1，可得 1
2a b ，
所以 1 1 1
2 2 2E b a a
，所以当 a 增大时， E 减小，
又由
2
2 2 21 1 51 0 12 2 4D a a a a b a
可知当 a 在 10, 2
内增大时， D 减小．故选 D．
4 ． 设 随 机 变 量 ,1N ， 函 数 2 2f x x x 没 有 零 点 的 概 率 是 0.5 ， 则
0 1P
附：若 2,N ，则 0.6826P X ， 2 2 0.9544P X ．
A． 0.1587 B． 0.1359
C．
5
1
n
n
na
D． 0.3413
【试题来源】江苏省常州市四校联考 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】B
【分析】首先根据函数 ( )f x 没有零点求出 的取值范围，再根据 ( )f x 没有零点的概率是 0.5，
得到 ( 1) 0.5P ，再根据正态曲线的性质得到 的值；然后再根据正态曲线的对称性
求出 0 1P 的值即可．
【解析】 函数 2 2f x x x 没有零点，二次方程 2 2 0x x 无实根，
4 4( ) 0 ， 1 ，又 2 2f x x x 没有零点的概率是 0.5，
( 1) 0.5P ，由正态曲线的对称性知 1 ， 1,1N ， 1, 1 ，
2, 0, 2 3, 2 1 ，
( 2 0) 0.6826P ， ( 3 1) 0.9544P ，
1 1(0 1) ( 3 1) ( 2 0) 0.9544 0.6826 0.13592 2P P P ，选 B．
【名师点睛】本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解
能力；解本题的方法是根据 ( )f x 没有零点得到 1 ，再结合正态分布的图象的对称性得
到 值，然后再利用正态分布函数图象的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布
函数图象的对称性．
5．两位教师和两位学生排成一排拍合照，记 为两位学生中间的教师人数，则 E
A． 1
4 B． 1
3
C． 2
3 D． 4
3
【试题来源】浙江省金华市义乌市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】C
【分析】根据题意，随机变量 的取值为 0,1,2 ，结合排列组合，求得随机变量 的取值对
应的概率，利用公式，即可求解．
【解析】根据题意，随机变量 的取值为 0,1,2 ，
可得
1 2 1
2 2 2
4 4 4
4 4 4
2 2 2 2 2 1 1 2 2 1( 0) , ( 1) , ( 1)2 3 6
C A CP P PA A A
，
所以期望为 1 1 1 20 1 22 3 6 3E ．故选 C．
【名师点睛】求随机变量 X 的期望与方差的方法及步骤：
（1）理解随机变量 X 的意义，写出 X 可能的全部值；
（2）求 X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
（3）由期望和方差的计算公式，求得数学期望 ,E X D X ；
（4）若随机变量 X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可
利用特殊分布列的期望和方差的公式求解．
6．长春气象台统计，7 月 15 日净月区下雨的概率为 4
15
，刮风的概率为 2
15
，既刮风又下雨
的概率为 1
10
，设事件 A为下雨，事件 B 为刮风，那么 |P A B
A． 1
2 B． 3
4
C． 2
5 D． 3
8
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期开学考试（理）
【答案】B
【分析】确定 4 2 1( ) , ( ) , ( )15 15 10P A P B P AB ，再利用条件概率的计算公式，即可求
解．
【解析】由题意，可知 4 2 1( ) , ( ) , ( )15 15 10P A P B P AB ，
利用条件概率的计算公式，可得
1
( ) 310( | ) 2( ) 4
15
P ABP A B P B
，故选 B．
【名师点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算
公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，
传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异
治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从
2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确
排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落
一户、不漏一人．在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情
况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感
染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 (0 1)p p 且相互独立，该家庭至
少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为 ( )f p ，当 0p p 时， ( )f p 最大，则 0p
A． 61 3
B． 6
3
C． 3
3
D． 31 3
【试题来源】四川省成都七中 2020-2021 学年高三上学期半期考试（理）
【答案】A
【分析】先求出概率 4( ) (2 )(1 )f p p p p ，再求最大值，借助于均值不等式求解．
【解析】设事件 A：检测 5 个人确定为“感染高危户”，事件 B：检测 6 个人确定为“感染高危
户”．所以 4( ) (1 )P A p p ， 5( ) (1 )P B p p ．
即 4 5 4( ) (1 ) (1 ) (2 )(1 )f p p p p p p p p ．设 1 0x p ，则
4 2 4( ) (1 ) (1 )(1 ) 1g x f p x x x x x ，
所以 2 4 2 2 21( ) 1 2 22g x x x x x x
32 2 22 21 4
2 3 27
x x x
，
当且仅当 2 22 2x x 即 6
3x 时取等号，即 0
61 3p p ．故选 A．
8．2019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，
其中有 5 项成果均属于芯片领域．现有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中分
别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有 1 名学生选择“芯片领域”的概
率为
A． 4
9 B． 4
27
C． 19
27 D． 48
125
【试题来源】福建省莆田第二十五中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】A
【分析】根据题设分析知芯片领域被选、不被选的概率分别为 1
3
、 2
3
，而 3 名学生选择互
不 影 响 ， 则 选 择 芯 片 领 域 的 学 生 数 {0,1,2,3}X ， 即 X 服 从 二 项 分 布 ， 则 有
3
3
2 1( ) ( ) ( )3 3
n n nP X n C 即可求恰好有 1 名学生选择“芯片领域”的概率．
【解析】由题意知，有 3 名学生且每位学生选择互不影响，从这 15 项“世界互联网领先科技
成果”中分别任选 1 项，5 项成果均属于芯片领域，则：芯片领域被选的概率为 5 1
15 3
；不
被选的概率为 1 21 3 3
；而选择芯片领域的人数 {0,1,2,3}X ，
所以 X 服从二项分布 1~ 3( , 3)X B ， 3
3
2 1( ) ( ) ( )3 3
n n nP X n C ，
那么恰好有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为 1 2
3
2 1 4( 1) ( ) ( )3 3 9P X C ．故选 A．
【名师点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随
机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率．
9．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行
1 个单位，设爬行 n 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 n ，则下列说法错误的是
A． 0nE B． nD n
C． 2020 20200 2P P D． 2020 20180 0P P
【试题来源】浙江省宁波市宁海中学 2020-2021 学年高三上学期 9 月第一次模拟
【答案】C
【分析】利用小虫等概率地向前或向后爬行，可知随机变量 [ , ]n n n ，且向前或向后爬
行 1 个 单 位 的 概 率 均 为 1
2
， 结 合 二 项 分 布 公 式 求 概 率 ， 根 据 nE np 、
2 2
n n nD E E 即可判断各选项的正误；
【解析】由题意知设爬行 n 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 [ , ]n n n ，且小虫向
前或向后爬行 1 个单位的概率均为 1
2
，
所以爬行 n 次后小虫一共向前爬行 r 次，则向后爬行 n r 次，有 [ ( )] 2n r n r r n ；
故 1{ 2 } ( )2
r n
n nP r n C ，则：（1）
0
(2 ) 02
rn
n
n n
r
C r nE
，
2 2
2
2
0
(2 )= = 2
rn
n
n n n n n
r
C r nD E E E n
，故 A、B 正确；
（2） 1010 2020
2020 2020
10 ( )2P C ， 1011 2020
2020 2020
12 ( )2P C ，即
2020
2020
1011 11012 0
0P
P
，
有 2020 20200 2P P ，故 C 错误；
（3） 1009 2018
2018 2018
10 ( )2P C ，即
2020
2018
4038 14040 0
0P
P
，
有 2020 20180 0P P ，故 D 正确；故选 C.
10．当使用一仪器去测量一个高度为 70 单位长的建筑物 50 次时，所得数据为
测量值 68 单位长 69 单位长 70 单位长 71 单位长 72 单位长
次数 5 15 10 15 5
根据此数据推测，假如再用此仪器测量该建筑物 2 次，则 2 次测得的平均值为 71 单位长的
概率为
A．0.04 B．0.11
C．0.13 D．0.26
【试题来源】广东省佛山市南海区 2021 届高三上学期 8 月摸底
【答案】C
【分析】由题意，2 次测得的平均值为 71 单位长事件有{两次测得都为 71 单位长，一次 70
单位长另一次 72 单位长}，根据数据求出测得 70、71、72 单位长的概率，进而利用古典概
型求 2 次测得的平均值为 71 单位长的概率即可；
【解析】由题意知 2 次测得的平均值为 71 单位长，则事件有{两次测得都为 71 单位长，一
次 70 单位长另一次 72 单位长}；
根据数据知 P{测得 70 单位长}= 1
5
，P{测得 71 单位长}= 3
10
，P{测得 72 单位长}= 1
10
，
所以 P{两次测得都为 71 单位长}= 2 2
2
3 9( )10 100C ，P{一次 70 单位长另一次 72 单位长}=
1
2
1 1 1
5 10 25C ，所以 2 次测得的平均值为 71 单位长的概率 13
100
，故选 C.
11．现从 4 名男医生和 3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用 A 表示事件“抽到的两
名医生性别相同”， B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 P B A
A． 1
3 B． 4
7
C． 2
3 D． 3
4
【试题来源】四川省 2020-2021 学年高三上学期第一次调研考试（理）
【答案】A
【分析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事
件的概率，然后代入条件概率公式即可.
【解析】由已知得
2 2
4 3
2
7
9 3( ) 21 7
C CP A C
，
2
3
2
7
3 1( ) 21 7
CP AB C
，
则 ( )P B A
1
( ) 17
3( ) 3
7
P AB
P A
，故选 A.
12．若随机变量 14, 2X B
: ，则 2 1D X E X
A． 2 B．3
C． 4 D． 6
【试题来源】吉林油田第十一中学 020-2021 学年高三上学期第二次阶段考试（理）
【答案】D
【分析】利用二项分布的期望和方差公式分别求得 E X 、 D X ，再结合期望的性质可
求得所求代数式的值．
【解析】因为随机变量 14, 2X B
: ，则 14 22E X ，
214 12D X
，
因此， 2 1 2 1 1 2 2 1 6D X E X D X E X ．故选 D．
13．已知随机变量 X 服从二项分布 90,B p ，且 2 1 61E X ，则 D X
A．10 B．15
C．20 D．30
【试题来源】河南省商丘、周口、驻马店市联考 2020-2021 年度高三开学考试（一）（理）
【答案】C
【分析】先由 2 1 2 1E X E X 和二项分布的期望计算公式求得 p ，再根据二项分
布方差计算公式，可得选项．
【 解 析 】 因 为 2 1 2 1 2 1 180 1 61E X E X np p ， 所 以 1
3p ， 故
1 190 1 203 3D X
．故选 C．
14．在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布 2(100, ) ，( 0) ，若 在(80,120)
内的概率为 0.8，则 落在 (0,80) 内的概率为
A．0.05 B．0.1
C．0.15 D．0.2
【试题来源】河北省衡水中学 2020 届高三高考数学（理）二调试题
【答案】B
【分析】根据 服从正态分布 2(100, )N ，得到曲线的对称轴是直线 100x ，利用 在
(80,120) 内取值的概率为 0.8，即可求得结论．
【解析】 服从正态分布 2(100, )N ，曲线的对称轴是直线 100x ，
在 (80,120) 内取值的概率为 0.8， 在(0,100) 内取值的概率为 0.5，
在 (0,80) 内取值的概率为 0.5 0.4 0.1 ．故选 B ．
15．设 0 1a ，离散型随机变量 X 的分布列是如下，则当 a 在 20, 3
内增大时
X 0 1 2
P 1
2
a 1
2 2
a
A． D X 增大 B． D X 减小
C． D X 先减小后增大 D． D X 先增大后减小
【试题来源】广东省深圳市宝安区 2021 届高三上学期期末调研（9 月开学考试）
【答案】D
【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性．
【解析】由题意： 1 1 1( ) 0 1 22 2 2 2
a aE X a ，
所以 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) (0 ) (1 ) (2 )2 2 2 2 2 2 4
aD X a a a aa a ，
因为 1 2(0, )2 3
，所以 ( )D 先增后减，故选 D．
16．同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次，设 2 枚硬币恰有一次正面向上的次数为 X ，则 X 的
数学期望是
A． 1
2 B．1
C． 3
2 D． 2
【试题来源】四川省 2020-2021 学年高三上学期第一次调研考试（理）
【答案】D
【分析】先求同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 1 次，2 枚硬币恰有一次正面向上的概率，再根
据二项分布数学期望公式求结果．
【解析】同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 1 次， 2 枚硬币恰有一次正面向上的概率为
1
2
1 1 1( )2 2 2P C ，因为 1 1(4, ) ( ) 4 22 2X B E X : ，故选 D．
17．口袋里放有大小相等的1个红球和 2 个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列 na ，
1,
1,n
na n
第 次摸白球
第 次摸红球 ，如果 nS 为数列 na 的前 n 项和，那么 7 =3S 的概率为
A．
2 5
5
7
1 2
3 3C
B．
2 5
2
7
2 1
3 3C
C．
2 5
4
7
1 2
3 3C
D．
2 5
3
7
1 2
3 3C
【试题来源】四川省 2020-2021 学年高三上学期第一次调研考试（理）
【答案】B
【分析】先确定 7 =3S 事件含义，再根据独立重复试验概率乘法公式求结果．
【解析】 7 =3S 指 7 次有放回地摸球中，摸出 5 次红球 2 次白球，
从1个红球和 2 个白球，有放回地每次摸取一个球，取出红球概率为 1
3
，取出白球概率为 2
3
，
所以 7 =3S 的概率为
2 5
2
7
2 1
3 3C
，故选 B.
18．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，
若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检
测．现对 20 名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性
都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为 p ，且检测次数的数学期望为 20，则 p 的
值为
A．
1
2011 20
B．
1
2111 20
C．
1
2011 21
D．
1
2111 21
【试题来源】河北省衡水中学 2021 届高三数学第一次联合考试
【答案】A
【分析】先确定次数取值和对应的概率，再求数学期望建立方程求 p 的值．
【解析】若合并检测，检测次数取值为 1，21，对应的概率分别为 201 p ， 201 1 p ，
数学期望为 20 201 1 21 1 1p p ，
由 20 2020 1 1 21 1 1p p ，解得
1
2011 20p
．故选 A．
19．随机变量 X 的分布列如下表，则 E(5X＋4)等于
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A．16 B．11
C．2.2 D．2.3
【试题来源】山西省校 2021 届高三上学期开学考试（高二下学期期末）（理）
【答案】A
【解析】由表格可求 0 0.3 2 0.2 4 0.5 2.4E X ，
故 5 4 5 4 5 2.4 4 16E X E X ，故选 A．
20．设火箭发射失败的概率为 0.01，若发射 10 次，其中失败的次数为 X，则下列结论正确
的是
A． =0.01E X B． 10= =0.01 0.99k kP X k
C． =0.1D X D． 10
10 0.01 0.99k k kP X k C
【试题来源】山西省校 2021 届高三上学期开学考试（高二下学期期末）（理）
【答案】D
【分析】由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为 0.01，实验的结果
只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的期望公式或概率
公式计算即可得到结果．
【解析】由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为 0.01，
故本题符合独立重复试验，即 10,0.01X B ， =10 0.01=0.1E X ．故 A，C 错；
根据独立重复试验的概率公式得 10
10 0.01 0.99k k kP X k C ，故选 D 项．
21．若随机变量 ~ (2X N ，1) ，且 ( 1) 0.8413P X ，则 ( 3)P X
A． 0.1587 B． 0.3174
C． 0.3413 D． 0.6826
【试题来源】园区校 2020-2021 学年高三上学期 8 月期初调研
【答案】A
【分析】根据题意，由随机变量 ~ (2X N ，1) ，且 ( 1) 0.8413P X 可得 ( 1)P X ，再
利用对称性可得结果．
【解析】因为随机变量 ~ (2X N ，1) ，且 1 0.8413P X ，
所以 ( 1) 1 0.8413 0.1587P X ，所以 ( 3)P X ( 1) 0.1587P X ，故选 A．
22．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进
行活动，记事件 A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件 B 为“只有甲同学选羽毛球”，则
|P A B
A． 8
9 B． 2
9
C． 3
8 D． 3
4
【试题来源】江苏省常州市溧阳中学 2020-2021 学年高三上学期期初考试
【答案】B
【解析】事件 AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它 3 名同学排列在其
它 3 个项目，且互不相同为 3
3A ，事件 B：甲选羽毛球，所以其它 3 名同学排列在其它 3 个
项目，可以安排在相同项目为 33 ，
3
3
4
3
4
24| 3 9
4
A
P ABP A B P B
．故选 B．
23．设随机变量 服从正态分布 3,4N ，若 2 3 2P a P a ，则实数 a 的
值为
A． 5 B． 3
C． 5
3 D． 7
3
【试题来源】四川省泸县第四中学 2019-2020 学年高三下学期第二次月考（理）
【答案】D
【分析】根据正态分布的特征，可得 2 3 2 6a a ，求解即可得出结果．
【解析】因为随机变量 服从正态分布 3,4N ， 2 3 2P a P a ，
根据正态分布的特征，可得 2 3 2 6a a ，解得 7
3a ．故选 D．
24．一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8，有 4 台这种型号的自动
机床各自独立工作，则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是
A． 0.1536 B． 0.1808
C． 0.5632 D． 0.9728
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期开学考试（理）
【答案】D
【解析】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B(4，0.2)，
所以 P(ξ≤2)＝ 0
4C (0.8)4＋ 1
4C (0.8)3×0.2＋ 2
4C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8．故选 D.
25．已知随机变量 2~ 1,X N ， 0 0.8P X ，则 2P X
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
【试题来源】江苏省扬州市高邮市 2020-2021 学年高三上学期期初学情调研
【答案】A
【分析】由 2~ 1,X N 有随机变量 X 的分布函数图象关于 1X 对称，结合已知条件即
可求 2P X ；
【解析】由 2~ 1,X N ，知随机变量 X 的分布函数图象关于 1X 对称，
所以 ( 2) 0 1 ( 0) 0.2P X P X P X ；故选 A.
26．设 0 a b ，随机变量 X 的分布列是
X 0 1 2
P a b a b
则 E X 的取值范围是
A． 1 ,12
B． 51, 4
C． 31, 2
D． 5 3,4 2
【试题来源】浙江省“数海漫游”2020-2021 学年高三上学期 8 月线上模拟考试
【答案】C
【解析】由分布列的性质可得
0 1
0 1
0 1
a
b
a b
，且 12 2 1 2a b a b a b a b ，
可得 1 10 12 2a b b ，由 0 1b ，所以 10 2b ，
因为 0 1 2 1E X a b a b b ，所以 31 2E X ，故选 C．
【名师点睛】求解一般的随机变量的期望的基本方法是先根据随机变量的意义，确定随机变
量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根
据数学期望的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应
用，对实际的含义要正确理解．
27．下列正确命题的序号有
①若随机变量 100,X B p ，且 20E X ，则 1 1 52D X
．
②在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B ，C ，D 的概率分别为 0.2 ，0.2 ，0.3，0.3，
则 A与 B C D 是互斥事件，也是对立事件．
③一只袋内装有 m 个白球， n m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，
设此时取出了 个白球， 2P 等于 2
2
A
A
m
n
n m
④由一组样本数据 1 1,x y ， 2 2,x y ， ,n nx y 得到回归直线方程 y bx a ，那么直线
y bx a 至少经过 1 1,x y ， 2 2,x y ， ,n nx y 中的一个点．
A．②③ B．①②
C．③④ D．①④
【试题来源】四川省成都市第七中学 2020-2021 学年高三第一诊断模拟测试（理）
【答案】A
【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可判断①；根据互斥和对立事件的定义即可判断
②；计算 2 概率可判断③；根据回归直线方程是由最小二乘法得到，且过样本中心点可
判断④，进而可得正确答案．
【解析】对于①：因为 100,X B p ，且 20E X ，所以100 20p ，解得 1
5p ，
所以 1 1100 1 165 5D X
，所以 1 11 42 4D X D X
，故①不正确；
对于②：根据互斥事件的定义可得 A与 B C D 是互斥事件，
1P A P B C D 也是对立事件，故②正确；
对于③： 2 表示前两次取出的是白球，第三次取到的是黑球，则
2 1
22 m n m
n
A C
AP ，
故③正确；对于④：对于回归直线方程，只能确定通过 ,x y ，故④不正确，
所以②③正确．故选 A.
28．若随机变量 X 的分布列如下所示
X －1 0 1 2
P 0.2 a b 0.3
且 E(X)＝0.8，则 a、b 的值分别是
A．0.4，0.1 B．0.1，0.4
C．0.3，0.2 D．0.2，0.3
【试题来源】吉林油田第十一中学 020-2021 学年高三上学期第二次阶段考试（理）
【答案】B
【分析】由随机变量 X 的分布列概率之和为 1 得到 0.5a b ，再结合 E(X)＝0.8 求解．
【解析】由随机变量 X 的分布列得 0.2 0.3 1a b ，所以 0.5a b ，
因为 1 0.2 0 1 2 0.3 0.8E X a b ，解得 0.4b ，所以 0.1a ，故选 B.
29．俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产
的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的．1992 年，为了远程性和
安全性上与美国波音 747 竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了 340A ，是一种有四台发动
机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的 310A ．假设每一架飞机的引擎在飞行中
出现故障率为1 p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知 340A 飞机至少有 3个引擎正常
运行，飞机就可成功飞行； 310A 飞机需要 2 个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若
要使 340A 飞机比 310A 飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是
A． 2 ,13
B． 1 ,13
C． 20, 3
D． 10, 3
【试题来源】江苏省常州市四校联考 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】C
【分析】由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解．
【解析】由题意，飞机引擎正常运行的概率为 p ，
则 310A 飞机能成功飞行的概率为 2 2 2
2C p p ，
340A 飞机能成功飞行的概率为 3 3 4 4 4 3
4 41 3 4C p p C p p p ，
令 4 3 23 4p p p 即 23 4 1p p ，解得 1 13 p ．
所以飞机引擎的故障率应控制的范围是 20, 3
．故选 C．
30．2020 年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和
有 4 个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件 A＝“4 个医疗小组去
的国家各不相同”，事件 B＝“小组甲独自去一个国家”，则 P（A|B）＝
A． 2
9 B． 1
3
C． 4
9 D． 5
9
【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年高三 8 月开学考试（理）试卷
【答案】A
【分析】求出 ( )P A ( )P AB ， ( )P B ，然后由条件概率公式计算．
【解析】由题意
4
4
4( ) 4
AP A ， ( ) ( )P AB P A ，
3
4
4 3( ) 4P B ，
所以
4
4
4
3
4
( ) 24( | ) 4 3( ) 9
4
A
P ABP A B P B
．故选 A．
二、填空题
1．对一个物理量做 n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后
结果的误差 2~ 0,n N n
，为使误差 n 在 ( 0.5,0.5) 的概率不小于 0.9545，至少要测量
__________次（若 2~ ,X N ，则 (| | 2 ) 0.9545)P X ）．
【试题来源】2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
【答案】32
【分析】因为 2~ 0,n N n
，得到 0 ， 2
n
，要使误差 n 在 ( 0.5,0.5) 的概率不
小于 0.9545，则 2 , 2 0.5,0.5 ，得到不等式计算即可．
【解析】根据正态曲线的对称性知要使误差 n 在 ( 0.5,0.5) 的概率不小于 0.9545，
则 2 , 2 0.5,0.5 且 0 ， 2
n
，
所以 20.5 2 32nn
．故答案为 32．
【名师点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从 2~ 0,n N n
读出所需信息．
2 ． 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 满 足 10 0,1,2,3, 10
kCP X k kM
, ， 则
E X __________．
【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三上学期期末教学质量监测
【答案】5
【分析】由
10
0
1
k
P X k
可求得 102M ，再利用随机变量数学期望公式结合倒序相加
法可求得 E X 的值．
【解析】由题意可得
1010 10
1010
0 0
2 1 2
k
k k
CP X k MM M
，
则
0 1 2 10
10 10 10 100 1 2 10C C C CE X M M M M
．
倒序：
10 9 8 0
10 10 10 1010 9 8 0C C C CE X M M M M
．
0 10
10 10C C ， 1 9
10 10C C ， 2 8
10 10C C ， ，
故 0 1 2 10
10 10 10 10
102 10E X C C C CM
，则 5E X ．故答案为5．
【名师点睛】本题考查数学期望的计算，解题的关键就是利用二项式系数的对称性，结合倒
序相加法求出 E X 的值，同时也要注意随机变量在所有可能取值下的概率之和为1，结合
二项式定理求出 M 的值．
3．设随机变量 1~ , 4X B n
， 2 1Y X ，若 4E Y ，则 n __________．
【试题来源】T8 联考八校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】6
【分析】由题意可得 4
nE X ，根据公式可得 2 1 2 1E Y E X E X 可得答案．
【解析】随机变量 1~ , 4X B n
，则 4
nE X ，
2 1 2 1 2 1 44
nE Y E X E X ，解得 6n ，故答案为 6.
4．已知 21,X N ～ ，若 2 0.8P ，则 0 2P __________．
【试题来源】吉林油田第十一中学 020-2021 学年高三上学期第二次阶段考试（理）
【答案】 0.6
【分析】由正态分布的对称性得正态密度曲线的对称轴为 1x ，进而根据题意得
1 2 0.3P ，故 10 0.62 22P P
【解析】因为 21,X N ～ ，所以正态密度曲线的对称轴为 1x ，
因为 2 0.8P ，所以 1 2 0.3P ，
所以 1 2 2 0.3 02 2 .60 PP ，故答案为 0.6 .
5 ． 已 知 离 散 型 随 机 变 量 13, 4B
， 随 机 变 量 4 1 ， 则 的 数 学 期 望
E __________．
【试题来源】四川省师范大学附属中学 2020-2021 学年高三上学期期中（理）
【答案】 4
【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出 E 的值，然后利用期望的性质可求得
E 的值．
【解析】 离散型随机变量 13, 4B
， 1 33 4 4E ，
34 1 4 1 4 1 44E E E ．故答案为 4 ．
6．袋中装有 6 个大小相同的球，其中 3 个白球､2 个黑球､1 个红球．现从中依次取球，每次
取 1 球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束．用 X 表示终止取球
时已取球的次数，则随机变量 X 的数学期望 ( )E X __________．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】139
60
【分析】根据题意 X 可取 2,3,4 ，求出对应随机变量 X 的概率，即可得出结果．
【解析】根据题意 X 可取 2,3,4 ， 3 2 2 3 2 2 2 112 6 5 15P X
，
3 2 2 3 2 2 2 3 133 6 5 4 60P X
， 3 2 2 3 2 1 14 6 5 4 3 20P X
，
故 139( ) 2 2 3 3 4 4 60E X P X P X P X ．故答案为139
60
．
7．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的 4 倍，设随机变量 X 为他投篮一次
命中的个数，则 X 的期望是__________．
【试题来源】云南省西南名校联盟 2021 届高三 12 月高考适应性月考卷（理）
【答案】0.8
【解析】因为 ( 1) 0.8P X ， ( 0) 0.2P X ，所以 ( ) 0.8 1 0 0.8E X ，故答案为 0.8.
8．某地有 A， B ，C ， D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有 A到过疫区， B 确实是
由 A感染的．对于C 难以判断是由 A或是由 B 感染的，于是假定他是由 A和 B 感染的概率
都是 1
2
．同样也假定 D 由 A， B 和C 感染的概率都是 1
3
．在这种假定下， B ，C ， D 中
都是由 A感染的概率是__________．
【试题来源】辽宁省 2020-2021 学年高三新高考 11 月联合调研
【答案】 1
6
【解析】在这种假定下， B ，C ， D 中都是由 A感染的概率为 1
2
1 11 3 6P ．
故答案为 1
6
．
9．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积 3 分，第二局
胜利积 2 分，失败均积 1 分，某人每局比赛胜利的概率为 1
4
，设他参加一次答题活动得分
为 ，则 E __________．
【试题来源】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】11
4
【分析】先求得 的所有可能取值，再根据相互独立事件概率计算公式进行计算，从而求得
期望值．
【解析】依题意可知 的可能取值为 2,3,4,5，且： 1 1 1
4 45 16P ，
1 3 3
4 44 16P ， 3 1 3
4 43 16P ， 3 3 9
4 42 16P ，
所以 1 3 3 9 44 115 4 3 216 16 16 16 16 4E ．故答案为11
4 .
10 ． 设 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 21,N ， 若 2 0.8 P ， 则
0 2P __________．
【试题来源】山东省潍坊高密市等三县市 2020-2021 学年高三 10 月过程性检测
【答案】0.6
【分析】根据正态分布的对称性计算．
【解析】由题意 ( 2) 1 0.8 0.2P ，所以 ( 0) ( 2) 0.2P P ，
所以 (0 2) 1 ( 0) ( 2) 0.6P P P ．故答案为 0.6．
11．一个口袋中有 3 个红球，3 个白球，2 个黑球，现从中任取 3 个球，记取出的球的颜色
有 种，则 E __________．
【试题来源】浙江省湖州市、衢州市、丽水市 2020-2021 学年高三上学期 11 月教学质量检
测
【答案】16
7
【分析】由随机变量 的可能取值为 1，2，3，再分别求出每种取值的概率，然后根据期望
公式求解．
【解析】随机变量 的可能取值为 1，2，3，
所以
3 3 1 1 1
3 3 3 3 2
3 3
8 8
2 181 , 3 ,56 56P PC C C C C
C C
362 1 3 1 ,56P P P 所以 2 36 18 161 2 356 56 56 7E ，
故答案为16
7
．
12 ． 已 知 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 21,N ， 若 4 0.9P ， 则
2 1P __________．
【试题来源】江苏省扬州市北京新东方扬州外国语学校 2020-2021 学年高三上学期第一次月
考
【答案】0.4
【 分 析 】 根 据 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 21,N ， 且 4 0.9P ， 得 到
4 2P P ，然后由 12 1 2 42P P 求解．
【解析】因为随机变量 服从正态分布 21,N ，且 4 0.9P ，
所以 4 2 0.1P P ，所以 12 1 2 42P P
1 1 2 42 P P ， 1 1 0.1 0.1 0.42
，故答案为 0.4．
13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量 1 表示结果中有正面向上， 0 表示结果
中没有正面向上，则 E __________．
【试题来源】北京市第十三中学 2021 届高三上学期开学考试
【答案】 3
4
【分析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求
解．
【解析】由题意知，结果中没有正面向上的概率为 1 1 1=2 2 4
，此时 0 ，
而 1 时对应概率为 1 31 4 4
， 3 1 31 04 4 4E ．故答案为 3
4
．
14 ． 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 2(1, )N ， 且 ( 2) 0.7P X ， 则
(0 1)P X __________．
【试题来源】江苏省镇江市名校 2020-2021 学年高三上学期 10 月月考
【答案】0.2
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 P
（0＜X＜1）．
【解析】因为随机变量ξ服从正态分布 N（1，o2），所以正态曲线的对称轴是 x＝1，
因为 P（X＜2）＝0.7，所以 P（1＜X＜2）＝0.7-0.5=0.2，
所以 P（0＜X＜1）＝P（1＜X＜2）＝0.2，故答案为 0.2．
【名师点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应
用等基础知识，属于基础题．
15．已知随机变量ξ服从正态分布 N（4，σ2），若 P（ξ＜2）＝0.3，则 P（2＜ξ＜6）＝__________．
【试题来源】辽宁省六校协作体 2020-2021 学年高三第一次联考
【答案】0.4
【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合 ( 2) 0.3P ，求得 ( 6) 0.3P ，则
(2 6)P 可求．
【解析】 随机变量 服从正态分布 2(4, )N ，其对称轴方程为 4x ，
又 ( 2) 0.3P ， ( 6) ( 2) 0.3P P ，则 (2 6) 1 2 0.3 0.4P ．故答案为 0.4．
【名师点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量
和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
16．六安市一次高三年数学统考，经过抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 2110,N ，
且 (90 X 110) 0.3P ．某校有 800 人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130 分
的 人 数 为 __________ ． 数 据 参 考 ： 若 T 服 从 正 态 分 布 2( , )N ， 则
( ) 0.6827P T ， 2 2 0.9545P T ，
3 3 0.9973P T
【试题来源】安徽省 2020-2021 学年高三上学期第一次月考（理）
【答案】160
【分析】根据正态分布的特征，求出数学成绩不低于130分对应的概率，从而可求出对应的
人数．
【解析】因为成绩 X 近似服从正态分布 2110,N ，且 (90 X 110) 0.3P ，
所以 1 2 (90 X 110)(X 130) 0.22
PP ，
因此该校数学成绩不低于130分的人数为800 0.2 160 ．故答案为160 ．
17．已知随机变量 2~ 1,X N ，若 2 0.2P X ，则 P X __________．
【试题来源】湖南省六校 2020-2021 学年高三上学期联考（一）
【答案】0.8
【分析】先根据正态分布对称性求 P X ，再求 .P X
【解析】因为随机变量 2~ 1,X N ， 2 0.2P X ，
所以 2 0.2P XP X ，因此 1 1 0.2 0.8P X P X .
18．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ，得 2 分的模率为 b ，得 0 分的概率 c ，
（ , , 0,1a b c ），已知他投篮一次得分的数学期望为 2，则 1 1
2a b
的最小值为__________．
【试题来源】湖北省随州市第一中学 2020-2021 学年高三上学期 11 月月考
【答案】 2 3
【分析】推导出 3 2 2a b ，从而 1 1 1 1 1 1 2 33 2 42 2 2 2 2
b aa ba b a b a b
，利用基
本不等式能求出 1 1
2a b
的最小值．
【解析】 一位篮球运动员投篮一次得 3 分概率为 a ，得 2 分概率为b ，
得 0 分概率为 c ， , , 0,1a b c ，他投篮一次得分的期望为 2， 3 2 2a b ，
1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 33 2 4 2 4 2 32 2 2 2 2 2 2
b a b aa ba b a b a b a b
，
当且仅当 2 3
2
b a
a b
时取等号， 1 1
2a b
的最小值为 2 3 ．故答案为 2 3 ．
【名师点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、
均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．已知随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
P 1
3
a b
若 1E X ，则 E aX b __________．
【试题来源】黑龙江省 2020 届高三高考数学（理）四模试题
【答案】 2
3
【分析】根据变量间的关系计算新的均值．
【解析】由概率分布列知 2
3a b ． 2( ) ( ) 3E aX b aE X b a b ．
【名师点睛】本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率
分布列．属于基础题． ( ) ( )E aX b aE X b ．
20 ． 已 知 离 散 型 随 机 变 量 13, 4B
， 随 机 变 量 2 1 ， 则 的 数 学 期 望
E __________．
【试题来源】 2020 届高三下学期适应性月考九（理）
【答案】 5
2
【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出 E 的值，然后利用期望的性质可求得
E 的值．
【解析】由于离散型随机变量 13, 4B
， 1 33 4 4E ，因为随机变量 2 1 ，
由期望的性质可得 3 52 1 2 1 2 14 2E E E ．故答案为 5
2
．
【名师点睛】本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算
能力，属于基础题．
21．已知随机变量 2~ 4,N ，若 ( 6) 0.4P ，则 ( 2)P __________．
【试题来源】河北省邯郸市 2021 届高三上学期摸底
【答案】0.6
【分析】随机变量 2~ 4,N 知随机变量的均值为 4，有随机变量的分布图象关于 4 对
称，根据已知 ( 6) 0.4P ，即可求 ( 2)P ；
【解析】因为 2~ 4,N ，若 ( 6) 0.4P ，则 ( 2) 0.4P ，
所以 ( 2) 1 0.4 0.6P ．故答案为 0.6.
22．若 1~ 10, 5B
，且 3 1X ，则 E X __________．
【试题来源】湖南省衡阳市衡阳县四中 2020-2021 学年高三上学期 8 月月考
【答案】7
【分析】 服从二项分布，可求得 E ，利用 3 1 13E X E E 求解即可．
【解析】 1 1~ 10, , 10 25 5B E ，
又 3 1X ， 1 73 1 3E X E E ，故答案为 7 ．
23．随机变量 的分布如下表，则 5 4E __________．
0 2 4
P 0.4 0.3 0.3
【试题来源】江苏省镇江中学 2020-2021 学年高三上学期 9 月期初教学质量检测
【答案】13
【分析】根据表格中的数据计算出 E ，然后可得 5 4E 的值．
【解析】因为 0 0.4 2 0.3 4 0.3 1.8E ，
所以 5 4 5 4 13E E ，故答案为 13．
24．设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白球个数的数学期望值为 6
7
，
则口袋中白球的个数为__________．
【试题来源】江苏省镇江市扬中市第二高级中学 2020-2021 学年高三上学期初检测
【答案】3
【分析】设口袋中有白球 x 个，由已知可得取得白球 的可能取值为 0 ，1， 2 ，则 服从
超几何分布，利用公式
2
7
2
7
( )
k k
x xC CP k C
( 0,1,2k )，即可求得答案．
【解析】口袋中有白球 x 个，由已知可得取得白球个数 的可能取值为 0 ，1， 2
则 服从超几何分布，
2
7
2
7
( ) ( 0,1,2)
k k
x xC CP k kC
，
2
7
2
7
( 0) xCP C
，
1 1
7
2
7
( 1) x xC CP C
，
2
2
7
( 2) xCP C
，
1 1 2
7
2 2
7 7
2 6( ) 7
x xC C CE C C
， 6(7 ) ( 1) 21 187x x x x ，
6 18x ， 3x ，故答案为3．
25．假设苏州肯帝亚球从在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于 p ，其中 0 1p ，且
各场比赛互不影响．令 X 表示连续 9 场比赛中出现输球的场数，且令 kp 代表 9 场比赛中恰
有 k 场出现输球的概率 P X k ．已知 4 5 6
45
8p p p ，则该球队在这连续 9 场比赛中
出现输球场数的期望为__________．
【试题来源】江苏省百校联考 2020-2021 学年高三上学期第一次考试
【答案】 18
5
【分析】利用二项分布列出等式，解方程求出 2
5p ，再根据 E X np 即可求解．
【解析】由题意知 9
9 1 kk kP X k C p p ，因为 4 5 6
45
8p p p ，
所以 5 4 34 4 5 5 6 6
9 9 9
451 1 18C p p C p p C p p ，
化简得 215 4 4 0p p ，解得 2
5p ，从而 18
5E X np ．故答案为 18
5
．
三、双空题
1．小明的投篮命中率为 3
4
，各次投篮命中与否相互独立．他连续投篮三次，设随机变量 X
表示三次投篮命中的次数，则 ( 2)P X = = __________； ( )E X __________．
【试题来源】天津市 2020-2021 学年高三上学期第四次月考
【答案】 27
64
9
4
【分析】依题意可得随机变量 X 服从二项分布，再根据二项分布的概率公式及期望公式计
算可得；
【 解 析 】 依 题 意 随 机 变 量 3~ 3, 4X B
， 所 以
2
2
3( 2) = C 3 3 2714 4 64P X
= ，
3 9( ) 3 4 4E X ，故答案为 27
64
； 9
4
2．为了抗击新冠肺炎疫情，现从 A 医院 150 人和 B 医院 100 人中，按分层抽样的方法，选
出 5 人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此 5 人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中 B
医院至少有一人的概率是__________；设两名联络人中 B 医院的人数为 X，则 X 的期望为
__________．
【试题来源】天津市滨海七校 2020-2021 学年高三上学期期末联考
【答案】 7
10
4
5
【分析】先按照分层抽样计算出 A 医院的人数和 B 医院的人数，从 5 人中选出两人作为联
络人，这两名联络人中 B 医院至少有一人的情况分为两种情况：一是 A 医院 1 人 B 医院 1
人，有 3 2
1 1C C 种选法，二是 B 医院 2 人，有 2
2C 种选法，然后按照古典概型的概率计算公式计
算“B 医院至少有一人”的概率即可；由题意可知 X 的取值可能为 0，1，2，分别求出对应的
概率，最后按照期望计算公式计算即可．
【解析】因为是分层抽样的方法选出的 5 人，所以这 5 人中，
A 医院有 1505 3150 100
人，B 医院有 1005 2150 100
人，
所以从这 5 人中选出 2 人，B 医院至少有 1 人的概率为
1 1 2
3 2 2
2 2
5 5
7
10
C C C
C C
，
由题意可知 X 的取值可能为 0，1，2，当 X 0 时，
2
3
2
5
3
10
CP C
，
当 1X 时，
1 1
3 2
2
5
3
5
C CP C
，当 2X 时，
2
2
2
5
1
10
CP C
，
则 3 3 1 40 1 210 5 10 5E X ．故答案为 7
10
， 4
5
．
【名师点睛】从 5 人中选出两人作为联络人，这两名联络人中 B 医院至少有一人，应该用
分类的思想去处理，分为两种情况：一是 A 医院 1 人 B 医院 1 人，有 3 2
1 1C C 种选法，二是 B
医院 2 人，有 2
2C 种选法．
3．已知随机变量 X 有三个不同的取值，分别是 0，1，x，其中 (0,1)x ，又 1( 0) 2P X ，
1( 1) 4P X ，则当 x __________时，随机变量 X 的方差的最小值为__________．
【试题来源】江苏省泰州市 2020-2021 学年高三上学期期未
【答案】 1
3
1
6
【分析】由分布列的性质，求得 1( ) 4P X x ，根据期望的公式，求得 1
4
xE X ，
结合方差的计算公式，化简得的
23 2 3
16
x xD X ，利用二次函数的性质，即可求解．
【解析】由 1( 0) 2P X ， 1( 1) 4P X ，可得 1( ) 4P X x ，
所以随机变量 X 的期望为 1 1 1 10 12 4 4 4
xE X x ，
则方差为
2
2 2 21 1 1 1 1 1 3 2 3(0 ) (1 ) ( )4 2 4 4 4 4 16
x x x x xD X x ，
所以当 1
3x 时，方差取得最小值，最小值为 1
6D X ．故答案为 1
3
， 1
6
．
4．一袋中有除颜色不同其他都相同的 2 个白球，2 个黄球，1 个红球，从中任意取出 3 个，
有黄球的概率是__________，若 表示取到黄球球的个数，则 E __________．
【试题来源】浙江省百校 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】 9
10
6
5
【解析】一袋中有除颜色不同其他都相同的 2 个白球，2 个黄球，1 个红球，
从中任意取出 3 个，基本事件总数 n＝ 3
5C ＝10，
其中有黄球包含的基本事件个数 m＝ 2 1 1 2
2 3 2 3C C C C ＝9．所以有黄球的概率是 p＝ m
n
＝ 9
10
．
ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为 0，1，2，P（ξ＝0）＝
3
3
3
5
C
C
＝ 1
10
，
P（ξ＝1）＝
1 2
2 3
3
5
C C
C
＝ 6
10
，P（ξ＝2）＝
2 1
2 3
3
5
C C
C
＝ 3
10
，
所以 E（ξ）＝0× 1 6 31 210 10 10
＝ 6
5
．故答案为 9
10
， 6
5
．
【名师点睛】先求出基本事件总数，再求出黄球包含的基本事件个数，由古典概型的概率公
式运算即可．ξ表示取到黄球的个数可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，求出 E（ξ）．
5．有五个球编号分别为1~ 5 号，有五个盒子编号分别也为1~ 5号，现将这五个球放入这
五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为
__________（用数字作答），记 为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量 的数学期望
( )E __________．
【试题来源】浙江省台州市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 45 1
【分析】先选出 1 个小球，放到对应序号的盒子里，有 1
5 5C 种情况，不妨设 5 号球放在 5
号盒子里，利用列举法得其余四个球的放法，由分步计数原理计算可得答案．分析可得 可
取的值为 0，1，2，3，5，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概
率，从而利用期望公式可得数学期望．
【解析】恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰由 1 个编号相同，
先选出 1 个小球，放到对应序号的盒子里，有 1
5 5C 种情况，不妨设 5 号球放在 5 号盒子
里，其余四个球的放法为 (2 ，1，4，3) ，(2 ，3，4，1) ，(2 ，4，1，3) ，(3，1，4，2) ，
(3，4，1， 2) ， (3，4，2，1) ， (4 ，1，2，3) ， (4 ，3，1， 2) ，(4 ，3，2，1) 共 9 种，
故恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为5 9 45 种；
若恰由 2 个编号相同，先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内有 2
5C 种，剩
下的三个球，不妨设编号为 3，4，5，投放 3 号球的方法数为 1
2C ，则投放 4，5 号球的方法
只有一种，根据分步计数原理共有 2 1
5 2 20C C 种；
若恰由 3 个编号相同，先在五个盒子中确定 3 个，使其编号与球的编号相同，有 3
5 10C 种
情况，剩下有 2 个盒子放 2 个球；其编号与球的编号不同，只有 1 种情况；由分步计数原理
可知共有1 10 10 种，若恰由 5 个编号相同（不可能恰有 4 个相同），有 1 种方法；
因为这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球共有 5
5 120A 种方法，所以 0 个编号
相同的方法为120 45 20 10 1 44 种，综上， 可取的值为 0，1，2，3，5，
44 45 200 , 1 , 2120 120 120P P P ， 10 13 , 5120 120P P ，
44 45 20 10 10 1 2 3 5 1120 120 120 120 120E ，故答案为 45，1．
【名师点睛】求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的
所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算，也
就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关．
微信/支付宝扫码支付