2020年全国III卷理科数学高考真题

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合A=，B=，则中元素个数为 A. 2‎ B. 3‎ C. 4‎ D. 6‎ ‎2.复数的虚部是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. ‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 ‎（的单位：天）的Logistic模型：，其中为的最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln193）‎ A.60‎ B.63‎ C.66‎ D.69‎ ‎5. 设O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为 A. (,0)‎ B. (,0)‎ C. (1,0)‎ D. (2,0)‎ ‎6. 已知向量a,b满足，，，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7. 在△ABC中，，，,则 A. B. C. D. 8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9.已知，则 A. ‎-2‎ B. ‎-1‎ C. ‎1‎ D. ‎2‎ ‎10.若直线与曲线和圆都相切，则的方程为 A. B. C. D. ‎11. 设双曲线的左、右焦点分别为, ，离心率为. 是上一点，且.若△的面积为4，则a=‎ A．1‎ B．2‎ C．4‎ D．8‎ ‎12. 已知，，设，，，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 若x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_____.‎ ‎14. 的展开式中常数项是______（用数字作答）.‎ ‎15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为____.‎ ‎16.关于函数有如下四个命题：‎ ‎①的图像关于轴对称.‎ ‎②的图像关于原点对称.‎ ‎③的图像关于直线对称.‎ ‎④的最小值为2.‎ 其中所有真命题的序号是____.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ ‎ 设数列满足，.‎ (1) 计算，，猜想的通项公式并加以证明；‎ (2) 求数列的前n项和.‎ ‎18.（12分)‎ 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：‎ ‎ 锻炼人次 空气质量等级 ‎[0,200]‎ ‎（200,400]‎ ‎（400,600]‎ ‎1（优）‎ ‎2‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎2（良）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎3（轻度污染）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎4（中度污染）‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎0‎ （1） 分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；‎ （2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ （3） 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？‎ 人次400‎ 人次>400‎ 空气质量好 空气质量不好 附：， ，‎ ‎19.（12分）‎ 如图，在长方体-中，点E，F分别在棱，上，且，.‎ ‎（1）证明：点在平面内；‎ ‎（2）若，，，求二面角的正弦值. ‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆C: 的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）若点P在C上，点Q在直线上，且,，求的面积.‎ ‎21.(12分)‎ 设函数,曲线在点处的切线与轴重直,‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明: 所有零点的绝对值都不大于1.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 22. ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点.‎ （1） 求｜AB｜;‎ （2） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 设，，abc=1.‎ （1） 证明：；‎ （2） 用表示的最大值，证明：‎