江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学（理）试题

江西省吉安市“省重点中学五校协作体”‎ ‎2021届高三第一次联考数学理科试卷 命题人：吉安县立中学： 吉水中学： 永丰中学：‎ ‎ 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于( )‎ ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 等差数列中，，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.的展开式中的系数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，且，则侧棱与底面外接圆半径的比为( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，‎ 则( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知直线和函数的图象相交，，为两个相邻的交点，若，则( )‎ ‎ A. 2 B. 2或6 C. 3或5 D. 3 ‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，设所有输出数据构成的集合为，若从集合中任取一个元素，则满足函数在区间内单调递增的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知A、B、C、D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若BC＝4，∠BAC＝120°，则球O内接三棱锥A－BCD的体积的最大值为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知圆C：，过点P(8，0)的动直线与圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，则M的轨迹的长度为( )‎ A. 8 B. C. D. ‎ ‎11. 下列大小关系正确的是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式 的解集为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.若,则的最大值是____________. ‎ ‎14. 向量，满足，，与的夹角为，则 __________.‎ ‎15. 已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为__________.‎ 2‎ ‎16．定义：若数列满足，则称该数列为函数的“切线—零点数列”.已知函数 有两个零点，，数列为函数的“切线—零点数列”，设数列满足，，数列的前项和为，则=_______.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的值；‎ ‎（2）的内角的对边分别为，若，，求的最小值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知，如图四棱锥中，， 为平行四边形， ，， 分别是中点，点在棱上.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求直线与 平面所成角的正弦值.‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ 面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此吉安市在吉州区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：‎ ‎①租用时间不超过1小时，免费；‎ ‎②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；‎ ‎③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；‎ ‎④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；‎ ‎⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）‎ 甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.3；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4，0.5；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是0.1，0.1．‎ ‎（1）求甲比乙所扣积分多的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望． ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆经过点，且离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知斜率存在的直线与椭圆相交于两点，点总满足，‎ 证明：直线过定点.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）已知函数，(其中是的导函数)，若函数有两个极值点，且，求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. [选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）‎ 已知函数的最小值为.‎ ‎（1）求；‎ 2‎ ‎（2）若正实数，，满足，求：的最小值.‎ 2‎