华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考
数 学 2021.02
命题学校： 命题： 审题：
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（**）
A． B． C． D．
2．复数在复平面内对应的点位于（**）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．已知直线，和平面，且，则是的（**）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
7
第4题图
4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从， ， 这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间的概率是（**）
A． B． C． D．
5．已知是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（**）
A． B． C． D．
6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离
第6题图
（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，等效取8490km，故远大于．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（**）
（参考数据：）
A．6400m B．7200m C．8100m D． 10000m
7．已知抛物线的焦点为，点是抛物线C上位于第一象限内的一点，为线段的中点，垂直轴于点，若直线的倾斜角为，，则直线的倾斜角为（**）
A． B． C． D．
7
8．已知点是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（**）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，只要有一项选错，即得0分．
9．已知定义在上的函数对任意实数满足，，且时，，则下列说法中，正确的是（**）
A．是的周期 B．不是图象的对称轴
C． D．方程只有4个实根
10．已知实数，则下列说法中，正确的是（**）
A． B．
C． D．存在，使得直线与圆相切
11．点C，D是平面内的两个定点，，点在平面的同一侧，且．若与平面所成的角分别为，则下列关于四面体ABCD的说法中，正确的是（**）
A．点A在空间中的运动轨迹是一个圆
B．面积的最小值为2
C．四面体ABCD体积的最大值为
D．当四面体ABCD的体积达最大时，其外接球的表面积为
7
12．已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（**）
A. 在是增函数
B. 是奇函数
C. 在上有两个极值点
D. 设，则满足的正整数的最小值是2
第二部分 非选择题
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
根据上表可得回归方程 ，根据最小二乘法计算可得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为__**___万元．
14．的展开式中，的系数是__**___．
15．已知双曲线的左焦点为，为双曲线上一点，与双曲线的渐近线平行，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率__**___．
16．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__**__，
则的最大值为__**___．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知正项数列满足，，等比数列满足：
7
．
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求．
18．（本小题满分12分）
已知函数只能同时满足以下三个条件中的两个．
① 函数的最大值是；
② 函数的图象可由函数左右平移得到；
③ 函数的对称中心与的对称轴之间的最短距离是；
（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数的单调递增区间；
（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，满足，
点为的中点，且，求的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，.
第19题图
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
7
20．（本小题满分12分）
某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料．
现有如下两种抽样检验方案：
方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．
假设拟购进的这批原料，合格率为p（），并用p作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．
（1）若，记方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列；
（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率．如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？ 并说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知离心率为的椭圆与抛物线有相同的焦点，且抛物线经过点，是坐标原点．
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）已知直线：与抛物线交于A,B两点，与椭圆交于C,D两点，若的内切圆圆心始终在直线上，求面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
7
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若且，证明：，；
（3）记方程的三个实根为，若，证明：．
7
微信/支付宝扫码支付