咸阳市2021年高考模拟检测（一）
数学（理科）试题
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名准考证号；
3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写涂写，要工整、清晰；
4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合装题目要求的．
1．若集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．石阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”．现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）．
12
A．83.6米 B．84.8米 C．85.8米 D．86.2米
4．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知经过坐标原点，半径，且与直线相切，则的方程为（ ）．
A．或
B．或
12
C．或
D．或
8．若将函数的图像向右平移个单位长度，平移后图像的一条对称轴为（ ）．
A． B． C． D．
9．渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头出发北航行到北岸．假设游船在静水中航行速度大小为，东水流速度的大小为．设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）．
A．在东侧 B．在西侧 C．恰好与重合 D．无法确定
10．已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C．2 D．
11．在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（ ）．
A．4 B．3 C． D．
12．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ）．
12
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，满足约束条件，则的最大值为________．
14．的展开式中常数项为________．
15．在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则________．
16．已知函数，现有以下命题：
①是偶函数； ②是以为周期的周期函数；
③的图像关于对称； ④的最大值为．
其中真命题有________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．
12
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设点是的中点，求二面角的余弦值．
18．（本小题满分12分）设数列是公差大于零的等差数列，已知，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求．
19．（本小题满分12分）某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试．受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核、、三项技能，其中必须过关，、至少有一项过关才能进入面试．现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如下表，且每一项考核能否过关相互独立．
考核技能
过关率
（Ⅰ）求甲应聘者能进入面试的概率；
（Ⅱ）用表示三位应聘者中能进面试的人数，求的分布列及期望．
20．（本小题满分12分）设为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于，两个点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试判断在轴上是否存在点，使得直线和直线关于轴对称．若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
12
21．（本小题满分12分）已知函数有两个极值点和．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）把表示为关于的函数，求的值域．
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（Ⅰ）求直线的普通方程，说明是哪一种曲线；
（Ⅱ）设，分别为和上的动点，求的最小值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（Ⅰ）求的解集；
（Ⅱ）若有2个不同的实数根，求实数的取值范围．
咸阳市2021年高考模拟检测（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．A 10．B 11．D 12．C
12
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14 14．-7 15． 16．①②④
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．解：（Ⅰ）平面平面，，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴平面． 6分
（Ⅱ）∵，平面平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
则，，，
12
由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，
设是平面的法向量，
则有，即，令，则，，
∴，
设二面角所成角为，
则． 12分
18．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则由题意有
，解得或，
∵，∴，
∴． 5分
（Ⅱ）当为奇数时，，
当为偶数时，， 8分
故是以2为周期的周期数列，且， 10分
∴． 12分
12
19．解：（Ⅰ）甲应聘者这三项考核分别记为事件，，，且事件，，相互独立，则甲应聘者能进入面试的概率
． 5分
（Ⅱ）由题知，的所有可能取值为0，1，2，3，且． 7分
；；
；， 10分
分布列为：
0
1
2
3
∵，． 12分
20．解：（Ⅰ）设直线，设，，
联立，消去得，
∴，． 3分
∴，∴，
∴，即． 5分
（Ⅱ）假设存在这样的点，设，
12
由（Ⅰ）知，，，
由和关于轴对称知，， 7分
即
． 10分
∴，即存在这样的点． 12分
21．解：（Ⅰ）易知的定义域为，
． 2分
设，其中，
当时，即或．
此时有两个根，则有，∴，同号，
∵的定义域为，∴，，
12
∴，∴，∴， 4分
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上可知，有两个极值点，
∴实数的取值范围为． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有两个不同的极值点，，且，
，
7分
设，
则，
∴在上是单调递增的，∴． 10分
∴，即的值域为． 12分
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．解：（Ⅰ）， 2分
12
，即，所以曲线是焦点在轴上的椭圆． 5分
（Ⅱ）设，则就是点到直线的距离，
（由决定）
当时，． 10分
23．解：（Ⅰ），
其图像如图所示，
易知：的解集是． 5分
（Ⅱ）由图易知：，，
∴，即． 10分
12
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