7.4二元一次方程与一次函数（1）一、分析课标《义务教育数学课程标准（2011版）》中对本节的要求是：体会一次函数与二元一次方程的关系。“体会”是描述过程目标的行为动词。基本含义是：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。核心概念是：一次函数和二元一次方程的关系。函数和方程都是刻画现实世界的有效模型，尤其是方程，在很多领域都有广泛的应用，也是学习数学、物理、化学等学科的重要基础。本节内容是通过二元一次方程与ー次函数关系的揭示，建立方程与函数的联系，引导学生从图形的角度理解二元一次方程和二元一次方程组。通过探索“方程”与“函数图象”的关系，培养学生转化的思想；通过二元一次方程方程组与一次函数的对比分析，使学生初步建立“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力。让学生认识到：从“数”的角度看，方程与函数描述的是同样的关系；从“形”的角度看，它们对应解（点）组成的图象相同，得到二元一次方程的图象特征。还有一点要说明的是，对于初中阶段学生学习二元一次方程组“图象解法”并非优法,但对于将来“高次方程、无理方程、超越方程”的求解,图象解法则更具一般性。因此,介绍图象解法是为学生的后续学习奠定基础。同时,通过方程组图象解法的学习,能将方程和函数及其图象联
系起来,有利于学生更为全面地认识方程组,发展学生的数形结合能力。这也为今后的线性方程组及平面解析几何的学习奠定了基础。二、教材分析方程和函数都是人们刻画现实世界的重要数学模型。在之前的学习中，学生已经分别学习了一次函数和二元一次方程。事实上，一次函数与二元一次方程密切相关，只不过各自侧重点不同。本节将函数和方程密切地联系在一起，使得一次函数和二元一次方程组两章的内容给人浑然一体的感觉。同时也为后面学习一元一次不等式与一次函数奠定基础。教材中通过对二元一次方程、二元一次方程组和一次函数的讨论，建立方程与函数的关系，引导学生从“形”的角度看二元一次方程和二元一次方程组，并通过待定系数法，利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。从而体会“数”和“形”间的相互转化，使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决，反之，“形”的问题也可以通过“数”来解决。同时，学生在探索过程中体验数学结合的思想方法和数学模型的应用价值，并为今后的学习奠定基础。本节课的教学重点是二元一次方程与一次函数的关系，能运用它们之间的关系解决问题。难点是对学生数形结合意识和能力的培养。根据教材的安排，本节课共两课时。第1课时，主要是从“图形”的角度看待二元一次方程与一次函数。第2课时，主要是利用待定系数法确定一次函数的表达式。三、学情分析知识基础：学生在七年级上册第六章《一次函数》的学习中，已经
对一次函数以及图象有了深刻的认识；在本章前三节课的学习中，学习了二元一次方程（组）以及二元一次方程组的解法，对二元一次方程（组）也有了深刻的认识。这些内容都为本节的学习奠定了知识基础。但是初二的学生对函数及其相关知识的学习理解比较困难，数形结合意识还没有真正的形成，这为本节内容的学习带来的一定的困难。能力基础：在之前的学习中学生已经具备了一定的操作、画图、观察的能力。同时具备了自主探索、合作交流、解决问题的能力。四、教学目标1.通过创设情境和探究活动一，从“数”和“形”两个角度体会二元一次方程和一次函数的关系，能从“图形”的角度看待二元一次方程。2.通过探究活动二和问题思考，进一步体会二元一次方程组的解和一次函数图象交点坐标之间的关系，能利用它们之间的关系解决问题，培养数形结合的意识和能力。五、重难点重点：二元一次方程与一次函数的关系，能运用它们之间的关系解决问题。难点：数形结合意识和能力的培养。六、评价设计1.通过情境、活动一和评价检测一评价目标1，85%的学生能将二元一次方程和一次函数相互转化。2.通过活动二和评价检测二评价目标2，90%的学生能通过二元一次方程组的解与相应的两条一次函数图象的交点情况解决问题。
七、教学过程（一）情境导入数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时“x+y=5”进来了。“二元一次方程”说：到我这来。“一次函数”说：到我这来。“x+y=5”糊涂了，我到底应该去哪呢？你来说一说，“x+y=5”是二元一次方程还是一次函数呢？【预设】通过思考，学生都能直接判断出是二元一次方程，有的学生能判断出既是二元一次方程也是一次函数，此时追问“你是如何判断是一次函数的？”学生回答可以通过移项转化成一次函数的形式“y=5-x”。【设计意图】通过情境导入使学生对已有的知识归类产生了分歧，这样可以激起学生的好奇心及求知欲。追问：是不是所有的二元一次方程都可以转化为一次函数？请任写一个二元一次方程，试着把它转化为一次函数。总结：任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数。【预设】学生能写出一个二元一次方程，并能快速将二元一次方程转化成一次函数，尽量体现出任意性。【设计意图】通过这一环节，让学生从代数式的角度
感受二元一次方程和一次函数的关系，向学生渗透转化的思想，初步感知二者的对应关系，由此引出课题。（二）探究活动一1.方程的解有多少个?请写出几组。2.先将你写出的解转化成坐标的形式，然后在平面直角坐标系中分别描出表示这些坐标的点，并判断它们是否在一次函数的图象上。3.在一次函数的图象上任取一个点,它的坐标适合方程吗？举例验证。4.以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同吗？通过上面的探索，你都有什么发现？（学生展示交流。同时教师提出我们刚刚得到的结论是通过几个特例得到的，下面我们通过几何画板验证一下我们的结论是否正确。）结论：二元一次方程的解对应一次函数图象上点的坐标。以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。【预设】
以上问题学生首先在导学案上独立完成，然后进行小组讨论、展示交流。有之前的学习基础，学生能快速的进行描点，通过观察图象，能够直观的发现以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上,反之一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程组。几何画板的演示让学生的观察更加形象直观，体现出结论的一般性。【设计意图】通过本环节，让学生感受二元一次方程的解和一次函数图象上的点的坐标之间的对应关系，同时也建立“数”与“形”之间的对应关系，渗透数形结合的思想，发展学生的几何直观。也为接下来探究二元一次方程组的解与一次函数图象交点坐标的关系做好铺垫。评价检测一：1.一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2)，则方程2x-y=4有一个解为。2.以方程的解为坐标的点组成的图象是（）ABCD【预设】第1题学生能根据二元一次方程与一次函数的关系快速得到答案，找一人回答，其他学生通过手势判断回答的对错。同时提出如果已知的是二元一次方程的一个解，你能直接写出一次函数的一个坐标吗？第2题学生需要进行仔细判断，通过手势给出自己的答案。然后根据学生的答案追问学生“你是如何判断的？”法1：从“数”的角度
，可以将二元一次方程转化成一次函数，然后根据函数关系式判断图象。法2：从“形”的角度，可以根据图象与x轴、y轴的交点坐标也是二元一次方程的解，代入二元一次方程看是否是方程的解。有的学生可能知识通过一个点的坐标来进行判断，此时教师要引导学生两点确定一条直线，因此要至少代入两个点的坐标。【设计意图】通过评价检测一，评价学生对目标1的达成情况。引导学生从“形”的角度看待方程，体会二元一次方程与一次函数的关系。发展数形结合能力。（三）探究活动二：探究二元一次方程组的解与其相对应的一次函数图象的交点的关系。结论：二元一次方程组的解就是相应一次函数图象的交点坐标。【预设】学生独立在导学案上完成，然后组内交流、投影展示。学生能够独立完成解方程组和画函数图象，结论发现通过解的结果和图象交点也不难发现，只是语言表达上需要进行规范，例如有的学生可能说二元一次方程组的解就是图象的交点，应该说是交点的坐标。【设计意图】通过本环节让学生明确：从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解
一个二元一次方程组，相当于确定两条直线交点的坐标，进一步感受二元一次方程组的解和一次函数图象交点坐标之间的对应关系，发展数学结合能力。思考：在同一直角坐标系中，一次函数y=x+1与y=x-2的图象有怎样的位置关系？这两个一次函数对应的二元一次方程组的解的情况如何？【预设】学生从“形”上易于发现相应的函数图象——直线相互平行，而从“数”的方面也不难得出方程组无解。【设计意图】通过这一发现进一步体会二元一次方程组的解与函数图象交点之间的关系，从“数”“形”两个方面体会方程组的无解性，进一步发展学生的数学结合的意识和能力。评价检测二：1.若二元一次方程组解为，则函数与的图象的交点坐标为。2.若方程组没有解，则一次函数与的图象必定（）A.重合B.平行C.相交D.无法确定3.一次函数y=3x-5与y=2x+b的图象的交点为P（1，-2），试确定方程组的解和b的值。变式：一次函数与的图象的交点为P（1，a），试确定方程组的解和a，b的值。
4.如图，求直线，与y轴所围成的图形面积。【预设】大部分学生能根据二元一次方程组的解与一次函数图象交点坐标的关系快速说出答案。第1题直接让学生说答案，其他人通过手势判断回答的对错。同时反问如果已知是交点坐标，你能说出二元一次方程组的解吗。第2题让学生通过手势来选择答案，基本没有问题。第3题可让学生说解题思路。第4题让学生求三角形的面积，关键点是求点A.B.C三点的坐标，而C点的坐标需要通过解二元一次方程组来解决。生说思路。【设计意图】通过评价检测二评价学生对二元一次方程组的解和函数图象交点坐标的关系的掌握情况，对目标2进行评价。思考：1.我们都有哪些方法可以求二元一次方程组的解？2.若求直线与的交点坐标，你有哪些方法?【预设】通过前面的练习，问题1学生能快速说出之前求解二元一次方程组的方法代入消元法、加减消元法，而对于本节课新的方法图象法大部分学生也能总结出。问题2学生能直接说出画图找交点，部分学生也能快速想到本节课新的方法解二元一次方程组。
【设计意图】通过两个思考让学生总结归纳出解二元一次方程组和求直线交点的方法。同时明确图象法的利弊：虽然图象法更加形象直观，但是因为作图误差结果会出现误差，只能得到近似值。为了让结果更准确，我们一般采用代数法求解。（四）课堂小结：本节课你有哪些收获或疑惑？（知识、思想方法）以前：分别学习了一次函数和二元一次方程（组）的知识今天：学习了二元一次方程（组）的解与一次函数图象的关系以后：将要学习一元一次不等式与一次函数的关系【设计意图】培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学思想方法上进行总结。同时通过以前、今天、以后知识的对比，体现出知识之间的相互联系和函数知识的重要性。（五）作业检测：1.以下四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（）ABCD2.一次函数与图象的交点为A(-2,3)
，则方程组的解为（）3.已知的解为，则直线与的交点坐标为（）A.（1,2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（-1,-2）4.一次函数与图象没有交点，则方程组的解的情况为（）A.有无数个解B.有两个解C.只有一个解D.没有解5.把方程x+y=2的两个解和，组成有序数对（1,1），（0,2），过这两点画直线l,下列各点不在直线l上的是（）A（4，-2）B（2,1）C（-2,4）D（-4,6）6.一次函数与的图象的交点为（1，a），试确定方程组的解和a,b的值。7.如图，求直线，与x轴所围成的图形面积。
8.（选做）（1）请写出一组二元一次方程组，使该方程组无解；（2）你还能写出其他无解的二元一次方程组吗？如果能，请观察这些方程组中两个方程有什么共同特征。八、板书设计二元一次方程与一次函数x+y=5y=5-x二元一次一次函数二元一次方两个一次函数方程的解图象上程组的解图象交点坐标点（s,t）无解图象平行数形九、课后反思通过本节课的学习将初中数学非常重要的两个知识“方程与函数”联系了起来，在初中数学的学习中起着非常重要的作用。现对本节课反思如下：1.通过情境导入引发学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣。本节课通过对“x+y=5
”是二元一次方程还是一次函数进行讨论，不同的学生会有不同的看法，通过辩解得到其既是二元一次方程又是一次函数，引导学生从不同的角度看待问题，激发学生的学习兴趣。2.通过问题串的形式层层探究，让学生在探究活动中经历观察、思考，经历知识生成的过程。本节课设计了两个探究环节，第一个探究活动学生根据问题一个个回答，通过巡视发现学生能有一定的发现，只是在语言表达上不是很准确。第二个探究活动探究二元一次方程组和一次函数图像交点的坐标大部分同学能够很快找到探究方法，并能找到准确结论。3.多媒体的运用，有效的突破了本节课的的重难点。在两个探究活动结束后，我运用几何画板展示，从动画的角度让学生理解了二元一次方程与一次函数的内在联系，进一步体会数形结合的思想方法。4.精选习题，变式训练，针对目标对学生的掌握情况进行评价。通过评价情况来看，大部分学生能够很好的理解二元一次方程与一次函数的关系，能从形的角度来看待二元一次方程，也能通过求二元一次方程组的解来确定一次函数图像的交点坐标。5.锻炼学生讲题，提高学生的解题能力。凡是能够学生解决的问题，教师一概不“代言”，也避免优生满堂发言。我设计的探究活动一具有开放性和探究性，每个学生都可以参与其中，每个学生都可以有自己的发现和理解，让更多的学困生得到锻炼自己的机会，提高他们学习数学的兴趣，增强数学学习的成就感。
总之，从课堂效果来看，本节课达到了课标要求的学习目标，也得到了观课教师的一致好评，由于个人自身原因，在调节课堂气氛方面，没有达到理想的状态，缺少一些调动学生积极性的语言，这也是我今后要努力的方向。
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