15.3二次根式的加减运算教学目标【知识与能力】1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.【过程与方法】1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.【情感态度价值观】1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点【教学重点】二次根式的加减运算法则.【教学难点】能正确地计算二次根式的加减法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.复习最简二次根式(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?(2)25与20的实质区别是什么?2.复习整式的加减【课件1】 计算下列各式.(1)2x+3x; (2)2x2-3x2+5x2; (3)y+2y+3y; (4)3a2-2a2+a2.说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.[设计意图] 复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫.导入二:【课件2】 一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是5米,第二块草坪的长是20米,宽也是5米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?问题:105+205等于多少?说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.
[设计意图] 从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.导入三:引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.提问:(1)2+3等于几?(2)2+3呢?(3)2+2呢?教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.[设计意图] 先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.二、新知构建：活动一:二次根式的加减运算 [过渡语] 我们学习了整式的加减运算,那么二次根式又该怎样进行加减运算呢?思路一1.试着做做【课件3】 计算下列各式.(1)53+23; (2)12+75; (3)67-17.2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么?3.你能试着解决它们吗?解:(1)53+23=(5+2)3=73.(2)12+75=23+53=(2+5)3=73.(3)67-17=67-177=6-177=4177.归纳:遇到两个二次根式相加(或相减)时,我们希望利用分配律,这里利用分配律的实质是这两个二次根式的被开方数相同,这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那么就应当要求两个单项式除了系数以外,其余的都相同.这就启发我们,类比整式的加减中的合并“同类项”,能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢?4.像53和23,3a和2a,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合并,它们具备的特点是:(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关.5.想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?引导学生归纳:二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变.[设计意图] 通过计算、观察、类比使学生发现二次根式的加减法的实质就是把二次根式化简之后,合并被开方数相同的二次根式的过程,让学生体会前后知识的联系.思路二(针对导入三)说理:事实上,如果2+3=5,那么2+2=4,而4=2,也就是说2+2=2,这显然是错误的.提问:(1)同学们还记得你们曾犯过类似的错误吗?12+13=15(2)那么2+2到底等于多少呢?2+3呢?能不能直接相加呢?如何进行二次根式的加减法运算呢
?[设计意图] 通过说理环节让学生意识到问题原来不是那么简单的,通过强烈的反差使学生意识到二次根式的加减并不简单,接着再通过两个问题使学生在愉悦的氛围中学习,同时引导学生进行思考.计算:18+32-50.解:18+32-50=32+42-52=(3+4-5)2=22.上面的计算中,先把二次根式化简,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,就可以合并在一起.二次根式相加减时,先把各个二次根式化简,再把它们进行合并.合并时与合并同类项类似.因此,二次根式的加减可以比照整式的加减进行.在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用.活动二:例题讲解【课件4】 计算下列各式.(1)23-312+527;(2)8+0.5-0.2-132.先让学生独立完成,教师可适当点拨:(1)先将不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后合并被开方数相同的项.(2)可先将根号下的小数化成分数,然后再去括号,化成最简二次根式后进行计算.解:(1)原式=23-63+153=113.(2)原式=22+12- 15-1412=22+22-55+28=2128-55.说明:教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流后反馈的情况加以总结,并引导学生得出结论.请同学们完成下面两道题.【课件5】 (教材第99页做一做)计算下列各式.(1)228-363+549; (2)24+16- 56+0.96.引导学生独立完成,指定两名同学板演,其他学生在练习本上完成.提示:(1)35-57. (2)53630-306.【课件6】 计算下列各式.(1)212-313-27; (2)(48-100.2)-345-13.提问:(1)两题中有被开方数相同的项吗?(2)能否将它们化简呢?学生自主完成.解:(1)212-313-27=43-3-33=0.(2)(48-100.2)-345-13=43-10×55-3×35-33=43-25-95+3=53-115.
总结方法:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将被开方数相同的项进行合并.[知识拓展] 在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如2+5=25是错误的,运算时一定要注意.(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如232+52=1732,不能写成5232.(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简最后结果化成最简二次根式先化成被开方数相同的最简二次根式,再计算 [设计意图] 通过对例题的讲解,让学生明确在二次根式的计算中,如果有些二次根式的被开方数不同,应先将其化成最简二次根式,然后再将其合并.各例题层层递进,各有不同,让学生自主分析,自主完成,培养学生动手、动脑的良好习惯,培养了学生的解题能力.三、课堂小结：1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.2.二次根式的加减法的步骤:(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;(3)合并被开方数相同的最简二次根式.
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