第十一章11.1.3多面体与棱柱11.1.4棱锥与棱台
课标要求1.通过观察实例,理解并掌握多面体、棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系.3.在描述和判断几何体结构特征的过程中,培养学生的观察能力和空间想象能力.4.理解常见多面体、棱柱、棱锥与棱台的表面积与侧面积公式.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1多面体与棱柱1.多面体的概念定义一般地,由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为,围成多面体的各个多边形称为多面体的;相邻两个面的公共边称为多面体的;棱与棱的公共点称为多面体的凸多面体把多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则称这样的多面体为凸多面体.本书说到的多面体如不特别声明,均指凸多面体面对角线、体对角线一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱,就称其为多面体的;连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的多面体面棱顶点面对角线体对角线
截面一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何体的一个表面积多面体所有面的面积之和称为多面体的(或)截面表面积全面积
2.棱柱的概念定义多面体,有两个面互相,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为底面、侧面、侧棱、高、侧面积棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的(底面水平放置时,分别称为上底面、下底面),其他各面称为棱柱的,两个侧面的公共边称为棱柱的,过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的,棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的平行棱柱底面侧面侧棱高侧面积
直棱柱、斜棱柱、正棱柱如果棱柱的侧棱垂直于底面,则可知棱柱所有的侧面都是长方形,这样的棱柱称为(不是直棱柱的棱柱称为),特别地,底面是正多边形的直棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱棱柱可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱,可分别称为、、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的棱柱也称为,侧棱与底面垂直的平行六面体称为.在平行六面体中,相对的面都是互相的直棱柱斜棱柱正棱柱三棱柱四棱柱五棱柱平行六面体直平行六面体平行
名师点睛1.如图,进一步了解多面体中的概念.2.多面体至少有四个面、四个顶点、六条棱,并不是所有的多面体都有体对角线.3.面对角线和体对角线是两个不同的概念.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形.()(2)多面体的一个面可以是曲面.()(3)棱柱的棱都相等.()×××
2.棱柱的侧面一定是平行四边形吗?3.多面体最少有几个面?多面体如何命名?提示根据棱柱的特点知侧棱平行、底面平行,所以棱柱的侧面一定是平行四边形.提示至少有4个面.多面体可以按照围成它的面的个数来命名.
知识点2棱锥与棱台1.棱锥的概念定义如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有一个公共顶点的三角形,则称这个多面体为底面、侧面、顶点、侧棱底面:是多边形的那个面称为棱锥的底面侧面:有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面顶点:各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点侧棱:相邻两侧面的公共边称为三棱锥、四棱锥、五棱锥棱锥可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥,可分别称为、、棱锥棱锥的侧棱三棱锥四棱锥五棱锥
高、侧面积过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的,棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的正棱锥、斜高如果棱锥的底面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面,则称这个棱锥为.可以看出,正棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的高侧面积正棱锥斜高
2.棱台的概念定义一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为上底面、下底面、侧面、侧棱、顶点上底面:原棱锥的截面下底面:原棱锥的底面侧面:其余各面侧棱:相邻两侧面的公共边顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点棱台
高、侧面积过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的,棱台所有侧面的面积之和称为棱台的三棱台、四棱台、五棱台棱台可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱台,可分别称为三棱台、四棱台、五棱台正棱台、高、斜高由正棱锥截得的棱台称为.不难看出,正棱台上、下底面都是正多边形,两者中心的连线是棱台的,而且,正棱台的侧面都全等,且都是等腰梯形,这些等腰梯形的高也都相等,称为棱台的高侧面积正棱台高斜高
过关自诊1.观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?提示①区别:有两个面相互平行.②联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为该几何体.
2.棱台的上、下底面互相平行,各侧棱延长线一定相交于一点吗?提示根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.3.在三棱锥A-BCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D解析每个面都可作为底面,有4个.
4.(多选题)棱台具备的特点是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都平行D.侧棱延长后都交于一点ABD
5.下面各图形所表示的几何体中,不是棱锥的为()A
重难探究•能力素养全提升
探究点一多面体的识别与判断【例1】如图所示为长方体ABCD-A'B'C'D',当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说明理由;如果是,指出底面及侧棱.
解条件为一个长方体被一个平面所截,观察所得几何体上、下底面的关系与侧棱间的位置关系,抓住图中线段EF和B'C'的位置关系,根据定义得出结论.截面BCFE右侧部分是棱柱,因为它满足棱柱的定义.它是三棱柱BEB'-CFC',其中△BEB'和△CFC'是底面,EF,B'C',BC是侧棱.截面BCFE左侧部分也是棱柱.它是四棱柱ABEA'-DCFD',其中四边形ABEA'和四边形DCFD'是底面.A'D',EF,BC,AD为侧棱.
变式训练1如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是.3
探究点二棱柱的结构特征【例2】(多选题)下列四个命题中,真命题为()A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行答案BCD解析正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面,故A为假命题;B,C,D均为真命题.
规律方法棱柱的性质(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.(4)直棱柱的侧棱长与高相等;直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形.
变式训练2下列关于棱柱的性质正确的是()A.只有两个面相互平行B.所有棱都相等C.所有面都是四边形D.各侧面都是平行四边形答案D解析棱柱的两个底面一定是平行的,但在棱柱中并不一定只有两个面相互平行,故A错;棱柱所有的侧棱长都相等,但它们不一定等于底面多边形的边长,故B错;棱柱的侧面都是四边形,但底面可以不是四边形,故C错;棱柱的所有侧面都是平行四边形,故D正确.故选D.
探究点三棱锥、棱台的结构特征【例3】下列几种说法中,正确的有()①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②棱台的侧面一定不会是平行四边形;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个B.1个C.2个D.3个答案B解析必须用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分才是棱台,故①不正确;棱台的侧面一定是梯形,故②正确;③不一定是棱台,因为各条侧棱延长后不一定相交于一点,故③不正确.
规律方法关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法(1)举反例法.结合棱锥、棱台的定义举反例判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法.几何体棱锥棱台定底面只有一个面是多边形,此面即底面两个互相平行的面,即底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点
变式训练3下列关于棱锥、棱台的说法:①棱台的底面一定不会是平行四边形;②棱锥的侧面只能是三角形;③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中所有正确说法的序号是.
答案②③解析①错误,棱台的底面可以是平行四边形还可以是其他多边形;②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;③正确;④错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
探究点四多面体的侧面积或表面积【例4】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠BB1C1=90°,侧棱长为b,则其侧面积为()(2)已知四棱锥S-ABCD的棱长均为5,底面为正方形,求它的侧面积和表面积.
(3)已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.
(1)答案C解析如图,由已知条件可知,侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为平行四边形,侧面BB1C1C为矩形.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=a,
(2)解因为四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,所以各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点,连接SE,
(3)解如图,E,E1分别是BC,B1C1的中点,O,O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高,则O1O=12.过点E1作E1H⊥OE,垂足为H,则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=OE-OH=6-3=3.
变式训练4(1)一个四棱台的上、下底面都为正方形,且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(即为正四棱台),两底面边长分别为1,2,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为()(2)已知一个四棱锥底面为正方形,且顶点在底面正方形的投影为底面正方形的中心(即为正四棱锥),底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,如图所示,求正四棱锥的侧面积和表面积.
(1)答案A解析如图所示,设O1,O分别为棱台的上、下底面中心,M1,M分别为B1C1,BC的中点,连接O1O,O1M1,OM,MM1,则M1M为斜高.过M1作M1H⊥OM于点H,则
(2)解正棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE=2,∠OPE=30°,
探究点五多面体的表面展开图【例5】如图是三个几何体的表面展开图,请问各是什么几何体?解(1)五棱柱;(2)五棱锥;(3)三棱台.如图所示.
变式训练5纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,如下图①,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图②.则标“△”的面的方位是()A.南B.北C.西D.下
答案A解析将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为△,最左面为西,最里面为上,将正方体旋转后让左面向西,让“上”面向上可知标“△”的方位为南.
素养培优截面周长最小问题【典例】如图所示,在侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面AEF分别交VB,VC于点E,F,求截面△AEF周长的最小值.分析将正三棱锥沿侧棱VA展开→求截面周长转化为求线段长→利用正三棱锥的性质求解
解将三棱锥V-ABC沿侧棱VA剪开,将其侧面展开图平铺在一个平面上,如图所示,则△AEF的周长=AE+EF+FA1.因为AE+EF+FA1≥AA1,所以线段AA1(即A,E,F,A1四点共线时)的长即所求△AEF周长的最小值.作VD⊥AA1,垂足为点D.由VA=VA1,知D为AA1的中点.由已知∠AVB=∠BVC=∠CVA1=40°,得∠AVD=60°.
规律方法空间图形求表面上曲线段(或折线段)最小值的方法空间图形求表面上曲线段(或折线段)最小值时,关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系.解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上,根据“平面内连接两点的线段最短”来解决.借助平面几何的知识来解决立体几何中的问题,是处理立体几何问题的最佳方法.
学以致用•随堂检测全达标
1.给出下列命题:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;⑤各个面都是三角形的几何体是三棱锥.其中所有假命题的序号是()A.②③④B.①②③C.①②④D.①②③④⑤D
2.(多选题)如图所示,不是正四面体(正四面体是各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()CD
3.下列几何体中,是棱柱,是棱锥,是棱台.(填序号)
答案①③④⑥⑤解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
4.如图,将封闭的装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.四棱柱(或三棱柱)
5.如图,在正三棱柱A1B1C1-ABC中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且从点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为,设这条最短路线与CC1的交点为N,求PC的长.
解将三棱柱A1B1C1-ABC中侧面ACC1A1与侧面BCC1B1沿CC1展开成一个平面,如图所示,则从点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为PM.设PC=x,则PA=3+x,在Rt△MAP中,PM2=AM2+AP2,即
本课结束
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