第13章全等三角形小结与复习
1．命题判断某一件事情的语句叫做.注意两点“判断”和“语句”．所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……，则……”“……是……”等，但是，如“连结A、B两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题．2．命题的组成每个命题都是由和两部分组成的．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．条件结论命题知识梳理
3．命题的真假命题有真有假，其中正确的命题叫做；错误的命题叫做.事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明．4．基本事实与定理经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据，这样的真命题叫做.从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做.真命题假命题基本事实定理知识梳理
5．判定三角形全等主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形；(2)三边对应相等的两个三角形(简记为：S.S.S.)；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形(简记为：A.S.A.)；(4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：A.A.S.)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：S.A.S.)．若是直角三角形，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为：H.L.)．全等全等全等知识梳理
6．证全等三角形的思路知识梳理
7．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的面积相等，周长相等；(3)全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等．知识梳理
8．等腰三角形的性质和判定(1)性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”．(2)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,简称“等角对等边”.9．等边三角形(1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．10．尺规作图把只能使用这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．没有刻度的直尺和圆规知识梳理
11．常见的基本作图(1)作等于已知线段；(2)作一个角等于角；(3)作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的；(5)作已知线段的垂直线．12．互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题．13．逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成，并将结论改成，便可以得到原命题的逆命题．一条线段已知垂线平分结论条件结论条件知识梳理
注意:每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．但原命题正确，它的逆命题未必正确．14．逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的定理．注意:每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．逆知识梳理
15．垂直平分线到线段两端点的距离相等的点在这条线段的.它的逆定理是：线段垂直平分线上的点到.注意:前面是线段垂直平分线的判定，后面是线段垂直平分线的性质．16．角的平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等．它的逆定理是：到角的两边距离相等的点在.注意:前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定．垂直平分线上线段两端点的距离相等角的平分线上知识梳理
【例1】下列命题中是假命题的是( )A．三角形的内角和是180°B．多边形的外角和都等于360°C．五边形的内角和是900°D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解析:要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的．对于A、B、D来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边形的内角和是540°，所以C不正确，故选C.C考点讲练判定命题真假1
命题这部分内容的概念多、理论性强，看似杂乱无章，其实只要抓住三点，一切问题也就迎刃而解．主要是识别命题、找出命题的条件和结论、会判断命题的真假．方法总结
1.下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等.其中真命题的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个C针对训练【练习】
DFDEEF∠D∠E∠F角角角边边边AC=AB=BC=∠A=∠B=∠C=【例2】如图，已知△ABC≌△DEF，请指出图中对应边和对应角.ABCFDE提示：根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.全等三角形的性质2考点讲练
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.方法总结
ABCED2.如图，已知△ABC≌△AED，若AB＝6，AC＝2,∠B＝25°，你还能说出△ADE中其他角的大小和边的长度吗？解：∵△ABC≌△AED，∴∠E＝∠B＝25°（全等三角形对应角相等），AC=AD=2，AB=AE=6（全等三角形对应边相等）.针对训练【练习】
【例3】已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（A.S.A.）.BCAD解析：运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定．全等三角形的判定3考点讲练
3.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE，AC=DF，BC=EFB.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFC.AB=DE，AC=DF，∠A=∠DD.AB=DE，BC=EF，∠C=∠FD针对训练【练习】
4.如图所示，AB与CD相交于点O,∠A=∠B，OA=OB添加条件，所以△AOC≌△BOD理由是.AODCB∠C=∠D或∠AOC=∠BODA.A.S.或A.S.A.针对训练【练习】
【例4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG解析：欲证∠DEC=∠FEC由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE只需要证明△DEG≌△DCG.全等三角形的性质与判断的综合应用4考点讲练
ABCDFEG证明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE≌△AGC(A.S.A.).∴GE=GC.考点讲练
【方法总结】利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG，∴△DGE≌△DGC(S.A.S.).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.考点讲练
5.如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为B，C，OB=OC，∠BAO=∠CAO吗？为什么？OCBA解：AO平分∠BAC.理由如下：∵OB⊥AB,OC⊥AC，∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABO和Rt△ACO中，OB=OC，AO=AO，∴Rt△ABO≌Rt△ACO（H.L.）.∴∠BAO=∠CAO.针对训练【练习】
【例5】如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD解析：将本题中实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，AD⊥BC.利用全等三角形解决问题5考点讲练
解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD，AB=AC，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(H.L.).∴BD=CD.考点讲练
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.方法总结
6.小明想设计一种方案，测一下沼泽地的宽度AB的长度，如图所示，他在AB的垂线BM上分别取出C，D两点，使CD＝BC，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A，C，E三点共线，这时所测得DE的长就是这块沼泽地的宽AB的长度，你能说明理由吗？解：在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，根据“A.S.A.”的判定定理可以判定△ABC≌△EDC，再由全等三角形的对应边相等，可得AB＝DE.针对训练【练习】
【例6】如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D.求证：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E解析:根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图，则∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.等腰三角形的性质与判断6考点讲练
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段.方法总结
7.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,点D是AC上的一点，AE垂直BD的延长线于点E,且AE=BD.求证：BD平分∠ABC.ABDE))12针对训练【练习】C
CFABDE))12证明：延长AE交BC的延长线于点F,如图所示.∵∠ACB=90°,∴∠ACF=∠ACB=90°.∵∠F+∠FAC=90°,∴∠F+∠EBF=90°.∵∠FAC=∠EBF.在△ACF和△BCD中，∠FAC=∠DBC,AC=BC,∠ACF=∠BCD,∴△ACF≌△BCD(ASA).∴AF=BD.针对训练
FABDE))12在△AEB和△FEB中，AE=FE,EB=EB,∠AEB=∠FEB,∴△AEB≌△FEB(S.A.S.).C∵AE=BD,∴∠ABE=∠FBE,即BD平分∠ABC.∴AE=EF.针对训练
【例7】如图，等边△ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF．求证：△DEF是等边三角形.解析：根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得△DEF是等边三角形.等边三角形的性质与判定7考点讲练
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA.∵AD=BE=CF，∴BD=EC=AF.在△ADF，△BED和△CFE中，AD＝BE＝CF,∠A＝∠B＝∠C,BD＝CE＝AF,∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE=EF=FD，∴△DEF是等边三角形.考点讲练
8.如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE.求证：△DBC≌△EAC.证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC.针对训练【练习】
【例8】用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()A．S.S.S.B．A.S.A.C．A.A.S.D．角平分线上的点到角两边的距离相等A解析：由作法可得OM＝ON，MC＝NC.∵OC＝OC，∴△ONC≌△OMC(S.S.S.)．故选A.尺规作图8考点讲练
作角的平分线，实际上就是平分已知角．作已知角的平分线的理论依据是判定三角形全等的“S.S.S.”.方法总结
9.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）A．S.A.S.B．S.S.S.C．A.A.S.D．A.S.A.B针对训练【练习】
【例9】判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．解析：写一个命题的逆命题，将命题的条件和结论交换位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅．命题与逆命题9考点讲练
【方法归纳】（1）写出一个命题的逆命题关键是分清它的条件和结论，然后将条件和结论互换.将命题的条件和结论交换位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅．（2）原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题不一定是假命题.要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可；而要判断一个命题是真命题，则需通过推理论证得出.解：(1)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．(2)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．逆命题是真命题．考点讲练
10.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1．是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.针对训练【练习】
【例10】如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4.5,分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连结BD，则△BCD的周长是________．10.5解析：由题意可知过这两点的直线其实是AB边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以得BD＝AD.∵AC＝6，BC＝4.5，∴△BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝6＋4.5＝10.5.线段的垂直平分线10考点讲练
本题集垂直平分线的画法、垂直平分线的性质、整体的思想、转化的思想于一题求线段的长，是中考的一个新的题型，希望引起读者注意．方法总结
11.如图，已知△ABC，直线PM是线段AC的垂直平分线，射线AP是∠BAC的平分线，P是两线的交点，且CP＝3cm，PM＝2cm，求点P到直线AB的距离及到点A的距离．解：∵点P在线段AC的垂直平分线上，∴PA＝PC.∵CP＝3cm，∴PA＝3cm.∵AP是∠BAC的平分线，∴点P到AB的距离等于PM的长．∴点P到AB的距离等于2cm，到点A的距离为3cm.【练习】考点讲练
【例11】如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+∠BAP=180°，求证:PA=PC.BACN))12P解析：由角平分线的性质易想到过点P向∠ABC的两边作垂线段PE，PF，构造角平分线的基本图形.EF角平分线11考点讲练
证明:过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.BACN))12PEF∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.∵∠PCB+∠BAP=180°,又知∠BAP+∠EAP=180°.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90°，∠EAP=∠FCP，PE=PF，∴△APE≌△CPF(AAS)，∴AP=CP.考点讲练
角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路是作垂线段构造角平分线性质基本图.方法总结
12.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:∠PCB+∠BAP=180°.BACN))12PEF证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.PA=PC，PE=PF，在Rt△APE和Rt△CPF中，∴Rt△PAE≌Rt△PCF(H.L.).∴∠EAP=∠FCP.∵∠BAP+∠EAP=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°.想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB与∠PAB有怎样的数量关系呢？【练习】考点讲练
分类讨论思想【例12】等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.解析：要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.本章的数学思想与解题方法12考点讲练
【方法归纳】根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确.解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据题意得2x+x-8=20,解得x=,∴x-8=;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4,∴y+8=12,但4+4=8
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