高中数学人教A版选修2-2（同步练习）第1章 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

第一章 导数及其应用1.2 导数的计算1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时跟踪检测一、选择题1．(2019·重庆市一中高二月考)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则角α的取值范围是(  )解析：因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈，π.故选D.答案：D2．已知f(x)＝xlnx，求＝(  )A.B．C．ln3＋1D.2ln3＋2解析：＝2＝2f′(3)， ∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，∴2f′(3)＝2ln3＋2，故选D.答案：D3．已知函数f(x)＝sin2x，(x∈R)，则它的导函数f′(x)是(  )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数解析：f′(x)＝2cos2x，∴T＝＝π，且f′(x)为偶函数，故选C.答案：C4．(2019·泉港中学高二期中)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(  )A.B．C.D.1解析：依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2(x－0)即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积S＝×1×＝.故选A.答案：A 5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，且f′(a)＝f′(b)＝1，则f′(c)等于(  )A．－B．C．－1D.1解析：由f′(x)＝(x－a)′(x－b)(x－c)＋(x－a)[(x－b)(x－c)]′＝(x－b)(x－c)＋(x－a)[(x－b)(x－c)]′得f′(a)＝(a－b)(a－c)＋0＝(a－b)(a－c)＝1，同理，f′(b)＝(b－a)(b－c)＝1，由得(a－b)(a－c－b＋c)＝2，即(a－b)2＝2.∴f′(c)＝(c－a)(c－b)＝·＝＝－.故选A.答案：A6．若存在过(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(  )A．－1或－B．－1或C．－或－D.－或7解析：设y＝x3上的切点为(x0，x)，∵∴切线方程为y－x＝3x(x－x0)，又(1,0)在切线上，∴2x－3x＝0，得x0＝0或x0＝.∴公切线的斜率为k＝0或k＝.当k＝0时，切线方程为y＝0.又y＝0与y＝ax2＋x－9相切，∴Δ＝＋36a＝0，得a＝－. 当k＝时，切线方程为y＝(x－1)．由得ax2－3x－＝0.由Δ＝9＋9a＝0，得a＝－1.答案：A二、填空题7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．解析：∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝，当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x8．(2019·高二月考)若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c＝________.解析：∵f′(x)＝＝，∴f′(c)＝.依题意知f(c)＋f′(c)＝0，即＋＝0，∴2c－1＝0，得c＝.答案：9．(2019·牡丹江中学高二月考)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．解析：y′＝3(2x＋1)·ex＋3(x2＋x)ex，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y－0＝3(x－0)，即y＝3x.答案：y＝3x 三、解答题10．已知f(x)＝x2－2x.(1)求经过点(2,0)的f(x)的切线方程；(2)求经过点(0，－1)的f(x)的切线方程．解：(1)由于f(2)＝22－2×2＝0，故点(2,0)在f(x)上，∴(2,0)为切点，又f′(x)＝2x－2，∴所求切线的斜率为k＝f′(2)＝2，∴该曲线的切线方程为y＝2x－4.(2)由于f(0)＝02－2×0＝0，故点(0，－1)不在f(x)上，∴(0，－1)不是切点，设f(x)的切点为(x0，x－2x0)，则该切线的斜率为f′(x0)＝2x0－2，又该切线过(0，－1)和(x0，x－2x0)，故该切线的斜率又可表示为，所以＝2x0－2，∴x＝1，即x0＝±1，则斜率为k＝0或－4，故该切线方程为y＝－1或y＝－4x－1.11．已知曲线f(x)＝ax3＋b的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝3x－1.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)求曲线在点(－1,0)处的切线方程．解：(1)f′(x)＝3ax2，∵f(x)在x＝1处的切线方程是y＝3x－1.∴f′(1)＝3a＝3，∴a＝1.∴f(x)＝x3＋b.又∵f(x)的图象经过点(0,1)，∴b＝1，∴f(x)＝x3＋1.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2，k＝f′(－1)＝3×(－1)2＝3.∴曲线在点(－1,0)处的切线方程是y＝3(x＋1)，即 3x－y＋3＝0.12．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋x2－ax－ln2(a>0)．若函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为mx－2y－3＝0，求a，m的值．解：f′(x)＝＋2x－a，f′(1)＝＋2－a，f(1)＝ln(a＋1)＋1－a－ln2，由得ln(a＋1)＋－－ln2＝0.令h(a)＝ln(a＋1)＋－－ln2(a>0)，h′(a)＝>0，所以函数h(a)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0，所以13．(2019·榆林二中高二月考)曲线y＝esinx在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．解：∵y＝esinx，∴y′＝esinxcosx，∴y′|x＝0＝1.∴曲线y＝esinx在(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设为x－y＋m＝0.由＝得m＝－1或3.∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.