人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题教案
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人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题教案

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时间:2022-10-25

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资料简介
13.4课题学习最短路径问题教学目标:1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用.3、感悟转化思想.学习重点:B¡¤¡¤All利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.教学过程一、探索新知问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:  从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点,再回到B地的路程之和;BAl(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小(如图).问题2如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?-3- 追问1 对于问题2,如何将点B“移”到l的另一侧B′处,满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等?追问2 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B′吗?问题2如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?作法:B¡¤lA¡¤B′C(1)作点B关于直线l的对称点B′;(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?证明:如图,在直线l上任取一点C′(与点C不重合),连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质知,BC=B′C,BC′=B′C′.∴ AC+BC=AC+B′C=AB′,AC′+BC′=AC′+B′C′.追问1 证明AC+BC最短时,为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合),证明AC+BC<AC′+BC′?这里的“C′”的作用是什么?C不重合)与A,B两点的距离和都大于AC+BC,就说明AC+BC最小.追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的?二、练习 如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.ABCPQ山河岸大桥基本思路:  由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR的和最小”.-3- 三、归纳小结1、本节课研究问题的基本过程是什么?2、轴对称在所研究问题中起什么作用?四、布置作业教科书P93复习题13第15题.-3-

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