学习必备欢迎下载圆的标准方程一、教学目标〔一〕学问、才能方面（1）会推导圆的标准方程；（2）把握圆的标准方程的特点，能依据所给有关圆心、半径的具体条件精确地写出圆的标准方程；（3）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径；（4）能解决一些简洁的实际问题；〔二〕方法、态度方面通过圆的标准方程的推导，培育同学利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的才能．〔三〕情感、价值观方面圆基于中学的学问，同时又是中学的学问的加深，使同学懂得学问的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想训练．二、教材分析1.重点：〔1〕圆的标准方程的推导步骤；〔2〕依据具体条件正确写出圆的标准方程．〔解决方法：〔1〕通过设问，排除难点，并具体讲解；〔2〕多多练习、讲解．〕2.难点：运用圆的标准方程解决一些简洁的实际问题．〔解决方法：使同学把握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简洁，最终解决实际问题．〕三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．四、教学过程〔一〕复习提问
学习必备欢迎下载前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与肯定点距离等于定长的点的轨迹称为圆〔老师在黑板上画一个圆〕．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不行少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用〔x，y〕表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P〔M〕|}，简称写点集；〔3〕用坐标表示条件P〔M〕，列出方程f〔x，y〕=0，简称列方程；〔4〕化方程f〔x，y〕=0为最简形式，简称化简方程；〔5〕证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤〔1〕〔3〕〔4〕必不行少．
学习必备欢迎下载下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．〔二〕建立圆的标准方程1.建系设点由同学在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．老师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特别情形，现在仅就一般情形推导．由于C是定点，可设C〔a，b〕、半径r，且设圆上任一点M坐标为〔x，y〕．2.写点集依据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3.列方程由两点间的距离公式得：4.化简方程将上式两边平方得：222〔x-a〕+〔y-b〕=r．〔1〕方程〔1〕就是圆心是C〔a，b〕、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家摸索下面一个问题．问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，绽开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点〔a，b〕、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C〔0，0〕时，方程为x2+y2=r2．老师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必需具
学习必备欢迎下载备三个独立的条件．留意，确定a、b、r，可以依据条件，利用待定系数法来解决．〔三〕圆的标准方程的应用例1写出以下各圆的方程：〔请四位同学演板〕(1)圆心在原点，半径是3；〔3〕经过点P〔5，1〕，圆心在点C〔8，-3〕；2〔4〕圆心在点C〔1，3〕，并且和直线3x-4y-7=0相切．学习必备欢迎下载老师纠错，分别给出正确答案：〔1〕x2+y2=9；〔2〕〔x-3〕2+〔y-4〕=5；学习必备欢迎下载指出：要求能够用圆心坐标、半径长娴熟地写出圆的标准方程．例2说出以下圆的圆心和半径：〔同学回答〕〔1〕〔x-3〕2+〔y-2〕2=5；〔2〕〔x+4〕2+〔y+3〕2=7；22〔3〕〔x+2〕+y=4老师指出：已知圆的标准方程，要能够娴熟地求出它的圆心和半径．例3〔1〕已知两点P1〔4，9〕和P2〔6，3〕，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判定点M〔6，9〕、N〔3，3〕、Q〔5，3〕是在圆上，在圆内，仍是在圆外？解〔1〕：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：〔同学口答〕设圆心C〔a，b〕、半径r，就由C为P1P2的中点得：
学习必备欢迎下载又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：〔x-5〕2+〔y-6〕2=10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解法二：〔给出板书〕∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P〔x，y〕，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即〔x-5〕2+〔y-6〕2=10为所求圆的方程．解〔2〕：〔同学阅读课本〕分别运算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
学习必备欢迎下载这时，老师小结此题：1.求圆的方程的方法〔1〕待定系数法，确定a，b，r；〔2〕轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．3．以A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕为直径端点的圆的方程为〔x-x1〕〔x-x2〕+〔y-y1〕〔y-y2〕=0〔证明留作作业〕例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度〔精确到0.01m〕．此例由同学阅读课本，老师巡察并做如下提示：〔1〕先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简洁，便于运算；〔2〕用待定系数法求圆的标准方程；〔3〕要留意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．〔四〕本课小结1.圆的方程的推导步骤；2.圆的方程的特点：点〔a，b〕、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
学习必备欢迎下载1.求圆的方程的两种方法：〔1〕待定系数法；〔2〕轨迹法．五、布置作业1.求以下条件所打算的圆的方程：〔1〕圆心为C〔3，-5〕，并且与直线x-7y+2=0相切；〔2〕过点A〔3，2〕，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．2.已知：一个圆的直径端点是A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕．证明：圆的方程是〔x-x1〕〔x-x2〕+〔y-y1〕〔y-y2〕=0．3.一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是〔-4，0〕和〔4，0〕，求它的外接圆的方程．4.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．作业答案：221．〔1〕〔x-3〕+〔y+5〕=322．由于直径的端点为A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，就圆心和半径分别为所以圆的方程为22化简得：x-〔x1+x2〕x+x1x2+y-〔y1+y2〕y+y1y2=0即〔x-x1〕〔x-x2〕+〔y-y1〕〔y-y2〕=0
学习必备欢迎下载4．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：22x+〔y+27.88〕=27.882〔-7.2≤y≤0〕六、板书设计
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