《圆的标准方程》课例

的标准方程》课例（第一课时）林永强蔡恒录伏景祥一、设计背景圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.是前面学习了直线方程、两条直线的位置关系、曲线和方程的基础上，让学生学会在平而直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程屮进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析儿何中起着承前启后的作用.另外，圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难，另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强.二、课堂实录与教学设计（一）、复习引入1、引入师：一提到圆，可能很多同学脑海里都会浮现出许多圆形物体，比如自行车轮子、水桶底、摩天轮等，可以说圆与我们的生活息息相关。在小学和初中我们都学过圆的知识，当时所关注的是圆的形状大小等儿何特征，而今天我们将要从一个新的角度继续来学习。2、明确思想师：在上一章内容屮，我们通过用坐标表示点，把曲线和二元方程联系起来。这样通过坐标法把几何图形和代数方程联系起来，就实现了数与形的统一。在这一章我们继续用这个思路来展开硏究。二、讲授新课1、建立圆的标准方程师：在初中，圆的定义如何？生：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点就是圆心，定长就是半径.师：在平面直角坐标系中，确定一个圆需要哪些条件? 生：一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了。(使学生明确确定一个圆需要的条件是圆心与半径，为求圆的方程做好铺垫。)师：当我们建立了平面直角坐标系之后，圆心有了坐标，这时要建立圆的方程不妨先解决这个问题：如图，若某圆圆心是A(a,b),半径为门则圆上的点的坐标应满足怎样的关系式?设M(x,y)是圆上任意一点，则丨AM|=r,由两点间的距离公式得=r,两边平方得(兀-”+0-防=八①(圆的标准方程的推导具有一般性，引导学生经历这一过程，可以提高学生利用代数知识解决几何问题的能力。)师：这条关系式是圆的方程吗？应怎样说明呢？师：利用上一节课的做法，我们可以从两方面来说明。首先从推导过程我们知道若任意点M在圆上，则点M的坐标适合方程(1)；反之，若点M(x,y)适合方程，开方得J(—°)2+(兀_硏这意味着点“与圆心A的距离为r,即点M在圆A上。所以我们说这条关系式为圆的方程，我们将它称为圆的标准方程。(培养学生思维的严谨性，巩固直线方程的概念，渗透曲线方程的概念。)2、延伸(1)圆的标准方程U-^)2+(y-^)2=r2O圆心为c(a,b),半径为r,这呈现了圆的儿何特征。师：从圆的标准方程很快可以得到圆心和半径，反之，有了圆心和半径，圆方程就可以写岀,换句话，知道了a,b,1•就可以写出圆的标准方程。(阐明圆的几何特征，为后续练习的顺利解答做好了铺垫。指出要确定圆的方程就是要确定a,b,r,为讲待定系数法打好基础。)222(2)如果圆心在坐标原点，则a=b=O,圆的方程为厂.三、应用举例，巩提高1、直接应用练习1写出下列方程表示的圆的圆心和半径.(l)x2+y2=2；(2)(兀+4尸+(y+3)2=49(3)(x+2)2=(-2)2(4)(x-3)2=a2(aH0)；(由学生口答，老师及时点拨和纠错，帮助学生熟悉圆的标准方程的特点。在练习屮涉及到许多学生易错的环节，可以培养学生思维的严密性。) 练习2.(1)圆心在原点，半径是石的圆的方程是.(2)圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是()(A)x2+y2=25(B)x2+y2=5(C)(x—3)S(y—4尸=25(D)(x~3)2+(y-4)M(练习2涉及了简单的求圆方程，其中(2)为接下来的探究点与圆位置关系做好了铺垫，同时为练习4的解决提供了方向。让学生思考后回答，对于(2)让学生说明选择的办法。)2、探究点与圆的位置关系练习3写出以点A(2,-3)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5,-7),N(2,-l),P(10,-9)在不在圆上？(由学生自己思考感知，然后提问：怎么判断点在不在圆上)师：我们在初中已学习过点与圆的位置关系，大家还记得有几种吗？生：有三种。师：那么这里的点N、P到底在圆内还是圆外呢？(让学生思考后提问，并帮助学生提炼总结判断点与圆位置关系的方法。)提炼总结：师：点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外。我们可以从几何的角度去处理，即看点到圆心的距离d与圆半径1•的关系。dvr时点在圆内；d=i•时点在圆上；d>r时点在圆外.同时还可以通过方程去进行比较：点(兀0,%)在圆(兀-+(歹-b)2=r2(r>o)_hO(兀一a)2+(%-b)2=r2(r>0);点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)内O(x0-a)2+(%-b)20);点(Xo，比)在圆(X-a)?+(y-b)2=r2(r>0)外O(旺_a)2+(%一疔>X(厂>0).即讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点与圆心的距离与半径的关系)去考虑。(通过具体例子让学生层层递进地探讨点与圆的位置关系，便于学生接受。在总结的吋候指出讨论点与圆的位置关系可以从代数和几何两方面去考虑，贴合解析几何的特点，并为后续问题的解决提供了方向。)练习4求经过点P(5,l),圆心在点C(8,-3)的圆的方程。(由学生思考后让学生板书，教师要引导学生从两个角度去思考。通过这个练习让学生初步感知如何从代数和几何两个角度去求圆的方程。)3.灵活应用，提升能力例1、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线/:兀-＞，+1=0上，求此圆的标准 方程.(学生Z间交流讨论，确立解题思路。教师巡视指导，适当启发，可以引导学生从圆的几何性质出发寻找解题途径，也可以引导学生从构成圆的要素入手应用方程的思想解决・)教师提问学生，然后点评学生的思路，确立答题策略一是从标准方程的特征分析，圆的方程由a,b,i•三个量确定，因此要确定圆的方程从方程的角度只需确定a,b,I•三个方程联立方程组即可求得，也就是用待定系数法来解决。答题策略二是应用圆的几何性质确定出圆心即直线AB的垂直平分线和直线L的交点即为该圆的圆心，圆心确定了，即可求得相应的半径。(这里要帮助学生进行方法的提炼，提高学生获取知识能力和归纳概括能力，帮助学生构建知识模块，起到做一题会一类的作用。对于解答策略一教师写出详细规范的解答过程，起到示范作用；同时，要演示计算过程帮助学牛克服惧怕计算三元二次方程组的心理。对于解答策略二则和学生一起写岀解答的流程，并复习相应步骤中要使用的公式。)三、教学反思圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用•本课吋是《圆的方程》的第一课时，是前面学习了直线方程、两条直线的位置关系、曲线和方程的基础知识后的一节课。由于学生是在初中学习的圆的相关知识，知识的遗忘较多，再加上学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，因此在教学设计时,我选择由“特殊到一般”、由“具体到抽象”的设计模式，在学生学习了一个新知识后立即进行练习，从而来达到让学生牢固掌握所学知识并能用所学知识来解决一些实际问题。具体的讲，在学生推导出圆的标准方程，引导学生分析圆的标准方程的结构特征后，选择了3道直接运用圆的标准方程的练习题，目的是让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，这些练习题都采取从易到难的梯度进行的，通过这样的训练来达到让学生充分掌握圆的标准方程的形式。例1我直接选用教材屮的例1,没有做改动。在学生自主交流合作学习了例1后，立即对教材后配的练习题进行练习，从而巩固所学的知识和运用探究出的求法；在讲解例2时，我采取先用一个具体的问题来求出圆的切线方程后，从特殊的例子入手,为推导一般的圆的切线方程打下知识和方法的铺垫，体现了“从特殊到一般”的思想。并且为了让不同层次的学生都有提高，我布置了3个课外思考题，以扩充学生的知识面。由于平时所教学的班级和授课的班级在学生层次和学习方法上存在差异，在授课时就难免带有平时上课的风格：要求学生做到书写规范，步步有理，做数学题不能只有式子，而没有必要的文字叙述。尽管在授课时注重学生的矫止和反馈，但在引导学生深入方面做得不够好，譬如：在教学例2求过具体的圆上一点作圆的切线方程时，学生的思想和方法、解决方式的多样性方面没有留足够的时间进行深入展开，从而失去了一次训练学生的发散思维的机会。在纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，训练学生的有效思维量方面还做得不够好。 我这节课我认为的不足之处就在于：1、没有从生活实际出发创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，并能应用于实际，从而激发学生的学习兴趣和学习欲望，我个人认为通过这样学生获取的知识，易于保持，易于迁移；2、没有随时让学生对所学知识和方法产生有意注意，也就是对学生的引导方面还做得不够.