新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 教案

4.1.1圆的标准方程  【教学目标】  （一）知识与技能  (1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．  (2)会用待定系数法求圆的标准方程．  （二）过程与方法  进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．  （三）情感态度与价值观  通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．  【教学重点】圆的标准方程．  【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．  【教学方法】启发、引导、讨论．  【教学过程】  一、新课引入  在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆?在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?  二、讲授新课  确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为，半径为（其中、、都是常数，）．设为这个圆上任意一点，那么点用心爱心专心 满足的条件是（引导学生自己列出）,由两点间的距离公式让学生写出点适合的条件①化简可得：②  引导学生自己证明为圆的方程，得出结论．  若点在圆上，由上述讨论可知，点的坐标适用方程②，说明点与圆心的距离为，即点在圆心为的圆上．  所以方程②就是圆心为,半径为的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．  三、例题解析  例1：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点,是否在这个圆上．  分析：可以从计算点到圆心的距离入手．  点与圆的关系的判断方法：  （1），点在圆外  （2），点在圆上  （3），点在圆内  解：圆心是半径长等于5的圆的标准方程是  ．用心爱心专心   把点的坐标代入方程，左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代入方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．  例2：的三个顶点的坐标是,求它的外接圆的方程．  师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定、、三个参数．（学生自己运算解决）  （外接圆的圆心是的外心，即三边垂直平分线的交点．）  解：设所求圆的方程是．①  因为都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是    解此方程组，  得  所以的外接圆的方程是  ．  例3：已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程．用心爱心专心   师生共同分析:如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为的圆经过点和,由于圆心与，两点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线的交点，半径长等于或．  解法1：因为，，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率．  因此线段的垂直平分线的方程是，  即．  圆心的坐标是方程组的解．  解此方程组，得  所以圆心的坐标是  圆心为的圆的半径长．  所以圆心为的圆的标准方程是．  解法2：设所求圆的方程为．由题意得  用心爱心专心   解得所以所求圆的方程是．  总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2、例3可得出外接圆的标准方程的两种求法：  ①根据题设条件，列出关于、、的方程组，解方程组得到、、得值，写出圆的标准方程．  ②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．  四、课堂练习  1、根据下列条件，求圆的方程．  （1）圆心在点，并且过点；  （2）圆心在点，并与直线相切；  （3）过点和点，半径为．  2、求过点,且圆心在直线上的圆的方程．  五、课堂小结  1、圆的标准方程．  2、点与圆的位置关系的判断方法．  3、根据已知条件求圆的标准方程的方法．用心爱心专心