新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 导学案

4．1.1 圆的标准方程圆的标准方程[提出问题]右图是一个公园内的摩天轮．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样．圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径．问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示：＝.问题3：以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？提示：＝3.[导入新知]圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．[化解疑难]1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程：条件圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0) 圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)点与圆的位置关系[提出问题]爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜．如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：问题1：点与圆的位置关系有几种？提示：三种．点在圆外、圆上、圆内．问题2：如何判断他们的胜负？提示：利用点与圆心的距离．[导入新知]点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MC│＝r⇔点M在圆C上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MC│r⇔点M在圆C外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2[化解疑难]1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外． 2．判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．求圆的标准方程[例1] 过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(  )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4[答案] C[类题通法]确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[活学活用] 求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；(3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．解：(1)圆的半径长r＝＝，故圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，解得b＝0或b＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)．又∵半径r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(3)直线CD的斜率kCD＝＝1，线段CD中点E的坐标为(0,2)，故线段CD的垂直平分线的方程为y－2＝－x，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2，即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式，得r＝＝.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10. 点与圆的位置关系[例2] 如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．(1)求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．[解] (1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6.又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM|＝＝，|CN|＝＝＞，|CQ|＝＝3＜.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．[类题通法]1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．[活学活用]若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(  )A．{a|－1＜a＜1}B．{a|0＜a＜1}C．{a|a＞1或a＞－1}D．{a|a＝±1}答案：A     10．求解圆的方程中漏解  [典例] 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解] 法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.[易错防范]1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错．2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况．[成功破障]圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为________．答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5[随堂即时演练]1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径分别是(  )A．(1，－2)，4      B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4D．(－1,2)，2 答案：D2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(  )A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定答案：A3．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是________．答案：5＋4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．答案：(x＋2)2＋y2＝45．求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的方程．答案：(x－4)2＋(y－1)2＝5[课时达标检测]一、选择题1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为(  )A．在圆心      B．在圆上C．在圆内D．在圆外答案：C2．以P(－2,3)为圆心，且与y轴相切的圆的方程是(  )A．(x－2)2＋(y＋3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4C．(x－2)2＋(y＋3)2＝9D．(x＋2)2＋(y－3)2＝9答案：B3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(  )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1答案：A4．已知圆C经过点P(－2,4)和点Q(4,4)，直径为2，则圆C的标准方程为(  )A．(x－1)2＋(y－3)2＝10B．(x＋1)2＋(y－5)2＝10C．(x＋1)2＋(y－3)2＝10或(x－1)2＋(y－5)2＝10D．(x－1)2＋(y－3)2＝10或(x－1)2＋(y－5)2＝10 答案：D5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(  )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝5答案：C二、填空题6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且经过原点的圆的标准方程是___________．答案：(x－2)2＋(y－4)2＝207．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．答案：[0,1)8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．答案：(x＋5)2＋y2＝5三、解答题9．求经过点A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．解：法一：设圆心坐标为(a，b)．∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆过A，B两点，∴解得∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－ a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝，解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.故所求圆为(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.