新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 教案
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新人教A版必修2 高中数学 4.1.1 圆的标准方程式 教案

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资料简介
--《圆的标准方程》教学设计一、教材分析学习了“曲线与方程”之后,作为一般曲线典型例子,安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线,在初中曾经学习过圆的有关知识,本节容是在初中所学知识及前几节容的基础上,进一步运用解析法研究它的方程,它与其他图形的位置关系及其应用同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说,本节容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用。二、学情分析学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识,本节将在上章学习了曲线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究直线与圆,圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力。三、教学目标(一)知识与技能目标(1)会推导圆的标准方程。--可编修- --(2)能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。(3)掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。(二)过程与方法目标(1)体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力。(2)能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程。(三)情感与态度目标圆是基于初中的知识,同时又是初中的知识的加深,使学生懂得知识的连续性;圆在生活中很常见,通过圆的标准方程,说明理论既来源于实践,又服务于实践,可以适时进行辩证唯物主义思想教育.四、重点、难点、疑点及解决办法1、重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。2、难点:圆的标准方程的应用。3、解决办法:充分利用课本提供的2个例题,通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。五、教学过程首先通过课件展示生活中的圆,那么我们今天从另一个角度来研究圆。--可编修- --(一)复习提问在初中,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答?问题1:具有什么性质的点的轨迹称为圆?平面与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆).问题2:图哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.问题3:求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少?求曲线方程的一般步骤为:(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意点M的坐标,简称建系设点;(如图)(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|},简称写点集;(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,简称列方程;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式,简称化简方程;--可编修- --(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明.其中步骤(1)(3)(4)必不可少.下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.(二)建立圆的标准方程1.建系设点由学生在黑板上板演,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为C是定点,可设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).2.写点集根据定义,圆就是集合P={M||MC|=r}.3.列方程由两点间的距离公式得:4.化简方程将上式两边平方得:(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)方程(1)就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程.这时,请大家思考下面一个问题.问题4:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?--可编修- --这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.教师指出:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.注意,确定a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决.(三)圆的标准方程的应用学生练习一:1说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5;(2)(2x+4)2+(2y-4)2=8;(3)(x+2)2+y2=m2(m≠0)教师指出:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径.2、(1)圆心是(3,-3),半径是2的圆是_________________.(2)以(3,4)为圆心,且过点(0,0)的圆的方程为()Ax2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3)2+(y-4)2=25--可编修- --教师纠错,分别给出正确答案:2、(1)(x-3)2+(y+3)2=4;(2)D.指出:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例1求满足下列条件各圆的方程:(1)求以C(1,3)为圆心,并且和直线相切的圆的方程(2)圆心在x轴上,半径为5且过点(2,3)的圆。解:(1)已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程因为圆C和直线相切,所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式,得因此,所求的圆的方程是(2)设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25∵点A(2,3)在圆上∴(2-a)2+32=25∴a=-2或6∴所求圆的方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25这时,教师小结本题:求圆的方程的方法(1)定义法--可编修- --(2)待定系数法,确定a,b,r;学生练习二:1、以C(3,-5)为圆心,且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.教师纠错,分别给出正确答案:(x-3)2+(y+5)2=32。例2已知圆的方程,求经过圆上一点的切线方程解:如图,设切线的斜率为,半径OM的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是∵∴(让学生注意斜率不存在时和为0的情况)经过点M的切线方程是,整理得因为点在圆上,所以,所求切线方程是法二:勾股定理法三:向量变式一:已知圆的方程为x2+y2=1,求过点(2,2)的切线方程。--可编修- --变式二:已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,求过点(2,2)的切线方程。学生练习三:1.已知圆求:(1)过点A(4,-3)的切线方程是_________________.(2)过点B(-5,2)的切线方程是_________________教师纠错,分别给出正确答案:(1)4x-3y=25;(2)x=-5或21x-20y+145=0(四)本课小结1.圆的方程的推导步骤;2.圆的方程的特点:点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法.4.数型结合的数学思想5.过定点求圆切线方程.(五)、布置作业习题7.61,2,3--可编修- --(六)、板书设计7.6圆的标准方程一、建立圆的标准方程1、圆的方程的推导(x-a)2+(y-b)2=r22、圆的标准方程的特点:圆心(a,b)定位,r定型二.圆的标准方程的应用例1例2学生练习六、教学反思:为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情景,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题其基本教学模式是:--可编修- --复习旧知以旧悟新提出问题尝试探究例题示X探求方法反馈练习学会应用点评矫正总结交流《圆的标准方程》学案(学生用)课堂练习1、说出下列圆的圆心和半径:(1)(x-3)2+(y-2)2=5;圆心_______,半径________.(2)(2x+4)2+(2y-4)2=8;圆心_______,半径________.(3)(x+2)2+y2=m2(m≠0)圆心_______,半径________.2、(1)圆心是(3,4),半径是2的圆是_________________.(2)以(3,4)为圆心,且过点(0,0)的圆的方程为()Ax2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3)2+(y-4)2=253.以C(3,-5)为圆心,且和直线3x-7y+2=0--可编修- --相切的圆的方程_________________________.4.已知圆求:(1)过点A(4,-3)的切线方程是_________________.(2)过点B(-5,2)的切线方程是_________________考题在线(思考题)1、(2007理)圆心为且与直线相切的圆的方程是.2、(2006期末)求与直线y=x相切,圆心在直线y=3x上,且过点(,)的圆。3、(2007文)由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为()A.1B.C.D.4、已知点在圆,则与圆的位置关系是_____________.--可编修- --《圆的标准方程》(课堂实录)市洛带中学 德军师:让我们来看一下生活中常见的一些事物(通过课件展示生活中的圆),这些都是什么图形?生:圆。师:对,远在我们生活中很常见,也代表着很美的东西,完美无缺,十全十美,都是指的圆,圆是很美的曲线,那么我们今天从另一个角度来研究圆。(一)复习提问师:在初中,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答?生:平面与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.师:这是高中的概念。(教师在课件上画圆)改变半径大小,和圆心的位置,圆发生了变化,这说明了什么?生:半径决定大小,圆心决定位置。师:对:图哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?生:圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。--可编修- --师:求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少?生:求曲线方程的一般步骤为:(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意点M的坐标,简称建系设点;(如图)(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|},简称写点集;(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,简称列方程;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式,简称化简方程;(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明.其中步骤(1)(3)(4)必不可少.师:下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.(请一位同学板演)生:因为C是定点,可设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).根据定义,圆就是集合P={M||MC|=r}.由两点间的距离公式得:将上式两边平方得:(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)方程(1)就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程.--可编修- --师:非常好,有无不同建立坐标系的方法.生:有,圆心为坐标原点。师:这两种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,我们主要研究一般情况.请大家思考下面一个问题.圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?生:这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.师:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.注意,确定a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决.那么下面来做一下练习。1说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5;(2)(2x+4)2+(2y-4)2=8;(3)(x+2)2+y2=m2(m≠0)师:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径.2、(1)圆心是(3,-3),半径是2的圆是_________________.--可编修- --(2)以(3,4)为圆心,且过点(0,0)的圆的方程为()Ax2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3)2+(y-4)2=25生:(1)(x-3)2+(y+3)2=4;(2)D.师:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.那么我们再来看一下这一道题例1求满足下列条件各圆的方程:(1)求以C(1,3)为圆心,并且和直线相切的圆的方程(2)圆心在x轴上,半径为5且过点(2,3)的圆。师:如果要求一个圆,你要找些生么?生:圆心和半径。师:但是(2)中能不能直接找到圆心?生:不能。是:那用什么方法呢?生:待定系数法。师:非常好,下面同学们自己算一算。生(板演):解:(1)已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程因为圆C和直线相切,所以半径--可编修- --就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式,得因此,所求的圆的方程是(2)设圆心在x轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y2=25∵点A(2,3)在圆上∴(2-a)2+32=25∴a=-2或6∴所求圆的方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25师:求圆的方程的方法(1)定义法(2)待定系数法,要确定a,b,r;我们来做做练习。1、以C(3,-5)为圆心,且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.生:(x-3)2+(y+5)2=32。师:上一题,我们是知道圆的切线,求圆的方程,那我能不能把原来的结论和条件互换一下,知道圆,秋切线方程?下面我们来看一下例2例2已知圆的方程,求经过圆上一点的切线方程师:该怎么做呢?--可编修- --生:知道点M,找斜率。师:还应该注意些什么?生:斜率不存在时。师:为了避免这些,我们可不可以用其他的方法来做。生思考后:勾股定理,向量。师:(把学生分成三组分别用三种方法做)最后得出:师:这个点是在圆上,如果是在圆外又该怎么做呢?(提示学生用待定系数法)变式一:已知圆的方程为x2+y2=1,求过点(2,2)的切线方程。变式二:已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,求过点(2,2)的切线方程。师:同学们来做一下练习1.已知圆求:(1)过点A(4,-3)的切线方程是_________________.(2)过点B(-5,2)的切线方程是_________________生:(1)4x-3y=25;(2)x=-5或21x-20y+145=0师:我们这节课学习了些什么呢?生:1.圆的方程的推导步骤;--可编修- --2.圆的方程的特点:点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法.4.数型结合的数学思想5.过定点求圆切线方程.--可编修-

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