人教版高中数学选择性必修第二册分层练习5.3.2《第1课时函数的极值》（解析版）

5.3.2　第一课时　函数的极值[A级　基础巩固]1．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)A．(2,3)　　　　　　　　　B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：选B　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是(　　)A．(－1,2)B．(－3,6)C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a6.3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)解析：选C　由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0，排除B、D；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)A.，0B．0，C．－，0D．0，－解析：选A　f′(x)＝3x2－2px－q， 由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值，当x＝1时f(x)取极小值0.5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则(　　)A．a＜－1B．a＞－1C．a＜－D．a＞－解析：选A　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.6．函数y＝的极大值为__________．解析：函数y＝的定义域为(0，＋∞)，y′＝.令y′＝0，即＝0，得x＝e.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)y′＋0－y单调递增极大值单调递减由表可知，当x＝e时，函数有极大值.答案：7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或x＝4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19. 答案：－198．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案：－2或29．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值2(1－ln2＋a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)；f(x)在x＝ln2处取得极小值．极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a)，无极大值．10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝，b＝0，c＝－. (2)由(1)知f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．当x1时，f′(x)>0；当－1