人教版高中数学选择性必修第一册提高练习1.1《空间向量及其运算》（解析版）

1.1空间向量及其运算--提高练一、选择题1．（2020·辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确结论的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面，故④错．综上，选A．2．（2020广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，在平行六面体中， ，故选：C3．（2020江西宜春市高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选：B.4．己知，，是空向单位向量，且满足，若向量，.则在方向上的投影的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】易得是空间中两两夹角为60°的单位向量.如下图， 构造棱长为1的正四面体，使得，在射线上取点，使得设，则，由三点共线知在直线上.由定义知在方向上的投影=作点在平面上的射影.由最小角定理，当且仅当向量与向量同向时，最小，最大.即.故选：D.5．（多选题）下列命题是真命题的是（）A．若，则的长度相等而方向相同或相反B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C．若两个非零向量与满足，则D．若空间向量，满足，且与同向，则【答案】BC【解析】A.若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；C.若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；D.若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.故选：BC6．（多选题）（2020福建高二期末）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（） A．平面平面B．不是定值C．三棱锥的体积为定值D．【答案】ACD【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B.，故，故B不正确；C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD二、填空题7．如图在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.【答案】【解析】在四面体中，、分别是、的中点，则.8．在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】.【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则.,又.又.设异面直线与所成角为则.9．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.【答案】1;.【解析】取的中点，，又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为 ，10．（2020上海复旦附中高二期中）已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________【答案】【解析】设.则,,.由为底面中心,又因为四点共面,所以且. 所以，即即.三、解答题11．试证：若坐标平面内的三点，，共线，为坐标原点，则存在三个均不为零的实数，，，使得，且，反之也成立.【答案】见解析【解析】证明：①若，则，∴.又，∴，∴，∴，∴，，三点共线.②若，，三点共线，则存在常数，使，∴，∴，令，，，则由且，知，，，不为零，∴，且.12.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，四棱锥的底面是矩形，，且底面. （1）求向量在向量上的投影；（2）若线段上存在异于的一点，使得，求的最大值.【答案】（1）；（2）1.【解析】（1）连接平面平面ABCD故向量在向量上的投影为：（２）连接平面平面ABCD，又平面SAP，又平面ADP设，当时，的最大值为１．