3 第五章:平行线判定、性质的综合应用,两条平行线的距离,命题,平移
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3 第五章:平行线判定、性质的综合应用,两条平行线的距离,命题,平移

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时间:2022-08-25

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资料简介
【本讲教育信息】一. 教学内容:    第五章:平行线判定、性质的综合应用,两条平行线的距离,命题,平移 二、教学要求(一)综合运用平行线的判定、性质说理和计算;(二)理解两条平行线间的距离的含义;(三)弄清命题、公理、定理等概念的含义;重点掌握命题的概念和命题的构成;(四)理解平移的定义,掌握平移的特征并会应用。 三、重点及难点(一)重点1、理解两条平行线间的距离的含义;2、理解命题、题设、结论的含义,能够判断一个语句是否是命题,能正确确定一个命题的题设和结论;3、理解平移的定义,掌握平移的特征,熟练地利用平移作图,能利用平移转化图形解决几何问题。(二)难点1、综合运用平行线的判定、性质说理和计算;2、运用平移的基础知识分析复杂图形的形成过程,用平移知识解决生活中的问题。 【知识要点】(一)两条平行线间的距离1、定义:同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离。如图1所示,a//b,A是直线上任意一点,,垂足为B,则线段AB的长即是两平行线、间的距离。若在直线上任找一点,过作,垂足为D,则线段CD的长也是两平行线、间的距离。由此可见:         图12、平行线间的距离处处相等。                      (二)命题1、命题:判断一件事情的语句叫做命题。命题有正确和错误之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题。 2、命题的构成:命题是由题设(或条件)和结论两部分组成。题设是命题的已知条件部分,通常“如果”后面接题设部分;结论是由题设推出的事项,通常“那么”后面接结论部分。3、公理:正确性是人们长期以来在实践中总结出来的,并作为判定其他命题真假的根据的命题叫做公理。4、定理:正确性是用推理证实的,这种用推理的方法得到的真命题叫做定理。 (三)平移1、平移的定义:在平面内,将一个图形沿着一定的方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。2、平移的两个要素:平移的方向和距离。图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。——整体角度3、平移的性质:(1)图形平移前后线段、角、点的关系:——局部角度对应线段平行(或在同一条直线上)且相等;对应角相等;对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。(2)平移前后图形的形状和大小的关系:——平移结果图形的形状和大小都没有发生变化,即平移不改变图形的形状和大小。          研究平移的性质时,从图形的整体特征的变与不变到分解成线段、角,最后再到点。平移只改变图形的位置,不改变图形的形状、大小。4、平移的方向、距离的确定:方向为前后对应点射线方向,距离为对应点之间的线段的长度。5、简单图形的平移作图:线段、角、三角形的平移是最简单的平移问题,关键条件是平移的方向和距离。在作图过程中,通过确定图形上几个关键点平移后的位置,得到图形平移后的图形,运用“以局部带整体”的平移作图法:(1)确定图形中的关键点;(2)将关键点沿指定的方向移动指定的距离;6、图形平移的作用:利用基本图形,通过平移,组成更大的图案。平移变换常常将一个角、一条线段、一个图形平移到适当位置,使分散的条件集中到一个图形上,以方便问题的解决。 【典型例题】  例1.  把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,指出其题设和结论,并判断命题的真假。(1)等角的余角相等;(2)相等的角是对顶角;(3)两点确定一条直线;(4)平行于同一条直线的两直线平行。分析:弄清各命题的题设和结论,再把命题改写成“如果……那么……”的形式,最后利用有关性质判定命题的真假。解答:(1)如果两个角相等,那么它们的余角也相等。题设:两个角相等,结论:它们的余角相等。该命题是真命题。(2)如果两个角相等,那么它们是对顶角。 题设:两个角相等,结论:它们是对顶角。该命题是假命题。(3)如果过两点画直线,那么只能画出唯一一条直线。题设:过两点画直线,结论:只能画出唯一一条直线。该命题是真命题。(4)如果两条直线都平行于同一条直线,那么这两条直线也平行。题设:两条直线都平行于同一条直线,结论:这两条直线也平行。该命题是真命题。说明:命题改写后,要确保句子的叙述清晰、语句通顺,并且不能改变命题的原意。   例2.  如图所示,已知AD//BC,AB//EF,DC//EG,且点和点分别在直线上,平分,。(1)求证:线段的长是两直线的距离;(2)第(1)问是否是命题?若是,是真命题还是假命题?并说明理由;若不是,也请说明理由。分析:第(1)问,要证线段的长是两直线的距离,只需证明且,即证明即可;第(2)问,因为第(1)题既有题设,也有结论,所以第(1)问是命题,若第(1)问的结论是正确的,则是真命题,反之,则是假命题。解答:(1)∵AB//EF,∴.∵,∴. 同理可证.∵三点共线,∴.∴.∵平分,∴.∴.∵AD//BC,∴ 即于,且于.∴线段的长是两直线的距离.(2)第(1)题是命题,是真命题。因为题目中的已知条件是题设,“线段的长是两直线的距离”是结论,所以是命题。而且通过证明,由题设可推出结论,所以是真命题。   例3.  (2006. 海淀)在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示,那么下面平移中正确的是(    )      A. 先向下移动1格,再向左移动1格;B. 先向下移动1格,再向左移动2格      C. 先向下移动2格,再向左移动1格;D. 先向下移动2格,再向左移动2格分析:向何处移和移多少是确定图形移动的两个关键因素。本题只要找准平移的方向和距离即可。解答:选C。 例4. 经过平移,△ABC的边AB移到了EF,作出平移后的三角形。分析:根据平移的特征,我们可以从不同的角度来分析,从而找到作法。1. 根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行,那么应有EG∥AC,FG∥BC;2. 根据平移后的图形与原来的图形的对应角相等,那么应有∠EFG=∠ABC,∠FEG=∠BAC;3. 根据平移后对应点所连的线段平行且相等,那么连结AE,应有CG∥AE,CG=AE;解答:解法1:过点E、F分别作EH∥AC,FP∥BC,两射线交于点G,则△EFG即为所求;解法2:过点E作射线EH,使∠FEH=∠BAC,过点F作射线FP,使∠EFP=∠ABC,EH与FP交于G,则△EFG即为所求; 解法3:连结AE,过C按射线AE的方向作射线CG∥AE,取CG=AE,连结EG、FG,则△EFG即为所求。说明:确定关键点的对应点是平移作图的要点之一,关键点平移后的位置确定了,就可以得到平移后的整体图形;确定平移的方向和距离是平移作图的要点之二。 例5. 如图1,在一个边长不超过的大正方形中,放入三张面积均为25的正方形纸片,这个大正方形被三张纸片盖住部分的面积是45,问大正方形的面积是多少?           图1                          图2 分析:本题中三个正方形位置的摆放没有特殊性,如果思维停留在这种摆放模式,则很难找到突破口,但运用平移的特征,平移只改变图形的位置,并不改变图形的形状和大小,把三个正方形如图2所示放置,就会有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的变化。解答:把红色正方形纸片平移到最左端,如图所示,设空白小正方形的边长为,根据题意得:,解得,从而大正方形的边长为5+2=7,故大正方形的面积是。说明:平移只改变图形的位置,并不改变图形的形状和大小,是集中或转移条件的重要方法。 例6. 如图,AB与CD交于O,且∠AOC=60°,AB=CD=1。求证:AC+BD≥1。       分析:在平面几何的解题中,往往由于条件的隐蔽和分散,很难找到解题的途径,而恰当地运用轴对称、平移、旋转等几何变换,将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新位置上,条件得以相对集中,以便于各条件的综合与应用,从而达到变繁为简,化难为易,巧妙解题的目的。本题应将AC、BD和AB移到同一个三角形中,可采用平移变换。 解答:将AB沿着AC方向平移线段AB的长度到CB',连结DB'、BB'。∴AC=BB',CB'//AB,CB'=AB.∵AB=CD=1,∴CB'=CD.∵∠AOC=60°,∴∠1=∠AOC=60°,∴△CDB'是等边三角形,即DB'=1.当D、B、B'三点不共线时,在△DBB'中,BB'+BD>DB',即AC+BD>1.当D、B、B'三点共线时,AC+BD=1.综上所述,AC+BD≥1. 【小结】1、能综合运用平行线的性质和判定证明和计算;2、理解两条平行线间的距离的含义;3、掌握命题的概念和命题的构成;4、理解平移的定义,掌握平移的特征,能根据条件画出平移后的图形,应用平移知识解决几何问题和实际问题。 【模拟试题】(答题时间:30分钟)一. 选择题1. 关于下列说法正确的个数有(     )①△ABC在平移过程中,对应线段一定平行;②△ABC在平移过程中,对应线段一定相等;③△ABC在平移过程中,对应角一定相等;④△ABC在平移过程中,图形大小不改变。A. 1个                B. 2个            C. 3个;            D. 4个2. (2003. 吉林)如图,菱形花坛 ABCD的边长为 6m,∠B=60°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长(粗线部分)为(   )。     A. 18m              B. 20m               C. 22m             D. 24m 3. (2006. 淄博)在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定距离,这样的图形变换为平移,如图,将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或垂直)平移后组成一个首位依次相接的三角形,至少需要移动(     ) A.12格           B.11格          C.9格             D.8格 二. 填空题4. 如图,已知长方形的长是2cm,宽是1cm,弧DF和弧BE的弧长相等,求阴影部分的面积是               。5. 如图,长方形内有两个相邻的正方形,边长分别为5和3,那么阴影部分的面积为     。6. 如图所示,求出此图形的周长是               。 7. 写出下列命题的题设和结论:(1)两条直线平行,同旁内角互补;题设:                                ;结论:                                  ;(2)同角的补角相等;题设:                                ;结论:                                  ;(3)三角形三内角的和等于。题设:                               ;结论:                                  ; 三. 作图题 8. 如图,先将△ABC沿北偏西60°方向平移2.5cm,得△A1B1C1,再将△ABC沿南偏西60°方向平移2.5cm,得△A2B2C2,观察△A1B1C1、△A2B2C2,你能发现这两个三角形有什么关系吗? 四. 解答题9. 如图所示,是小李家电视机的背景墙面上的装饰板,它是一块底色为蓝色的正方形板,边长18cm, 上面横竖各两道红条进行装饰,红条宽都是2cm,问蓝色部分板面面积是多少?10. (本题中四个矩形的水平方向的边长均为,竖直方向的边长均为):在图1中,将线段向右平移1个单位到,得到封闭图形(即阴影部分);在图2中,将折线向右平移1个单位到,得到封闭图形(即阴影部分).      图1                        图2                        图3(1)在图3中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影;(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:S1=             ,S2=            ,S3=                ;(3)联想与探索:如图4,在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的. 图411. 四边形ABCD中,DC//AB,∠D=2∠B,CD=3,AD=2,求AB的长度.  【试题答案】1.C  2.B   3.C   4. 5.6(把小正方形向下平移,阴影部分就变成了长为3,宽为(5-3)的长方形)6.14      7. (1)题设:两条直线平行,结论:同旁内角互补。(2)题设:两个角是同一个角的补角,结论:这两个角相等。(3)题设:一个图形是三角形,结论:它的内角和为。8.对应边互相平行。 图略。9. 蓝色部分板面面积是10. (1)(2);(3)  证明:可以把小路想象成有无限多个折点的折线图,所以,面积和前面的结论是相同的。11. 解:∵DC//AB,∴把CB沿着CD方向平移线段CD的长度,得到DE,E在AB上. 由平移特征知DC=EB=3,DE//CB,∴∠B=∠2.∵DC//EB,∴∠1=∠2.∴∠1=∠B.又∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠1+∠3,∴2∠B=∠3+∠B,即∠B=∠3.∴∠2=∠3,∴AD=AE=2.∴AB=AE+EB=2+3=5,即AB的长度是5.

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