高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

3．3.3&3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[提出问题]在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.问题1：若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？提示：过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，∴l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.问题2：平面直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到x轴、y轴的距离分别是多少？提示：|y0|、|x0|.问题3：在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？提示：是．问题4：若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？提示：相等．[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.2．点到几种特殊直线的距离(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.[例1] 求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.[解] (1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝.(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.[类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(  )A.         B．2－ C.－1D.＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知d＝＝＝1，得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.2．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．解析：点P到直线l的距离d＝＝＝3.答案：3[例2] 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．[解] 法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，由题意，得＝2，所以C＝32，或C＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝，解得C＝32，或C＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.[类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．[活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m＝2.法一：在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝ ＝.法二：将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝.答案：[例3] 求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．[解] 法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)．由条件得＝，解得k＝4，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点．∵直线AB的斜率kAB＝4，若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.[类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．[活学活用]4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．解：由解得，即直线l过点B.①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方程为y＋＝k(x－2)， 即kx－y－2k－＝0，由点A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，所以l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0.综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.   [典例] 直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．[解] (1)若直线l1，l2的斜率存在①，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.因为直线l1过点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.(2)若l1，l2的斜率不存在①，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l1，l2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论．[成功破障]经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．解析：当过点A的直线垂直于x轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x－1＝0.当过点A的直线不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.由＝1得k＝，故其方程为3x－4y＋5＝0.故所求的直线方程为x－1＝0，或3x－4y＋5＝0.答案：x＝1或3x－4y＋5＝0 [随堂即时演练]1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(  )A．1         B.C．2D.解析：选D d＝＝.2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(  )A．1B.C.D．2解析：选B 在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为＝.3．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得＝.答案：4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或k＝.答案：－3或5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.由两点间距离公式得|BC|＝＝2，点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝＝，所以S＝|BC|·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4.[课时达标检测]一、选择题1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(  )A．3B.C．3D.解析：选D 点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝.2．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(  )A．0＜d≤3B．0＜d≤5C．0＜d＜4D．3≤d≤5解析：选B 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0＜d≤5.3．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为(  )A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0.因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，解得c＝0，或c＝2.所以所求直线方程为2x＋y＝0，或2x＋y＋2＝0.4．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(  )A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0解析：选C 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.5．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(  ) A．3B．2C．3D．4解析：选A 由题意，结合图形可知点M必然在直线x＋y－6＝0上，故M到原点的最小距离为＝3.二、填空题6．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________________．解析：由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.答案：x－2y＋2＝07．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________________．解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵点A，B到l的距离相等，∴＝.∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.综上，l的方程为x＝1，或x－y－1＝0.答案：x＝1或x－y－1＝08．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.法二：由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0三、解答题9．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，由点到直线的距离公式得＝3，即＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.10．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．解：(1)点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝.∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝，又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，＝，n＝5，或n＝－1，则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.