构造三棱锥求地球上两点间的球面距离

构造三棱锥求地球上两点间的球面距离求地球上两点间球面距离，解题关键是求出两点间弦长，进而求出球心角.当所给两点不同在地球赤道线或同一经线上时，可通过构造直三棱锥（一条侧棱垂直于底面），将问题转化为解三棱锥问题，以下分类说明各种不同构造方法.1.同纬度不同经度的两点间的球面距离这时可构造以两已知点和它们所在纬度圈圆心为顶点的三角形为底面，球心为顶点的直三棱锥.例1.设A、B是地球北纬45°圈上两点，经度差是90°，求：A、B两地的球面距离（地球半径为R，下同）.解：如图1，构造三棱锥O—AO′B，则O′A=O′B=O′O=AB=∵OA=OB=AB，∴∠AOB=图1⌒∴AB即A、B两地球面距离是2.经、纬度均不同且一点在赤道上的两点的球面距离.这时可构造以另一点为顶点，以赤道上已知点、球心、及另一点在赤道平面上射影为顶点的三角形为底面的直三棱锥.例2.设A地在地球北纬45°圈上，B在赤道上，它们的经度差是135°，求A、B两地球面距离.解：如图2，设A点在赤道面上射影为C，可得直三棱锥A—BOC.∵A在北纬45°圈上,∴AC=OC=∵A、B经度差是135°，∴∠COB=135°.∴BC2=OC2+OB2－2OC·OB·cos135°=,图2于是AB2=AC2+BC2=、3.经、纬度均不同，且不在赤道上的两点的球面距离 这时可仿上作出其中一点在另一点所在纬线圈圆面上的射影，构造三棱锥.例3.设A地在地球北纬60°圈上、B地在地球南纬30°圈上，A，B两地经度差为90°，求A、B两地的球面距离.解：如图3，作AC垂直于南纬30°纬线圆面于C，可得直三棱锥A—BO2C，且AC为三棱锥的高，AC=O1O2.∵A在北纬60°圈上，∴∠OAO1=60°，OO1=∵B在南纬30°圈上，∴OO2=图3∴AC=O1O2=∵A、B两地经度差是90°，∴∠CO2B=90°.∴CＢ2=O2C2+O2B2=AB2=AC2+BC2=A、B两地球面距离是R·arccos(注：当A、B两地同位于北半球或南半球时，直三棱锥的高AC=OO1－OO2.