北师大版(文科数学)直线的交点坐标与距离公式名师优质单元测试

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精英特训（10）直线的交点坐标与距离公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为()A．(1，2)B．(2，1)C．(1，2)或(2，－1)D．(2，1)或(－1，2)答案C|x－5＋3x－1|解析由已知可得P(x，5－3x)，则点P到直线x－y－1＝0的距离为d＝22＝2，1＋（－1）则|4x－6|＝2，所以4x－6＝±2，所以x＝1或x＝2，所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1)．2.(2018·石家庄模拟)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24B.24C.6D.±6【解析】选A.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),则即3.分别过点A(1，3)和点B(2，4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是()A．x－y－4＝0B．x＋y－4＝0C．x＝1D．y＝3答案B解析连接AB，当l1与l2分别与AB垂直时，l1与l2之间有最大距离且d＝|AB|，此时kAB＝1，∴kl1＝－1，则y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.4.(2018·郑州模拟)已知直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与l2的距离为()A.B.C.4D.81 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【解析】选B.因为直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,即3x+4y+=0,所以直线l1与l2的距离为=.5.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0答案A解析令y′＝4x3＝4，得x＝1，∴切点为(1，1)，l的斜率为4.故l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.6.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称,则直线l2的斜率为()A.B.-C.2D.-2【解析】选A.直线y=2x+3与y=-x的交点为A(-1,1),而直线y=2x+3上的点(0,3)关于y=-x的对称点为B(-3,0),而A,B两点都在l2上,所以k==.7.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)答案C解析2设点P的坐标为(x，x32－1＝2.f′(x)＝3x－1.－x＋3)．由导数的几何意义知3x0000解得x0＝±1.∴点P的坐标为(1，3)或(－1，3)，故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),若|AB|取得最小值,则实数a的值是.【解析】2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯|AB|===,所以当a=时,|AB|取得最小值.答案:9.已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为．答案3解析∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15.而a2＋b2的几何意义是原点到M点2215的距离|OM|，所以(a＋b)min＝22＝3.3＋410.光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的点B后被直线y=x反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则BC所在的直线方程为.【解析】作出草图,如图所示,设A关于直线y=x的对称点为A′,D关于y轴的对称点为D′,则易得A′(-2,-4),D′(1,6).由反射角等于入射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为y-6=(x-1),即10x-3y+8=0.答案:10x-3y+8=01.(5分)已知m，n为正数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2m＋n的最小值为()A．16B．12C．9D．6答案C解析∵直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，两边同时除以21＝1.∵m，n为正数，∴2m＋n＝(2m＋n)(212nmn，可得＋n＋)＝5＋mmnm2m2n·2m2n2m＋≥5＋2n＝9，当且仅当＝时取等号．故选C.nmmn2.(5分)(2018·南昌模拟)已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的条件.()A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分又不必要【解析】选B.l1∥l2,若两直线斜率均不存在,则m=-2;若两直线斜率均存在,则斜率相等,即=-,解得m=2,经检验此时两直线不重合.所以m=-2或m=2.3.(5分)直线y＝a分别与直线y＝3x＋3，曲线y＝2x＋lnx交于A，B两点，则|AB|的最小值为()4B．1A.3210D．4C.5答案A解析作与直线y＝3x＋3平行的直线与曲线y＝2x＋lnx相切，易得切点为(1，2)．所以当4a＝2时，|AB|min＝3.4.(12分)已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).(1)求BC边的高所在直线l1的方程.(2)若直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【解析】(1)因为kBC==,又直线l1与BC垂直,所以直线l1的斜率k=-=-4,所以直线l1的方程是y=-4(x-1)+1,即4x+y-5=0.(2)因为直线l2过C点且A,B到直线l2的距离相等,所以直线l2与AB平行或过AB的中点M,因为kAB==-1,所以直线l2的方程是y=-(x-3)+4,即x+y-7=0.因为AB的中点M的坐标为(0,2),所以kCM==,所以直线l2的方程是y=(x-3)+4,即2x-3y+6=0.综上,直线l2的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.5.(13分)设一直线l经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．答案2x＋7y－5＝0解析方法一：设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点为C(xC，yC)，D(xD，yD)，则x＋2y－1＝0，xC＝1，∴C(1，0)．?yC＝0，x－y－1＝05x＋2y－3＝0，D，2x＝35?2∴D(，)．x－y－1＝033yD＝3，41则C，D的中点M为(3，3)．14又l过点(－1，1)，由两点式得l的方程为y－3x－31＝4，1－3－1－3即2x＋7y－5＝0为所求方程． 5