高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案
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高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

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资料简介
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自主预习1.两条直线的交点已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.若两直线的方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则两条直线相交;若方程组无解,则两条直线平行.若方程组有无穷多个解,则两条直线重合.2.过定点的直线系方程已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0交于点P(x0,y0),则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过点P的直线系,不包括直线l2.3.两点间的距离平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=.4.两点间距离的特殊情况(1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.(2)当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.(3)当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.即时自测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0相交的充要条件是A1B2-A2B1≠0.(√)(3)方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,表示经过直线l1:∴A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线l2.2.直线x=1与直线y=2的交点坐标是(  )A.(1,2)B.(2,1)C.(1,1)D.(2,2)答案 A3.已知M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于(  ) A.5B.C.D.4解析 |MN|==5.答案 A4.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是________.解析 l1与l2相交则有:≠,∴a≠2.答案 a≠2 类型一 两直线的交点问题【例1】求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.解 法一 由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(-2,2).∵直线过坐标原点,∴其斜率k==-1.故直线方程为y=-x,即x+y=0.法二 ∵l2不过原点,∴可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,∴直线l的方程为5x+5y=0,即x+y=0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法,思路自然,但计算量稍大,法二运用了交点直线系,是待定系数法,计算简单,但要注意判断原点(0,0)不能在直线2x+y+2=0上.否则,会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系有两种:①λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0可表示过l1、l2交点的所有直线;②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直线l2.【训练1】求经过直线l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.解 法一 由得∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1),再设平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+C=0,把(0,1)代入所求的直线方程,得C=-1,故所求的直线方程为2x+y-1=0.法二 设过直线l1、l2交点的直线方程为x+3y-3+λ(x-y+1)=0(λ∈R),即(λ+1)x+(3-λ)y+λ-3=0,由题意可知,=-2,解得λ=,所以所求直线方程为x+y-=0,即2x+y-1=0. 类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】已知△ABC三顶点坐标A(-3,1)、B(3,-3)、C(1,7),试判断△ABC的形状.[思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状?提示 判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状?提示 在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或满足勾股定理.解 法一 ∵|AB|==2,|AC|==2,又|BC|==2,∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,∴△ABC是等腰直角三角形.法二 ∵kAC==,kAB==-,则kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB.又|AC|==2,|AB|==2,∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,求点P的坐标.解 设点P的坐标为(x,0),由|PA|=10,得=10,解得:x=11或x=-5.所以点P的坐标为(-5,0)或(11,0).类型三 坐标法的应用 【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明 如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0,0).设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b,c),因为|AB|2=a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2,|BC|2=b2+c2,|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(b-a)2+c2.所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2),|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2).所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.规律方法 坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.证明 如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).∴|AC|==,|BD|==.故|AC|=|BD|.[课堂小结]1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2-A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0.直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)是过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线(不含l2).2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= 与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是(  )A.(4,1)B.(1,4)C.D.解析 由方程组得即直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是.答案 C2.经过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线方程是(  )A.2x+y-8=0B.2x-y-8=0C.2x+y+8=0D.2x-y+8=0解析 首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.答案 A3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为________.解析 由题意得=5,解得a=1或a=-5.答案 1或-54.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程.解 由方程组解得∵所求直线l和直线3x+y-1=0平行,∴直线l的斜率k=-3,根据点斜式可得y-=-3,即所求直线方程为15x+5y+16=0.基础过关 1.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则的值为(  )A.B.C.3D.2解析 由两点间的距离公式,得|AC|==4,|CB|==2,故==2.答案 D2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为(  )A.-24B.6C.±6D.24解析 在2x+3y-k=0中,令x=0得y=,将代入x-ky+12=0,解得k=±6.答案 C3.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是(  )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB|=,|AC|=,|BC|=3,∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于________.解析 设A(x,0),B(0,y),∵AB中点P(2,-1),∴=2,=-1,∴x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2),∴|AB|==2.答案 25.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则k的取值范围是________.解析 由得由于交点在第一象限,故x>0,y>0,解得k>.答案  6.在直线l:3x-y+1=0上求一点P,使点P到两点A(1,-1),B(2,0)的距离相等.解 法一 设P点坐标为(x,y),由P在l上和点P到A,B的距离相等建立方程组解得所以P点坐标为(0,1).法二 设P(x,y),两点A(1,-1)、B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x+y-1=0.①又3x-y+1=0,②解由①②组成的方程组得所以所求的点为P(0,1).7.求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.解方程组得两条直线的交点坐标为(2,-3).将点(2,-3)代入直线方程,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=0.这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).法二 将已知方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m取值的任意性,有解得所以不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).能力提升8.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互为垂直,垂足为(1,p),则m-n+p为(  )A.24B.20C.0D.-4解析 由垂直性质可得2m-20=0,m=10.由垂足可得得∴m-n+p=20.答案 B9.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为(  )A.B.C.D.解析 直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0,过定点 B,由两点间的距离公式,得|AB|=.答案 C10.过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,则此直线l的方程是________.解析 法一 显然直线l的斜率不存在时,不满足题意,当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立,得和解得xA=和xB=,∵P(3,0)是线段AB的中点,∴xA+xB=6,即+=6,解得k=8.故直线l的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.法二 设l1上的点A的坐标为(x1,y1),∵P(3,0)是线段AB的中点,∴l2上的点B的坐标为(6-x1,-y1),∴解得∴点A的坐标为,由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.答案 8x-y-24=011.已知直线l1过点A(2,1),B(0,3),直线l2的斜率为-3且过点C(4,2).(1)求l1,l2的交点D的坐标;(2)已知点M(-2,2),N,若直线l3过点D且与线段MN相交,求直线l3的斜率k的取值范围.解 (1)∵直线l1过点A(2,1),B(0,3),∴直线l1的方程为=,即y=-x+3.∵直线l2的斜率为-3且过点C(4,2),∴直线l2的方程为y-2=-3(x-4), 即y=-3x+14.联立解得即l1,l2的交点D的坐标为.(2)由题设知kMD==-.kND==3.因为过点D的直线与线段MN相交,故直线l3的斜率k的取值范围为:∪[3,+∞).探究创新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P使之到A,B两镇的管道最省,问供水站P应建在什么地方?此时|PA|+|PB|为多少?解 如图所示,过A作直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,因为若P′(异于P)在直线l上,则|AP′|+|BP′|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|.因此,供水站只能在点P处,才能取得最小值.设A′(a,b),则AA′的中点在l上,且AA′⊥l,即解得即A′(3,6).所以直线A′B的方程为6x+y-24=0,解方程组得所以P点的坐标为.故供水站应建在点P处,此时|PA|+|PB|=|A′B|==.

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